“四省八校”2022届高三上学期期中质量检测考试文科数学试题含答案

这是一份“四省八校”2022届高三上学期期中质量检测考试文科数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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秘密 启用前
“ 四省八校”2022 届高三第一学期期中质量检测考试文科数学
( 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前,务必在答题卡上填写姓名和报名号等相关信息并贴好条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将答题卡交回。
第 I 卷( 满分 60 分)
一、选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合
题目要求)
x - 5
1. 已知集合 A = {x x + 1 ≤ 0} ,B = { - 1,1,2,5} ,则 A ∩ B = ( )

A. {x - 1 ≤ x < 5} B. { - 1,1,2} C. { - 1,1,2,5} D.
{ - 1,5}

2. 下列函数中,在定义域上是减函数的为( )
A. f( x) = x3 B. f( x) = e-x
2
C. f( x) =log 1 | x | D. f( x) = - tanx
3. 在等差数列 {an} 中,前 9 项和 S9 = 18, a2 + a6 = 6,则 a3n = ( )
A. 3n - 3 B. 3n + 5 C. 7 - 3n D. 21 - 3n
4. 直线 (2m - 1 ) x + my + 2 = 0 和直线 mx + 3y + 1 = 0 垂直,则实数 m 的值为( )

A. 0 或 - 1
 1 1
B. - 1 C. 3 ± 6 D. 3 + 6

5. 已知实数 a,b ,则“ a < b < 0” 是“ ab < b2 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 f( x) = alxnx + b( a,b ∈ R) ,若 f( x) 的图象在点 (1,f(1) ) 处切线方程为 3x - y = 0,则

a + b = ( )
A. 0 B. 3 C.
 9 D. 6

7. → → →

2
→ → →
→ = →b


= + 2

a
已知命题 p: 若 a ∥ b ( a ≠ 0,b ≠ 0) , 则 a→
b→ , 命题 q: 函数 y
sinx
sinx x ∈

éê - π ,0 ) 最大值为-3,下列是真命题的为( )

ëê 2
A. ( ¬ p ) ∧ q B. p ∧ q C. p ∨ ( ¬ q) D.
( ¬ p ) ∧ ( ¬ q)

8. 已知函数 y = f( x - 1) 定义域为 R,且图象关于 x = 1 对称,在 (1, + ∞ ) 上单调递增,若 a =
1 1
4
log 1 3,b = 4 3 ,c = e 2 ,则( )
A. f( a) > f( b) > f( c) B. f( a) > f( c) > f( b)
C. f( c) > f( b) > f( a) D. f( b) > f( c) > f( a)
2
2
9. 已知函数 f ( x ) = sin( π + x ) sin( π + x ) + 3 cos2 x - 3 ,则下列正确的是( )
A. f ( x ) 最小正周期为 2π
6
B. ( π ,0 ) 是 f ( x ) 的一个对称中心
C. 将 f ( x ) 图象向右平移 π 个单位长度后得到 g ( x ) 的图象,此时 g ( x ) = - sin(2x - 5π )

D. éê - π , π ùú
2 6
是 f ( x ) 的一个减区间

ëê 6 3 úû
3
10. 已知平行四边形 ABCD , A→B·A→C = 3A→B·A→D,∠DAB = π ,则 C→A 与 C→B 的夹角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4
2
11. 已知点 P 在圆 O:x2 + y2 = 1 上, 从 A ( 1 ,0 ) 出发, 沿圆周逆时针方向运动了弧长
2
4
x (0 < x < π) 到达 B 点,且 tanx = 1 ,又 B 点在角 β + π 终边上,则 cos2β = ( )

25
A. - 24
B. - 4
 4 24
5
D.
C.
25

5
12. 在平面直角坐标系中,坐标原点为 O ,定点 M (1, - 1 ) ,动点 P ( x,y ) 满足 | PO | = 2 | PM | , P 的轨迹 C1 与圆 C2 :x2 + y2 - 3x + 3y + 4 + a = 0 有两个公共点 A,B ,若在 C1 上至多有 3 个不同的点到直线 AB 距离为 2 ,则 a 的取值范围为( )
A. ( - ∞ , - 2 - 2 2 ] ∪ [ - 6 + 2 2 , + ∞ )
B. ( - 4 - 2 2 , - 2 - 2 2 ]
C. [ - 6 - 2 2 , - 4 - 2 2 ) ∪ ( - 4 + 2 2 , - 2 + 2 2 ]
D. ( - 4 - 2 2 , - 2 - 2 2 ] ∪ [ - 6 + 2 2 , - 4 + 2 2 )
第 II 卷( 满分 90 分)
二、填空题( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
ìïx - y ≥ 0
í
13. 若实数 x,y 满足约束条件 ï2x + y - 6 ≤ 0 ,则 x + y 取最大值时最优解为 。
î
ïy ≥ - 1
14. 已知向量 →a = ( - 1,2 ) ,→b = ( 3,1 ) ,则 →a 在 →b 方向上的投影为 。
15. 已知函数 f ( x ) = - 4sin2 x + 4sinx,x ∈ [0,a ] 的值域为 [0,1 ] ,则实数 a 的取值范围为 。

16. 函数 f( x) 是定义在(0, + ∞ ) 上的可导函数, f′( x) 为其导函数, xf′( x) - 2f( x) = x2 ,且 f(1) =
0 ,若 f( x) = a 恰有两个零点,则 a 的取值范围为 。
三、解答题:共 70 分,解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。 第 17 ~ 21 题为必考题。每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
( 一) 必考题:共 60 分。
n n 2 16
64
17. 已知 S 是正项等比数列 {a } 的前 n 项和, S = 3 , S4 = 15 。

(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 设 bn =log2 an ,求数列 {b 1
} 前 n 项和 Tn 。

2n ·b2n+ 2





x
18. 已知函数 f( x) = x - a - lnx( a ∈ R) (1) 讨论 f( x) 的单调区间;
(2) 求 f( x) 在 [ 1e ,e] 上的最大值 g( a) 。


19. 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a 、 b 、 c , AC = 2 2 , 7 c·sinA = a - 2acos2( π + c ) ,D 为
2 2
BC 边上一点,且 CD = 7 - 2。(1) 求 AD;
(2) 若 AB = 2 ,求△ABC 面积。

20. 已知椭圆 C 的方程为: x2 + y2 = 1( a > b > 0),离心率为 1


,椭圆上的动点P 到右焦点F 距离

的最大值为 3。
a2 b2 2

(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过右焦点 F 作不平行于 y 轴的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴对称点为 A′ ,求证:
直线 BA′ 过定点。

21. 已知函数 f( x) = x2 + ax - ex ;
(1) 若 f( x) 的极大值点是 1,求 a 的值;
(2) 当 x ≥ 0 时, f( x) ≤ 0 恒成立,求 a 的最大整数值。

( 二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做。 则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号。
{
22. ( 本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为
x = - t
y = 3 - t ( t 为参数),以 O 为极点, x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系。 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ = 4sinθ 。(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C1 的直角坐标方程;
(2) 在直角坐标系中,若把曲线 C1 图象向下平移 2 个单位,然后横坐标不变,纵坐标压缩到原来
的 1 ,得到曲线 C2 ,直线 l 与曲线 C2 交于点 M、N,与 x 轴交于点 P,求 1 + 1 的值。
2 | PM | | PN |




23. ( 本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲
已知 f( x) =| 2x + a | +| 3x - 3b | ( a > 0, b > 0)
3
(1) 当 a = 1, b = 2 时,解关于 x 的不等式 f( x) < 1 + 7x ;

a 2b
(2) 若 f( x) 最小值为 3,求 2 + 1
的最小值。

“ 四省八校”2022 届高三第一学期期中质量检测考试文科数学参考答案
一、选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求)
1. B 【解析】 A = { x | - 1 ≤ x < 5} ,∴ A ∩ B = { - 1,1,2} 。
2. B 【解析】A 项单增;C 项在 ( - ∞ ,0) 单增, (0, + ∞ ) 单减;D 项在 ( kπ - π ,kπ + π ) , k ∈ Z
2 2
上单减。
3. C【解析】 S9 = 9a5 = 18,∴ a5 = 2 又 a2 + a6 = 2a4 = 6 ∴ a4 = 3
∴ 公差 d = a5 - a4 = - 1, an = a4 + ( n - 4)·d = 7 - n ,∴ a3n = 7 - 3n 4. A 【解析】 (2m - 1) m + 3m = 0,∴ m = - 1 或 m = 0,检验成立。
5. A 【解析】 1a < 1b < 0⇔b < a < 0, ab < b2 ⇔b( a - b) < 0,∴ 是充分不必要条件
x2
6. D 【解析】 f′( x) = a. 1 - lnx ,∴ f′(1) = a = 3,又 f(1) = b = 3,∴ a + b = 6
7. A 【解析】当 →a 与 →b 方向相反时,不相等,P 为假命题。 令 t = sinx ∈ [ - 1,0 ) ,则 y = t + 2t 在 t ∈ [ - 1,0) 上单减,∴ ymax = - 3, q 为真命题。
8. C 【解析】∵ y = f( x - 1) 关于 x = 1 对称,∴ y = f( x) 关于 y 轴对称, y = f( x) 为偶函数
又 y = f( x - 1) 在 (1, + ∞ ) 上单增,∴ y = f( x) 在 (0, + ∞ ) 上单增。
4
3
2
a = -log 3 ∈ ( - 1,0) ,∵ b6 =(4 1 ) 6 = 16, c6 =( e 1 ) 6 = e3 > 16,
∴ c > b > 1,∴ f( c) > f( b) > f( a)
9. B 【解析】 f( x) = - sinx·cosx + 3 (2cos2 x - 1) = - 1 sin2x + 3 cos2x = - sin(2x - π )
2 2 2 3
∵ f( π ) = 0∴ ( π ,0) 是 f( x) 的一个对称中心。
6 6
3
10. A 【解析】以 { A→B·A→D} 为基底, A→B·( A→B + A→D) = 3A→B·A→D A→B2 = 2A→B·A→D = 2 | A→B |·| A→D |·cos π ∴ | A→B | =| A→D |
∴ ABCD 是菱形 ∠ACB = 30° ∴ < C→A·C→B > =30°
11. D 【解析】 ∠AOB = x = 2x ∴ tan∠AOB = tan2x = 2tanx = 4
1 1 -tan2 x 3
2

∴ tan( β + π ) = 4 ∴ tanβ = 1
cos2β = cos2 β -sin2 β = 1 -tan2 β = 24



4 3 7
cos2 β + sin2 β 1 + tan2 β 25

( x - 1) 2 + ( y + 1) 2
12. D 【解析】由 x2 + y2 = 2 · 得 x2 + y2 - 4x + 4y + 4 = 0 即为 P 的轨
迹 C1 ,由 C1 - C2 得公共弦所在直线 AB 方程为: x - y + a = 0,又 C1 :( x - 2) 2 +( y + 2) 2 = 4,
1 - a
2
C (2, - 2) , r = 2, C :( x - 3 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 - a C ( 3 , - 3 ) r =

1 1 2 2
2 2 2 2 2 2

1 - a
2
∴
2
2
1 - a > 0a < 1
①; 因为两圆有两个公共点,所以 | r1 - r2 | < | C1 C2 | < | r1 + r2 |

∴ | 2 -
| < 2
1 - a
2
2
< 2 +
∴ - 4 - 2 2 < a < - 4 + 2 2 ②

又因为 C1 上至多有 3 个不同点到直线 AB 距离为 2
2
所以 C1(2, - 2) 到直线 AB 距离 d ≥ 2 - 2 ∴ | 4 + a |

≥ 2 - 2


∴ a ≥ - 6 + 2 2 或 a ≤ - 2 - 2 2 ③
由 ①②③ 得 - 4 - 2 2 < a ≤ - 2 - 2 2 或 - 6 + 2 2 ≤ a < - 4 + 2 2
二、填空题( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
y = 2
13. (2,2) 解析:令 z = x + y ,则 y = - x + z 过 A(2,2) 时, z 取得最大值,此时最优解为 (2,2) 。 ( 或 {x = 2 )



14. - 10 → →
→ →a·→b
= →a·→b = - 1


= - 10

10 解析: a 与 b 上的投影为 | a |·|
→a | |
→b | →b
10 10

15. éê π ,πùú 解析:设 t = sinx ,则 y = - 4t2 + 4t = - 4 (t - 1 ) 2 + 1 ∵ y ∈ [0,1 ] ,x ∈ [0,a ] ,
êë 6 úû 2
∴ t 必须取到 1 ,∴ a ≥ π ,又 x = 0 时, t = 0,y = 0,∴ a ≤ π ,∴ π ≤ a ≤ π
2 6 6
16. ( - 1 ,0 ) 解析:由 xf′( x) - 2f( x) = x2 得 xf′( x ) - 2f ( x ) = 1 ,
2e x3 x
x2
可逆向构造方程 f ( x ) = lnx + c ∴ f ( x ) = x2 lnx + cx2
又 f (1 ) = c = 0 ∴ f ( x ) = x2 lnx f′( x ) = 2xlnx + x = x (2lnx + 1 )
f ( x ) 在 (0,e- 1 ] 单减, ( e- 1 , + ∞ ) 单增, f ( e- 1 ) = - 1 f (1 ) = 0
2
2 2 2
e
2e
x → 0 时, f ( x ) → 0 ∵ f ( x ) = a 有两个零点 ∴ - 1 < a < 0

三、解答题:共 70 分,解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。 第 17 ~ 21 题为必考题。每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
17. 解:(1) S4 = 1 + q2 = 5 , ∵ q > 0,∴ q = 1 ,……3 分
S2 4 2

8
a1 = 1
……4 分 ∴ an = ( 1 ) n+ 2 ……5 分

2
2
1
(2) bn =log2 ( 1 ) n+ 2 = - ( n + 2) ,……6 分

1 1
n
n (
n ·
n
2
(2
4)
4
∴ b2 1b2 +2 = (2n + ) n + = · ( n + 1 ) ( +
) = 1 (n 1+ 1 - n +1 2 ) ,……8 分

2
4
∴ T = 1 1
- 1
+ 1
- 1
+···+ n +1
- +1
) = 1 ( 1 -
+1 ) = n ……12 分



4 2 3 3 4
1 n 2
4 2 n 2
8n + 16

x2
18. 解:(1) 定义域 (0, + ∞ ) , f′( x) = a - x 1 分
① a ≤ 0, f( x) 在 (0, + ∞ ) 上单减; 3 分
② a > 0, f( x) 在 (0,a ) 上单增, ( a, + ∞ ) 单减; 5 分
(2) 由(1) 知:① a ≤ 1e 时, f( x) 在 éê 1e ,eùú 单减, f( x) max = f ( 1e ) = 2 - ea ; 7 分
ëê úû

② a ≥ e 时, f( x) 在 éê 1e ,eùú 单增, f( x) max = f ( e ) = - a


; 9 分

ëê úû e
ë û
③ 1e < a < e 时, f( x) 在 éê 1e ,aùúú 单增, ( a,e ] 单减, f( x) max = f ( a ) = - lna ; 11 分

ìï- a
a ≥ e

ï e
e
综合 g( a) = ï- lna 1 < a < e 12
í 分
ï
ï 1
ïî2 - ea a ≤ e
2
2
19. 解:(1) 7 sinC·sinA = sinA - 2sinA·cos2 ( π + C ) ,

2
∵ sinA ≠ 0,∴ 7 sinC = 1 - 2sin2 C
= cosC ,

7
∴ tanC = 7 3 分
4
4
4
在 ΔABC 中, sinC = 2 cosC = 14 ,……4 分

AD2 = ( 2 2 ) 2 + (
7 - 2 ) 2 - 2 × 2 2 × (
7 - 2 ) × 14
= 5,

∴ AD = 5 6 分

(2) 在 ΔABC 中, AB
= AC
∴ sinB = 2 , ∴ B = π 或 B = 3π 8 分

sinC sinB
2 4 4

当 B = π 时, sin∠BAC = sin( π
+ C ) = 7 + 1 ,

4 4 4
S = 1 · 2 ·2 2 · 7 + 1 = 7 + 1 , 10 分
2 4 2
当 B = 3π 时, sin∠BAC = sin(3π + C ) = 7 - 1 ,
4 4 4
S = 1 · 2 ·2 2 · 7 - 1 = 7 - 1 ,
2 4 2
综合:面积 S 为 7 + 1 或 7 - 1 12 分

2
ìï c
í
20. 解:(1) 由题意知, ï a
= 1
2
2
, ……2 分

ïîa + c = 3

∴ {a = 2 ,∴ b = 3 ,∴ x2 + y2


= 1……4 分

c = 1 4 3
4
3
(2) ∵ F (1,0 ) ,设 l:y = k ( x - 1 ) ,与 x2 + y2 = 1
联立得 (3 + 4k2 ) x2 - 8k2 x + 4k2 - 12 = 0

= ……5 分
设 A ( x1 ,y1 ) ,B ( x2 ,y2 ) ,A′( x1 , - y1 ) , x1 + x2
= 8k2
3 + 4k2
, x1 x2
4k2 - 12

3 + 4k2

直线 BA′ 方程为: y + y1
= y2 + y1 ( x - x
x2 - x1 1
) ,……6 分

即 y = y2 + y1 x - (y2 x1 + y1 x1 + y )
x2 - x1 x2 - x1 1
= y2 + y1 x - y2 x1 + x2 y1
x2 - x1 x2 - x1
= y2 + y1 (x - y2 x1 + x2 y1 ) 8 分
x2 - x1 y1 + y2

∵ y2 x1 + x2 y1 = k ( x2 - 1 ) x1 + k ( x1 - 1 ) x2 = 2kx1 x2 - k ( x1 + x2 )


……10 分

y1 + y2 k ( x1 - 1 ) + k ( x2 - 1 ) k ( x1 + x2 ) - 2k

2·4k2 - 12 - 8k2

= 3 + 4k2
8k2
3 + 4k2
3 + 4k2 = 4
- 2

x2 - x1
∴ l:y = y2 + y1 ( x - 4 ) ∴ l 过定点 (4,0 ) 12 分
21. 解:(1) f′( x ) = 2x + a - ex ……1 分
∴ f′(1 ) = 2 + a - e = 0 ∴ a = e - 2 3 分
此时 f′( x ) = 2x + e - 2 - ex , f″ ( x ) = 2 - ex
f′( x ) 在 ( - ∞ ,ln2 ] 单增, (ln2, + ∞ ) 单减,又 f′(1 ) = 0
f ( x ) 在 (ln2,1 ] 单增, (1, + ∞ ) 单减,∴ x = 1 是 f ( x ) 的极大值点
∴ a = e - 2 5 分
(2) 法一:∵ f (1 ) ≤ 0,∴ a ≤ e - 1 7 分
当 a = 1 时, f ( x ) = x2 + x - ex , f′( x ) = 2x + 1 - ex
f″ ( x ) = 2 - ex ,∴ f′( x ) 在 [0,ln2 ) 单增, (ln2, + ∞ ) 单减
2
∵ f′(0 ) = 0,f′(ln2 ) = 2ln2 - 1 > 0, f′(1 ) = 3 - e > 0, f′( 3 ) = 4 - e 3 < 0
2
2
∃x0 ∈ (1, 3 ) 使 f′( x0 ) = 0,则 2x0 + 1 = ex0 9 分
此时 f ( x ) 在 [0,x0 ] 单增, ( x0 , + ∞ ) 单减 10 分

f ( x )
= f ( x
) = x2 + x
- ex0 = x2 - x
- 1 = (x
- 1 ) 2 - 5
< - 1
< 0 成立

max
0 0 0
0 0 0 2 4 4

∴ a 的最大整数值为 1 12 分
法二: x = 0 时, - 1 ≤ 0 恒成立, a ∈ R , 6 分
x
时
x > 0 , a ≤ ex - x2
令 g ( x ) = ex - x2 , g′( x ) = xex - ex - x2
x x2
令 t ( x ) = xex - ex - x2 , t′( x ) = x ( ex - 2 )
∴ t ( x ) 在 (0,ln2 ] 单减, (ln2, + ∞ ) 单增, t (0 ) = - 1 < 0, 7 分

2
t ( 3 ) = 1 e 3 - 9 = 4e3 - 81
< 0, t (2 ) > 0

2 2 4 4

2
0
∃x0 ∈ ( 3 ,2 ) 使 t ( x0 ) = 0,∴
( x0 - 1 ) ex0 = x2 , 8 分

此时 g ( x ) 在 (0,x0 ] 单减, ( x0 , + ∞ ) 单增
x2
x 0 - x2

∴ g ( x )
= g ( x
) = e 0 - x2 = x - 1


0 = x - x 9 分

min 0
0 0
x0 x0
0
x0 - 1 0

g′( x0 ) = - 1 - 1 < 0,∴ g ( x0 ) 在 ( 3 ,2 ) 上单减,∴ g ( x0 ) ∈ (0, 3 ) ……10 分
( x0 - 1 ) 2 2 2
∴ a ≤ g ( x0 ) ,当 a = 1 时,同法一:检验成立,∴ a 的最大整数值为 1……12 分
22. 解:(1) l:x - y + 3 = 0 2 分

C1 :x2 + ( y - 2 ) 2 = 4 5 分
(2) C :x2 + y2 = 1 6 分
2 4
x
2
ï
ïì = - 3 + 2 t

P ( - 3 ,0 ) , l 的标准参数方程为
ï
í
ï
y
ï = 2 t
î 2
( t 为参数) 7 分

x2
代入 4
+ y2 = 1 中,得 5t2 - 2 6 t - 2 = 0

设 M,N 对应参数为 t1 ,t2 ,则 t1 ,t2 即为上述方程的两根 t1 + t2 = 2 6 , t1 t2 = - 2
……8 分

1 + 1 = 1 + 1 = | t2 | +| t1 |
5 5
= | t1 - t2 |



| PM | | PN | t1 t2 | t1 t2 |
t1 t2




( t1 + t2 ) 2 - 4t1 t2
= | t1 t2 |
= 2
25 5
24 + 8
5
= 4 10 分

3
23. 解:(1) a = 1,b = 2
时 , | 2x + 1 | +| 3x - 2 | < 1 + 7x

3
ìïx ≥ 2
ìï- 1
< x < 2
ìïx ≤ - 1
ï


2
ï ï
í 或 í
3 或 í 2
…………3 分

ïî5x - 1 < 1 + 7x
ïî3 - x < 1 + 7x
ïî1 - 5x < 1 + 7x

4
∴ {x | x > 1 } ……5 分

2
(2) f ( x ) =| 2x + a | + 3
| 2x - 2b | ≥| 2x + a | +| 2x - 2b | ≥|
(2x + a ) - ( 2x - 2b ) |

当 {
=| a + 2b | = a + 2b 7 分

2x - 2b = 0
(2x + a ) (2x - 2b ) ≤ 0
,即 x = b 时取“ = ”

∴ f ( x ) min = a + 2b = 3 8 分
a b
∴ 2 + 1 = 1 ( 2a + 1b ) ( a + 2b ) = 1 (3 + 4b + a ) ≥ 1 (3 + 2 2 )
2 3 2 3 a 2b 3

ìï4b = a
 2 1
3 + 2 2



当且仅当 ï a 2b 时,
+ 取最小值
……………………10 分

í
ïîa
+ 2b = 3
a 2b 3