2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习17《简单的三角恒等变换》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习17《简单的三角恒等变换》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))=( )
A.4- 2eq \r(3) B.2eq \r(3)- 4 C.4- 4eq \r(3) D.4eq \r(3)- 4
已知锐角α，β满足sinα－csα=eq \f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq \r(3)tanα·tanβ=eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A.α＜eq \f(π,4)＜β B.β＜eq \f(π,4)＜α C.eq \f(π,4)＜α＜β D.eq \f(π,4)＜β＜α
已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，则cs 2α=( )
A.1 B.－1 C.eq \f(1,2) D.0
若csθ=eq \f(2,3)，θ为第四象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))的值为( )
A.eq \f(\r(2)＋\r(10),6) B.eq \f(2\r(2)＋\r(10),6) C.eq \f(\r(2)－\r(10),6) D.eq \f(2\r(2)－\r(10),6)
已知tan α=eq \f(m,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(2,m)，则m=( )
A.- 6或1 B.- 1或6 C.6 D.1
若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且3cs2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为( )
A.－eq \f(1,18) B.eq \f(1,18) C.－eq \f(17,18) D.eq \f(17,18)
已知α∈R，sinα＋2csα=eq \f(\r(10),2)，则tan2α=( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(4,3)
若α∈(eq \f(π,2),π)，且3cs 2α=sin(eq \f(π,4) -α)，则sin 2α的值为( )
A.eq \f(1,18) B.－eq \f(1,18) C.eq \f(17,18) D.－eq \f(17,18)
eq \f(cs85°＋sin25°cs30°,cs25°)等于( )
A.－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.1
已知f(x)=sinx－csx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=( )
A.－eq \f(4,3) B.－eq \f(3,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
若函数f(x)=5csx＋12sinx在x=θ时取得最小值，则csθ=( )
A.eq \f(5,13) B.－eq \f(5,13) C.eq \f(12,13) D.－eq \f(12,13)
若cs α＋2cs β=eq \r(2)，sin α=2sin β- eq \r(3)，则sin2(α＋β)=( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.0
二、填空题
化简：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°(eq \f(1,tan 5°)－tan 5°)的值为________.
已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))=eq \f(1,4)，则sin4θ＋cs4θ的值为 .
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：由题意可得- sin α=- 3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，即sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))－\f(π,12)))
=3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,12)))，sineq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))α＋eq \f(π,12)eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))·cs eq \f(π,12)- cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,12)
=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cs eq \f(π,12)＋3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,12)，整理可得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))=- 2tan eq \f(π,12)
=- 2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))=- 2×eq \f(tan \f(π,4)－tan \f(π,6),1＋tan \f(π,4)tan \f(π,6))=2eq \r(3)- 4.故选B.
答案为：B；
解析：∵α为锐角，sinα－csα=eq \f(1,6)＞0，∴eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2).
又tanα＋tanβ＋eq \r(3)tanαtanβ=eq \r(3)，
∴tan(α＋β)=eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)=eq \r(3)，∴α＋β=eq \f(π,3)，又α＞eq \f(π,4)，∴β＜eq \f(π,4)＜α.
答案为：D
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，∴eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α=eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sin α=－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cs α，
∴tan α=eq \f(sinα,csα)=－1，∴cs 2α=cs2α－sin2α=eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)=eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)=0.
答案为：B；
解析：由csθ=eq \f(2,3)，θ为第四象限角，得sinθ=－eq \f(\r(5),3)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)(csθ－sinθ)=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(\r(5),3)))=eq \f(2\r(2)＋\r(10),6).故选B.
答案为：A；
解析：∵tan α=eq \f(m,3)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tan α＋1,1－tan α)=eq \f(3＋m,3－m).∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(2,m)，
∴eq \f(2,m)=eq \f(3＋m,3－m).解得m=- 6或m=1.故选A.
答案为：C；
解析：由3cs2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))可得3(cs2α－sin2α)=eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)，
又由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))可知csα－sinα≠0，于是3(csα＋sinα)=eq \f(\r(2),2)，
所以1＋2sinα·csα=eq \f(1,18)，故sin2α=－eq \f(17,18).故选C.
答案为：C；
解析：因为sinα＋2csα=eq \f(\r(10),2)，
所以sin2α＋4cs2α＋4sinαcsα=eq \f(10,4)(sin2α＋cs2α)，
整理得3sin2α－3cs2α－8sinαcsα=0，
则－3cs2α=4sin2α，所以tan2α=－eq \f(3,4).
答案为：D；
解析：cs 2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
代入原式，得6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))=eq \f(1,6)，
∴sin 2α=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1=－eq \f(17,18).
答案为：C；
解析：原式=eq \f(sin5°＋\f(\r(3),2)sin25°,cs25°)=eq \f(sin30°－25°＋\f(\r(3),2)sin25°,cs25°)=eq \f(\f(1,2)cs25°,cs25°)=eq \f(1,2).
答案为：A.
解析：由题意可得f′(x)=csx＋sinx，∴f′(α)=csα＋sinα.
由f′(α)=3f(α)，得csα＋sinα=3sinα－3csα，
∴2sinα=4csα，即tanα=2.∴tan2α=eq \f(2tanα,1－tan2α)=eq \f(4,1－22)=－eq \f(4,3)，故选A.
答案为：B.
解析：f(x)=5csx＋12sinx=13eq \f(5,13)csx＋eq \f(12,13)sinx=13sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋α))，
其中sinα=eq \f(5,13)，csα=eq \f(12,13)，由题意知θ＋α=2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
得θ=2kπ－eq \f(π,2)－α(k∈Z)，
那么csθ=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))=－sinα=－eq \f(5,13)，故选B.
答案为：A；
解析：由题意得(cs α＋2cs β)2=cs2α＋4cs2β＋4cs αcs β=2，
(sin α- 2sin β)2=sin2α＋4sin2β- 4sin αsin β=3.两式相加，
得1＋4＋4(cs αcs β- sin αsin β)=5，∴cs(α＋β)=0，
∴sin2(α＋β)=1- cs2(α＋β)=1.
答案为：eq \f(\r(3),2)
解析：原式=eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
=eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°×eq \f(2cs 10°,sin 10°)=eq \f(cs 10°－2sin（30°－10°）,2sin 10°)
=eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)=eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)=eq \f(\r(3),2).
答案为：eq \f(5,8).
解析：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ－\f(\r(2),2)sinθ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ＋\f(\r(2),2)sinθ))
=eq \f(1,2)(cs2θ－sin2θ)=eq \f(1,2)cs2θ=eq \f(1,4).所以cs2θ=eq \f(1,2).
故sin4θ＋cs4θ=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs2θ,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs2θ,2)))2=eq \f(1,16)＋eq \f(9,16)=eq \f(5,8).
答案为：eq \f(41,50)
解析：法一：因为cs 2θ=eq \f(4,5)，所以2cs2θ－1=eq \f(4,5)，1－2sin2θ=eq \f(4,5)，
因为cs2θ=eq \f(9,10)，sin2θ=eq \f(1,10)，所以sin4θ＋cs4θ=eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ=(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ=1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)=1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)=eq \f(41,50).
答案为：－eq \f(4,5).
解析：∵cs(α- eq \f(π,6))＋sin α=eq \f(4\r(3),5)，∴eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(3,2)sin α=eq \f(4\r(3),5)，eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α＋\f(\r(3),2)sin α))=eq \f(4\r(3),5)，eq \r(3)sin(α+ eq \f(π,6))=eq \f(4\r(3),5)，∴sin(α+ eq \f(π,6))=eq \f(4,5)，
∴sin(α+ eq \f(7π,6))=－sin(α+ eq \f(π,6))=－eq \f(4,5).
答案为：eq \f(7,8).
解析：由sinα＋csα=eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sinαcsα=1＋sin2α=eq \f(5,4)，
所以sin2α=eq \f(1,4)，从而cs4α=1－2sin22α=1－2×(eq \f(1,4))2=eq \f(7,8).
答案为：0.
解析：∵tanα＋eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3)，∴(tanα－3)·(3tanα－1)=0，
∴tanα=3或eq \f(1,3).∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα>1，∴tanα=3，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α=eq \f(\r(2),2)sin2α＋eq \f(\r(2),2)cs2α＋eq \f(\r(2)1＋cs2α,2)
=eq \f(\r(2),2)(sin2α＋2cs2α＋1)=eq \f(\r(2),2)eq \f(2tanα,1＋tan2α)＋2eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＋1=eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,10)－\f(16,10)＋1))=0.