广东省深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学2020－2021学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

深中龙初2020－2021学年第一学期九年级期中考试数学试题

一．选择题（每题3分，共36分）

1． 下列方程中是一元二次方程的是（　　）

 A．2x＋1＝0 B．y2＋x＝1 C．x2＋1＝0 D．＋x2＝1

2． 若点C是线段AB的中点，则CA与BA的比值是（　　）

 A．1 B．2 C． D．

3． 根据下表的对应值：

 判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一解的取值范围是（　　）

 A．3＜x＜3.23  B．3.23＜x＜3.24

 C．3.24＜x＜3.25  D．3.25＜x＜3.26

4． 为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（　　）

 A．1333条 B．3000条 C．300条 D．1800条

5． 小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（　　）

 A． B． C． D．1

6． 若0是关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－m＝0的一个根，则m等于（　　）

 A．1 B．0 C．0或1 D．无法确定

7． 已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是（　　）

 A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

8． 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）

 A．对角线互相平分  B．对角线互相垂直 

 C．对角线相等  D．对角线互相垂直且相等

9． 如图，已知AD∥BE∥CF，＝，DE＝3，则DF的长为（　　）

 A．2

 B．4.5

 C．3

 D．7.5

10．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，AE＝AB，则∠ABE的度数为（　　）

 A．60°

 B．70°

 C．72°

 D．75°

11．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（　　）

 A．

 B．

 C．

 D．

12．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则下列结论：①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM．正确的有（　　）个．

 A．1

 B．2

 C．3

 D．4

二．填空题（每题3分，共12分）

13．方程x2＝3x的解为________．

14．若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．

15．已知关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．

16．如图，等边△EFG的顶点分别在矩形ABCD的边AD、AB、CD上，若AE＝1，DE＝4，则DG的值为________．

三．解答题（共52分）

17．（9分）用适当的方法解下列方程：

（1）x2－2x＝3； （2）5x2＋2x－1＝0； （3）(x－1)2＝(2－3x)2．

18．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个只有颜色不同的小球，其中两个红球，一个黄球，一个蓝球．

（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为________；恰好是黄球的概率为________；．

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．

19．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．

20．（7分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上的一点，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F．

（1）求证：△CDE∽△CBF；

（2）若点B为AF的中点，CB＝3，DE＝1，求CD的长．

21．（7分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．

（1）求该公司销售A产品每次的增长率；

（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？

22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A(8，0)，B(0，4)，点P从点A出发，沿OA方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点O出发，沿OB方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点O的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，△POQ的面积为3；

（2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似；

（3）如图2，将线段BA绕点B逆时针旋转45°至BD，请直接写出点D的坐标．

23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD上一点．

（1）如图1，当CE⊥BD时，求CE的值；

（2）如图2，当△BCE为等腰三角形时，直接写出DE的值；

（3）如图3，当点F在AB边上，且四边形CEFG为矩形，连接BG．

 ①的值是否为定值？如果是，请求出此定值；若不是，请说明理由；

 ②请直接写出BG的最大值．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．选：C．

2．选：C．

3．选：C．

4．选：A．

5．选：B．

6．选：A．

7．选：D．

8．选：A．

9．选：D．

10．选：D．

11．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD＝MB．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．

设AB＝x，AM＝y，则MB＝2x－y，（x、y均为正数）．

在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，即x2＋y2＝（2x－y）2，解得x＝y，

∴MD＝MB＝2x－y＝y，∴＝＝．故选：C．

12．【解答】解：∵AG∥FC且AG＝FC，∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，∵，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE＋∠AEM＝90°，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∴∠AME＝90°，∴∠GND＝90°，

∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．

∵G点为AD中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，

∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；

在△GDC和△GMC中，∵，∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，∴G、D、C、M四点共圆，∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，∴DM＜AD，∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．故选：B．

二．填空题

13．答案是：x1＝0，x2＝3．

14．答案为：8．

15．答案为：k≤0且k≠－1．

16．【解答】

解：过G作GH⊥AB于H，延长BA至M，延长AB至N，构造一线三等角全等，

即△MEF≌△NFG（AAS），∴∠M＝∠N＝60°，∴ME＝，∴NF＝，

又GH＝5，∴NH＝，∴FH＝，勾股定理得FG＝2，可得DG＝3．

故答案为：3．

三．解答题

17．【解答】解：（1）x1＝－1，x2＝3；

（2）∵a＝5，b＝2，c＝－1，

∴△＝22－4×5×（－1）＝24＞0，

则x＝＝，

即x1＝，x2＝；

（3）x1＝，x2＝．

18．【解答】解：（1）答案为：；．

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次都是红球的有4种结果，

所以两次都是红球的概率为．

19．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；

（2）解：∵△ABC是边长为4的正三角形，∴AB＝AC＝4，∠ABC＝60°，

∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝2，OD＝OB，

∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝2，

∴OD＝OB＝2，∵四边形AODE是矩形，

∴四边形AODE的面积＝22＝4．

20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠1＝∠2＋∠3＝90°，

∵CF⊥CE，∴∠4＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4，

∴△CDE∽△CBF；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，

∵B为AF的中点，∴BF＝AB，

设CD＝BF＝x，∵△CDE∽△CBF，∴，

∴，∵x＞0，∴x＝，

即CD的长为．

21．【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，

依题意，得：20（1＋x）2＝45，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．

（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，

依题意，得：（2－y）（30＋）＝70，

整理，得：4y2－5y＋1＝0，解得：y1＝，y2＝1．

∵尽量减少库存，∴y＝1．

答：每套A产品需降价1万元．

22．【解答】解：（1）t＝1或3秒；

（2）t＝2或秒；

（3）D(12＋6，8＋2)（构造一线三垂直全等，再利用勾股定理求解）．

23．【解答】解：（1）CE＝；

（2）5或4或；

（3）①是，的值为，过E作AB、CD的垂线，交CD于M，交AB于N，

＝＝＝＝；

②易证△CDE∽△CBG，＝＝，∴BG＝DE，求BG最大值，即求DE最大值，又DE在△CDE中，当CE取最小值即CE⊥BD时，DE取最大值为．∴BG最大值为．