上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高二上学期期中教学评估数学【试卷+答案】

这是一份上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高二上学期期中教学评估数学【试卷+答案】，共1页。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.已知圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为 ．
从装有红、黑两种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，写出这个随机试验的样本空间__________________.
3.若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是_______.
4.若两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比为_____.
5.甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为_______.
6.若正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离为_______.
7.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________.
8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为________
9.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
如图，在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点.点在底面内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为_______.
11.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为.若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
12.如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是_______.
二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C． D．
14.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是( )
15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A．B．C． D．
16.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（ [来 ）
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
抛掷3枚硬币，用、分别表示正面与反面，求：
（1）这个随机试验的样本空间；
（2）至少出现两个反面的概率；
（3）至少出现一个正面的概率.
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在长方体eq ABCD－eq A\s\d3(1)eq B\s\d3(1)eq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)中，eq T为eq DeqD\s\d3(1)上一点，已知eq DT＝2，AB＝4，BC＝2，．
（1）求直线eq TC与平面eq ABCD所成角的大小；
（2）求点eq C\s\d3(1)到平面eq eq A\s\d3(1)T C的距离．
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图1，在三棱柱中，已知，，，且平面．过、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求四棱锥的体积和表面积．
图2
图1
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
（1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；
（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；
（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）.
致远高中2021学年第一学期期中教学评估
高二数学
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.已知圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为 ．
答案：π
从装有红、黑两种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，写出这个随机试验的样本空间__________________.答案：
3.若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是_______.答案：
4.若两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比为_____.答案：
5.甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为_______.答案：
6.若正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离为_______.
答案：1
7.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________.答案：
8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为________
答案：
9.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．答案：
如图，在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点.点在底面内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为_______.答案：
11.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为.若的面积为，则该圆锥的体积为__________．答案：
12.如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是_________.答案：
二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ C ）
A．B．C． D．
14.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是( )
15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ C ）
A．B．C． D．
16.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（ [来）
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
抛掷3枚硬币，用、分别表示正面与反面，求：
（1）这个随机试验的样本空间；
（2）至少出现两个反面的概率；答案：
（3）至少出现一个正面的概率.答案：
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在长方体eq ABCD－eq A\s\d3(1)eq B\s\d3(1)eq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)中，eq T为eq DeqD\s\d3(1)上一点，已知，，，．
（1）求直线eq TC与平面eq ABCD所成角的大小；
（2）求点eq C\s\d3(1)到平面eq eq A\s\d3(1)T C的距离．
解：（1）联结eq TC，在长方体eq ABCD－eq A\s\d3(1)eq B\s\d3(1)eq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)中，
因为eq Deq D\s\d3(1)⊥平面eq ABCD，即 eq TD⊥平面eq ABCD，
所以直线eq TC与平面eq ABCD所成的角即为eq ∠TCD，
在eq Rt△TCD中，由eq DT=2，CD=AB=4，可得eq tan∠TCD=eq \f(DT,CD)eq = eq \f(1,2)，
显然 eq eq ∠TCD∈(0， eq \f(π,2))，故eq ∠TCD=arctaneq \f(1,2)，
所以 直线eq TC与平面eq ABCD所成角的大小为eq arctaneq \f(1,2)．
（2） 由已知可得eq eq A\s\d3(1)T=TC=2eq \r(5)，eq eq A\s\d3(1)C= 2eq \r(14)，
所以eq S\s\d2(eq △eq A\s\d3(1)TC)eq = eq \f(1,2)▪2eq \r(14)▪eq \r(6)eq =2eq \r(21)．又易得eq S\s\d2(eq △TCeq C\s\d3(1))eq = eq \f(1,2)▪6▪4eq =12．
设点eq C\s\d3(1)到平面eq eq A\s\d3(1)T C的距离为eq h\s\d3()．在长方体eq ABCD－eq A\s\d3(1)eq B\s\d3(1)eq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)中，
因为eq eq A\s\d3(1)eq D\s\d3(1)⊥平面eq CDeq C\s\d3(1)eq D\s\d3(1)，即eq eq A\s\d3(1)eq D\s\d3(1)⊥平面eq TCeq C\s\d3(1)，
再由eq V\s\d4(eq eq C\s\d3(1)－eq A\s\d3(1)TC)eq =V\s\d4(eq eq A\s\d3(1)－TCeq C\s\d3(1))得eq eq \f(1,3)eq S\s\d2(eq △eq A\s\d3(1)TC)▪eq h\s\d3()= eq \f(1,3)eq S\s\d2(eq △TCeq C\s\d3(1))▪eq eq A\s\d3(1)eq D\s\d3(1)，
所以，eq eq h=\s\d3()eq \f(eq S\s\d2(eq △TCeq C\s\d3(1))▪eq eq A\s\d3(1)eq D\s\d3(1),eq S\s\d2(eq △eq A\s\d3(1)TC))＝eq \f(12▪2,2eq \r(21))＝eq \f(4eq \r(21),7)．即 点eq C\s\d3(1)到平面eq eq A\s\d3(1)T C的距离为eq \f(4eq \r(21),7)．
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图1，在三棱柱中，已知，，，且平面．过、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求四棱锥的体积和表面积．
图2
图1
解：（1）∵ ∴即为异面直线与所成的角， ………2分
∵平面，∴平面，∴ ，
∵ ………5分
∴ ∴ ，
即异面直线与所成的角为 . ………7分
(或 ， 或 )
（2） ……………10分

……………14分
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
【分析】
(1)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(2)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(3)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到
满足题意的点.
【详解】（1）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,所以平面.
（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；
因为平面，平面,所以；
因所以平面，
平面,所以平面平面.
（3）存在点为中点时，满足平面；理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
（1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；
（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）；
（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知、求证、证明过程并画图）.
第21题备选题
21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，圆锥底面半径为1，高为2.
(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；
(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值? 说明理由；
(3)若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.
解：(1)
(2)
(3)