江苏省徐州市沛县2021-2022学年上学期九年级期中数学【试卷+答案】

这是一份江苏省徐州市沛县2021-2022学年上学期九年级期中数学【试卷+答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省徐州市沛县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O的（　　）
A．外部 B．内部 C．圆上 D．不能确定
2．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC＝80°，则∠A的度数是（　　）

A．40° B．60° C．80° D．100°
3．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣1
4．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
5．在下列命题中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．直径所对的圆周角是直角
C．三点确定一个圆
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
6．对于二次函数 y＝﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）
B．当 x＞﹣1时，y随x的增大而增大
C．当x＝﹣1时，y有最小值为﹣3
D．图象的对称轴是直线x＝1
7．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　）

A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　）

A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．一元二次方程x2﹣9＝0的解是　 　．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝100°，则∠C＝　 　．

11．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　 　．
12．抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是　 　．
13．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则PB＝　 　．

14．底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为　 　cm2．
15．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
17
7
1
﹣1
1
…
则当x＝4时，y＝　 　．
17．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为　 　．

18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG．则CG的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共有7小题，共86分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）解一元二次方程：（1）2x2+5x﹣3＝0； （2）（x+2）2＝3x+6．





20．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC＝30°．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB＝6，求PA的长．




21．（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 　 　（结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 　 　．






22．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）、C（1，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）画出二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当0＜x＜3时，y的取值范围 　 　．

23．（12分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？







24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．
（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．

25．（16分）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

江苏省徐州市沛县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
【参考答案】
一、选择题（本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O的（　　）
A．外部 B．内部 C．圆上 D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
2．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC＝80°，则∠A的度数是（　　）

A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝80°，
∴∠A＝∠BOC＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣1
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，
变形得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
【解答】解：A、这里a＝1，b＝0，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a＝1，b＝1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．在下列命题中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．直径所对的圆周角是直角
C．三点确定一个圆
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
B、直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
6．对于二次函数 y＝﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）
B．当 x＞﹣1时，y随x的增大而增大
C．当x＝﹣1时，y有最小值为﹣3
D．图象的对称轴是直线x＝1
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标、对称轴、最值，再结合增减性可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣（x+1）2﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴当x＝﹣1时，y有最大值为﹣3，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴只有A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
7．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　）

A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m
【分析】补全图形，设OA＝r，则OD＝r﹣4，再根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：如图，设OA＝r，则OD＝r﹣4，
∵AB＝16m，
∴AD＝8m．
在Rt△AOD中，
∵OD2+AD2＝OA2，即（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10（m）．
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　）

A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是中线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，∴②正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
从图象可知，当x＝2时y＞0，
即4a+2b+c＜0，∴③错误；
∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＜5，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有3个①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
二、填空题（每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．一元二次方程x2﹣9＝0的解是　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝100°，则∠C＝　80°　．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　﹣2　．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值．
【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为﹣是解题的关键．
12．抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是　y＝（x﹣1）2　．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的法则“上加下减，左加右减”．
13．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则PB＝　　．

【分析】连接OB，依据切线长定理可求得∠OPB的度数，然后依据切线的性质可证明△OPB为直角三角形，依据含30°直角三角形的性质可求得OB的长，最后依据勾股定理可求得PB的长．
【解答】解：连接OB．

∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠OPB＝∠APB＝30°．
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°．
∴OB＝OP＝1．
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是切线的性质，掌握次类问题的辅助线的作法是解题的关键．
14．底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为　15π　cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×5×3÷2＝15πcm2．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
15．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　1　．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴22﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
17
7
1
﹣1
1
…
则当x＝4时，y＝　17　．
【分析】根据表格中的点待定系数法求出二次函数的解析式，再将x＝4代入所求的解析式中即可求出y的值．
【解答】解：将（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入y＝ax2+bx+c中
可得方程组，
解得a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x+1，
将x＝4代入函数解析式中，
得y＝17，
故答案为：17．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，解题的关键在于明确函数图象上的三个点，代入分别解出a，b，c的值．
17．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为　　．

【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD＝S△OCD，进而得出S阴影＝S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形COD＝•π•＝×π×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影＝S扇形COD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG．则CG的最小值为　﹣1　．

【分析】取AB得中点O，连接OC，根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度即可．
【解答】解：取AB得中点O，连接OC，
根据题意，BF⊥AE，
∴∠AGB＝90°
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BO＝1，BC＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值为OC﹣OG＝﹣1，
故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，根据题意，得到G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧是解题关键．
三、解答题（本大题共有7小题，共86分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）解一元二次方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）（x+2）2＝3x+6．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵（x+2）2＝3x+6，
∴（x+2）2＝3（x+2），
∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
则（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC＝30°．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB＝6，求PA的长．

【分析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB＝90°，结合∠BAC＝30°得∠PAC＝90°﹣30°＝60°．由切线长定理得到PA＝PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P＝60°．
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB＝90°，结合Rt△ACB中AB＝6且∠BAC＝30°，得到AC＝ABcos∠BAC＝3．最后在等边△PAC中，可得PA＝AC＝3．
【解答】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAB＝90°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA＝PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠P＝60°．
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，AB＝6，∠BAC＝30°，
可得AC＝ABcos∠BAC＝6×cos30°＝3．
又∵△PAC是等边三角形，
∴PA＝AC＝3．

【点评】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．
21．（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 　2　（结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 　　．

【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D；
（2）在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；
（3）连接AD，CD．在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径．
【解答】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：


（2）在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，
根据勾股定理得：AD＝＝＝2，
则⊙D的半径为2．
故答案为：2；

（3）连接AD、CD，如图．
AC＝＝2，AD＝CD＝2，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°．
的长＝＝π，
∴该圆锥的底面圆半径＝＝．
故答案为：．

【点评】此题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
22．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）、C（1，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）画出二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当0＜x＜3时，y的取值范围 　﹣2≤y＜2　．

【分析】（1）把A，B，C三点代入函数解析式求得a，b，c的值即可得出函数解析式；
（2）根据五点法画出图象即可．
【解答】解：（1）∵函数经过A （﹣1，2）、B （0，﹣1）、C （1，﹣2），
∴把A，B，C三点代入函数解析式中得：，
解得，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，
（2）画出二次函数的图象如图：

（3）由图象可知，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣2≤y＜2．
故答案为：﹣2≤y＜2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象的知识，数形结合是解题的关键．
23．（12分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．
（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．

【分析】（1）过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG．在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再在Rt△OMG中求出MG即可解决问题．
（2）如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．求出相切时，m的值即可判断．
【解答】（1）解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，
∴BN＝CN．
∵OB＝OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴ON＝CE＝1，
∴OM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，
∴OG＝BE＝，
在Rt△OMG中，MG＝＝1，
∴FG＝2MG＝2．

（2）解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．

由（1）易得ON＝CE＝m，OB＝OM＝4﹣m，BN＝3，
在Rt△BON中，ON2+BN2＝OB2，即（m）2+32＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴当0＜m＜时，⊙O与AD相离，
当m＝时，⊙O与AD相切，
当＜m＜4时，⊙O与AD相交．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（16分）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）把点B坐标直接代入抛物线的表达式，可求m的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点C的坐标，设直线BC的表达式，把点B和点C的坐标代入函数表达式即可；
（2）过点A作直线BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标；设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P2P3，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点P的坐标；
（3）取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，可得△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，联立求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，
则m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3．
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，
，解得，，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．
（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．

由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0），
∴直线AG的表达式为y＝x﹣1，
联立，解得，或，
∴P1（2，1）或（1，0），
由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），
∴GC＝2，CH＝2，
∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5，
联立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，）；
综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（，），（，）；
（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，则DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．
∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），
∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3，
设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，
∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．
又n≠0，则n＝．
∴Q（，﹣）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查三角形的面积问题，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．