广东省深圳市龙华区高峰学校2020－2021学年九年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】

这是一份广东省深圳市龙华区高峰学校2020－2021学年九年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】，共12页。试卷主要包含了下列方程一定是一元二次方程的是，若＝，则的值为，方程＝－4的解是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

龙华区高峰学校2020－2021学年第一学期九年级期中考试数学试题

一．选择题（每题3分，共36分）
1． 如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°

2． 下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2＋－1＝0 B．5x2－6y－3＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．3x2－2x－1＝0

3． 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，3)，则A、C两点间的距离是（　　）
A．4
B．
C．
D．2

4． 若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．

5． 方程(x＋1)(x－3)＝－4的解是（　　）
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝x2＝1

6． 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）
A．100°
B．120°
C．115°
D．135°

7． 如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2．则根据题意可列出方程（　　）
A．5000－150x＝4704
B．5000－150x＋x2＝4704
C．5000－150x－x2＝4704
D．5000－150x＋x2＝4704
8． 下列说法正确的是（　　）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形
C．对角互补的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形

9． 对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2－ab，例如：3*2＝32－3×2＝3，则方程(x＋1)*3＝－2的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度（　　）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等

11．如图，已知点F在AB上，且AF∶BF＝1∶2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，则FN∶ND的值为（　　）
A．1∶3
B．2∶3
C．3∶4
D．4∶5

12．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，点O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的个数是（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

二．填空题（每题3分，共12分）
13．若x2－9＝0，则x＝________．

14．将一元二次方程x2－6x＋5＝0化成(x－a)2＝b的形式，则ab＝________．

15．如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为________°．




16．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．






三．解答题（共52分）
17．（9分）解方程：
（1）(x＋5)2＝16； （2）3x2－5x＝2； （3）x2－x－1＝0．







18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．








19．（5分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？








20．（9分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．












21．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？





22．（5分）已知：如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t(s)，问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？











23．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．










参考答案与试题解析
一．选择题
1．选：B．
2．选：D．
3．选：C．
4．选：C．
5．选：D．
6．选：B．
7．选：B．
8．选：C．
9．选：D．
10．【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠EBD＝∠EBD＋∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，，
∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，
∴AE＋CF＝DF＋CF＝CD＝AB，故选：D．

11．【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴＝，
∵AF：BF＝1：2，∴＝，∴＝，即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，∴CD＝BC，
∵FE∥BD，∴＝＝＝．即FN：ND＝2：3．

12．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF＋∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°－（∠ADE＋∠DAF）＝180°－90°＝90°，
∴∠AME＝180°－∠AMD＝180°－90°＝90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴＝＝＝2，∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，解得AM＝a，
∴MF＝AF－AM＝a－a＝a，
∴AM＝MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB－AN＝2a－a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝＝a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a－a＝a，MK＝a－a＝a，
在Rt△MKO中，MO＝＝＝a，
根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，
∵BM2＋MO2＝（a）2＋（a）2＝2a2，BO2＝（a）2＝2a2，
∴BM2＋MO2＝BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：B．


二．填空题
13．答案为：±3．
14．答案为：12．
15．【解答】解：取CD的中点E，连接AE，
在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC＋∠C＝50°，
∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，
∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，
∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝105°，
故答案为：105．

16．【解答】解：连接ED，如图，

∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP＝BP，∴ED即为EP＋BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，
∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），
∴可得直线OC的解析式为：y＝x，
∵点E的坐标为（0，－1），∴可得直线ED的解析式为：y＝（1＋）x－1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，
所以点P的坐标为（），故答案为：（）．

三．解答题（共8小题）
17．【解答】解：（1）x1＝－1，x2＝－9；
（2）x1＝2，x2＝－；
（3）x1＝，x2＝．

18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，
∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，∴OE＝AC＝．

19．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22－3x＋2）米，
依题意，得：x（22－3x＋2）＝45，
整理，得：x2－8x＋15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，22－3x＋2＝15＞14，不合题意，舍去；
当x＝5时，22－3x＋2＝9，符合题意．
答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．

20．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5－3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，∴，∴CD＝；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB＋CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，∴EF＝EC，
∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，
∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD．

21．【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1＋x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋40y）袋，
依题意，得：（14－y－8）（400＋40y）＝1920，化简，得：y2＋4y－12＝0，
解得：y1＝2，y2＝－6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．

22．【解答】解：根据题意得：BE＝2t，AD＝t，∴AE＝6－2t，
∵∠A＝∠A，∴分两种情况：
①当时，即，解得：t＝；
②当时，即，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．

23．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE＋∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，∴∠FDE＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°－∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中，，
∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD＝DE；
（2）解：DE＝AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE＋∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，∴∠GDE＋∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°－∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，∴∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴＝，
在Rt△BDG中，＝tan30°＝，
∴DE＝AD．