2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习34《直线、平面的垂直关系》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习34《直线、平面的垂直关系》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )
A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D.若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β
三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
①CC1与B1E是异面直线；
②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
③AC⊥平面ABB1A1；
④A1C1∥平面AB1E.
A.② B.①③ C.①④ D.②④
设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( )
A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l
B.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
D.n⊥α，n⊥β，m⊥α
已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA=1，PB=PD=eq \r(2)，则它的五个面中，互相垂直的面共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=直线l，则( )
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A.若a∥α，b∥α，则a∥b
B.若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C.若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D.若a∥α，a⊥b，则b⊥α
如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.异面直线AD与CB1所成的角为45°
C.AC1⊥平面CB1D1
D.AC1与平面ABCD所成的角为30°
二、填空题
若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________.
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线.
如图，∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有______________.
α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是 .
如图，已知∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ；与AP垂直的直线有 .
若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________.
已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是________.
\s 0 答案解析
答案为：A
解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.
答案为：C；
解析：因为α∩β=l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.
答案为：C；
解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则α⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；
对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，
又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；
对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；
对于D，若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C.
答案为：A.
解析：对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；
对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；
对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；
对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误.故选A.
答案为：D
解析：若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m与β的位置不确定；若α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行，此时m∥β；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则α，β不一定平行，则m不一定与β垂直；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，则m⊥β.故选答案为：D.
答案为：D；
解析：因为直线m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立.故选D.
答案为：C；
解析：因为AB=AD=AP=1，PB=PD=eq \r(2)，所以AB2＋AP2=PB2，PA2＋AD2=PD2，则PA⊥AB，PA⊥AD，可得PA⊥底面ABCD，又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD，AD∩PA=A，所以AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD.又BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又CD⊥AD，CD⊥AP，AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.故选C.
答案为：D；
解析：对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误.D正确.
答案为：C；
解析：如图，设平面α与平面β的交线为a，若在平面β内的直线与α，β的交线a平行，
则该直线与m垂直.但β内不一定存在直线与m平行，只有当α⊥β时才存在.故选C.
答案为：D
解析：①如图，
取BC的中点M，连接AM，DM，由AB=AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，
而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，
由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.
答案为：B.
解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误.
答案为：D.
解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1=45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.
答案为：②④
解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.
答案为：AB，BC，AC AB
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC.∴与AP垂直的直线是AB.
答案为：①③；
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②不能得到BD⊥EF，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，
又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.
∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β=EF，
∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥EF，故③正确；
④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，
则EF⊥AC，故④错误，故填①③.
答案为：AB，BC，AC；AB.
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC，
又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
答案为：eq \f(1,3).
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl=3πr2，即l=3r，
母线与底面夹角为θ，则cs θ=eq \f(r,l)=eq \f(1,3).
答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：因为三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，
∴S在平面ABC内的射影为AB中点，记为H，连接CH，SH，∴SH⊥平面ABC，
∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，∴三棱锥的外接球的球心在线段SH上，
记为O，连接OC，设外接球的半径为R，则SO=OC=R=eq \r(3)－OH，在△OCH中，
由OH2＋HC2=OC2，得OH2=(eq \r(3)－OH)2－12，得OH=eq \f(\r(3),3)，
故外接球的球心到平面ABC的距离是eq \f(\r(3),3).