2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习21《解三角形的综合应用》(含详解)

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在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)=3a2＋2bc.
(1)若sin B=eq \r(2)cs C，求tan C的大小；
(2)若a=2，△ABC的面积S=eq \f(\r(2),2)，且b>c，求b，c.
在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c.C=eq \f(3π,4)，且sin(A＋C)=2sin Acs(A＋B).
(1)求证：a，b,2a成等比数列；
(2)若△ABC的面积是1，求c的长.
已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(2a－b,c)=eq \f(csB,csC).
(1)求角C的大小；
(2)求函数y=sinA＋sinB的值域.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)=eq \f(sin C,c).
(1)证明：sin Asin B=sin C.
(2)若b2＋c2－a2=eq \f(6,5)bc，求tan B.
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且.
(1)求角B的大小；
(2)若b=，的周长为，求的面积
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2=bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a=eq \r(3)，求BC边上的中线AM的最大值.
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq \f(acsB＋bcsA,c)=eq \f(2\r(3),3)sinC.
(1)求C的值；
(2)若eq \f(a,sinA)=2，求△ABC的面积S的最大值.
某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，
四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).
∠BCD=∠CDE=eq \f(2π,3)，∠BAE=eq \f(π,3)，DE=3BC=3CD=eq \f(9,10) km.
(1)求道路BE的长度；
(2)求生活区△ABE面积的最大值.
\s 0 答案解析
解：因为3(b2＋c2)=3a2＋2bc，所以eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(1,3)，
由余弦定理得cs A=eq \f(1,3)，所以sin A=eq \f(2\r(2),3).
(1)因为sin B=eq \r(2)cs C，所以sin(A＋C)=eq \r(2)cs C，
所以eq \f(2\r(2),3)cs C＋eq \f(1,3)sin C=eq \r(2)cs C，
所以eq \f(\r(2),3)cs C=eq \f(1,3)sin C，所以tan C=eq \r(2).
(2)因为S=eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(\r(2),2)，所以bc=eq \f(3,2).①
由余弦定理a2=b2＋c2－2bccs A，
可得4=b2＋c2－2bc×eq \f(1,3)，所以b2＋c2=5.②
因为b>c>0，所以联立①②可得b=eq \f(3\r(2),2)，c=eq \f(\r(2),2).
解：(1)证明：∵A＋B＋C=π，sin(A＋C)=2sin Acs(A＋B)，
∴sin B=－2sin Acs C.
在△ABC中，由正弦定理得，b=－2acs C，
∵C=eq \f(3π,4)，∴b=eq \r(2)a，则b2=a·2a，
∴a，b,2a成等比数列.
(2)S△ABC=eq \f(1,2)absin C=eq \f(\r(2),4)ab=1，则ab=2eq \r(2)，
由(1)知，b=eq \r(2)a，联立两式解得a=eq \r(2)，b=2，
由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcs C=2＋4－4eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))=10，∴c=eq \r(10).
解：(1)由eq \f(2a－b,c)=eq \f(csB,csC)，利用正弦定理可得2sinAcsC－sinBcsC=sinCcsB，
可化为2sinAcsC=sin(C＋B)=sinA，
∵sinA≠0，∴csC=eq \f(1,2)，∵C∈(0，eq \f(π,2))，∴C=eq \f(π,3).
(2)y=sinA＋sinB=sinA＋sin(π－eq \f(π,3)－A)=sinA＋eq \f(\r(3),2)csA＋eq \f(1,2)sinA=eq \r(3)sin(A＋eq \f(π,6))，
∵A＋B=eq \f(2π,3)，0