高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习题，共7页。
1．sin 10°·cs 35°＋sin 80°·cs 55°＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
2．cseq \f(π,12)＋eq \r(3)sineq \f(π,12)的值为( )
A．－2 B.eq \r(2)
C.eq \f(1,2) D.eq \r(3)
3．设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，则cs β等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),10)
C.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),2)或eq \f(\r(2),10)
4．计算：cs 555°＝________.
5．已知sin α＝eq \f(15,17)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为________．
6．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4,5)eq \r(3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值．
[提能力]
7．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
8．已知sin(3π－θ)＝eq \f(\r(5),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))，(θ∈R)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝________.
9．已知tan α＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β均为锐角，求cs β的值．
[战疑难]
10．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则cs(α＋β)等于( )
A.eq \f(16,65) B．－eq \f(56,65)
C．－eq \f(33,65) D.eq \f(63,65)
课时作业(三十六) 两角差的余弦公式
1．解析：原式＝cs(90°－10°)cs 35°＋sin 80°sin(90°－55°)＝cs 80°cs 35°＋sin 80°sin 35°＝cs(80°－35°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).
答案：A
2．解析：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs\f(π,12)＋\f(\r(3),2)sin\f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs\f(π,12)＋sin\f(π,3)sin\f(π,12)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2cseq \f(π,4)＝eq \r(2).
答案：B
3．解析：因为α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，
sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)；
同理可得cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
答案：A
4．解析：cs 555°＝cs(720°－165°)＝cs 165°
＝cs(180°－15°)＝－cs 15°＝－cs(45°－30°)
＝－(cs 45°cs 30°＋sin 45° sin 30°)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))
＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
答案：－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
5．解析：∵sin α＝eq \f(15,17)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))2)＝－eq \f(8,17)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \f(π,4)cs α＋sineq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(15,17)＝eq \f(7\r(2),34).
答案：eq \f(7\r(2),34)
6．解析：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4,5)eq \r(3)，所以eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5).
7．解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β，两式分别平方相加得(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝1，∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A正确，B错误．又∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝eq \f(π,3)，C正确，D错误．
答案：AC
8．解析：由sin(3π－θ)＝eq \f(\r(5),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))得sin θ＝eq \f(\r(5),2)cs θ.因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(5),3)，,cs θ＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(\r(5),3)，,cs θ＝－\f(2,3).))
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs θ＋eq \f(\r(3),2)sin θ＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(\r(15),6))).
答案：±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(\r(15),6)))
9．解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝4eq \r(3)，∴sin α＝4eq \r(3)cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，∴sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs α＝eq \f(1,7)，
∵α＋β∈(0，π)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14).
∴sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，
∴cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)
＝eq \f(1,2).
10．解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴eq \f(π,4)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－ eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5).
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴eq \f(π,4)＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝ eq \r(1－\f(144,169))＝eq \f(5,13).
∴cs(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))
＝－eq \f(33,65).
答案：C