15.3.3《直角三角形中30°角的性质定理》课件

沪科版数学八年级上册15.3.3 直角三角形中30°角的性质定理新课导入讲授新课当堂练习课堂小结目录新课导入问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？讲授新课性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,1知识点含30°角的直角三角形的性质证法1证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD, 证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　　∠C =90°，∠A =30°，　　√ 判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3 B．2 C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．知识点 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在 边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长 线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．导引：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形 内角和定理即可求解；(2)易证△EDC是等边三角形，再根 据直角三角形的性质即可求解．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°， ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°； (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴∠DEC＝60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED＝DC＝2. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 °15 °20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，))方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题. 一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.BC30°60°解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60° 作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地；M(2)∵∠DBC=∠BAC+∠ACB， ∠BAC=30 °， ∠DBC=60°， ∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB， ∴BC=AB ，( 等角对等边) 即 BC=AB=10×2=20(海里）.答：B处到礁石C的距离为20海里.BC30°60°M当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A．6米 B．9米 C．12米 D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A．300a元 B．150a元C．450a元 D．225a元BB4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .53.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1第3题图第4题图5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．6. 将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝10 cm，则阴影部分的面积是________cm2.812.57.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，8.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，课堂小结内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中下 课