湖北省公安县2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】

这是一份湖北省公安县2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省荆州市公安县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知点A的坐标为（﹣3，﹣1），则A点关于原点中心对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
4．（3分）抛物线的对称轴为直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
5．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．1
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
7．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
8．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c＝2的两根为m，n（m＜n），下列结论：①b2﹣4ac≥0；②x1+x2＝m+n；③x1＜m＜n＜x2；④m＜x1＜x2＜n，其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）把方程x（x﹣1）＝x﹣2化成一元二次方程的一般形式是 　 　．（要求：二次项系数为1）
12．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是　 　．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则a的值为 　 　．
14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴是直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是 　 　．

15．（3分）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 　 　米．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
19．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得的△A1BC1，并写出A1点的坐标；
（2）画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．

20．（8分）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

22．（10分）问题：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，若EF＝BE+FD，试求∠EAF的度数．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，从而发现∠EAF＝45°，请你利用图①进行说明．
【类比引申】如图②，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在边BC，CD上，若EF＝BE+FD，试判断∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由．

23．（10分）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？
（3）设商场每天销售该商品的利润为w元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（8，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）沿x轴向上翻折，得到图象T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标t的取值范围．


2021-2022学年湖北省荆州市公安县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）已知点A的坐标为（﹣3，﹣1），则A点关于原点中心对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，﹣1），
∴A点关于原点中心对称的点的坐标为（3，1）．
故选：B．
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝1，
而m+1≠0，即m≠﹣1．
所以m＝1．
故选：A．
4．（3分）抛物线的对称轴为直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【分析】化成顶点式即可确定对称轴．
【解答】解：＝﹣（x+2）2+3，
故对称轴为直线x＝﹣2，
故选：B．
5．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．1
【分析】由一元二次方程x2﹣3x+2＝0，根据根与系数的关系即可得出答案．
【解答】解：由一元二次方程x2﹣3x+2＝0，
∴x1+x2＝3，
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【分析】利用直角三角形30°的性质求出AB，证明△BCD是等边三角形求出BD，可得结论．
【解答】解：如图，连接CD．

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
∵CB＝CD，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
故选：A．
7．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：C．
8．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B＝60°，再求出∠CAB即可．
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c＝2的两根为m，n（m＜n），下列结论：①b2﹣4ac≥0；②x1+x2＝m+n；③x1＜m＜n＜x2；④m＜x1＜x2＜n，其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【分析】根据抛物线与x轴的交点即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据图象上点的坐标特征即可判断③④．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
方程ax2+bx+c＝2的两根为m，n（m＜n），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的交点为（m，0）与（n，0），
∴（m，0）与（n，0）故对称轴对称，
∵点（x1，0）与（x2，0）关于对称轴对称，
∴＝，
∴x1+x2＝m+n，故②正确；
∵a＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象开口向上，
∵方程ax2+bx+c＝2的两根为m，n（m＜n），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的交点为（m，0）与（n，0），
∴m＜x1＜x2＜n，故③错误，④正确；
故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）把方程x（x﹣1）＝x﹣2化成一元二次方程的一般形式是 　x2﹣2x+2＝0　．（要求：二次项系数为1）
【分析】首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝x﹣2，
x2﹣x＝x﹣2，
x2﹣x﹣x+2＝0，
x2﹣2x+2＝0．
故答案为：x2﹣2x+2＝0．
12．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是　（﹣1，﹣3）　．
【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则a的值为 　±2　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×2＝0，
解得：a＝±2．
故答案为：±2．
14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴是直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是 　（6，0）　．

【分析】根据抛物线的对称性及对称轴求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，与x轴一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（6，0），
故答案为：（6，0）．
15．（3分）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 　12　米．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【解答】解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：

∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案安为：12．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　8　．

【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为4，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝12，
∵⊙O的直径为16，
∴⊙O的半径为8，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为＝4，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×4＝8．
故答案为：8．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）解下列方程．
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3）．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，然后求解即可；
（2）先移项并分解因式，然后求解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（2）x（2x+3）＝5（2x+3），
x（2x+3）﹣5（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣5）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
【解答】解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；

（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；

（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
19．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得的△A1BC1，并写出A1点的坐标；
（2）画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1BC1即为所求，A1点的坐标（﹣1，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，C2点的坐标（﹣3，﹣1）．

20．（8分）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；

（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OH，根据勾股定理求出AH，再根据垂径定理求出AH＝CH＝3，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；

（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
22．（10分）问题：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，若EF＝BE+FD，试求∠EAF的度数．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，从而发现∠EAF＝45°，请你利用图①进行说明．
【类比引申】如图②，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在边BC，CD上，若EF＝BE+FD，试判断∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由．

【分析】【发现证明】由旋转的性质得△ADB≌△ABE，可证明EF＝DG+FD＝GF，再证明△AFG≌△AFE，得∠EAF＝∠EAG＝45°；
【类比引申】由题意得AB＝AD，把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，则△ADB≌△ABE，先证明点G在CD的延长线上，再证明EF＝DG+FD＝GF，则可证明△AFG≌△AFE，进而得到∠EAF＝∠BAD．
【解答】解：【发现证明】如图①，由旋转的性质得△ADB≌△ABE，
∴AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD，
∴EF＝DG+FD＝GF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SSS），
∴∠GAF＝∠EAF，
由旋转的性质可知∠EAG＝90°，
∴∠EAF＝∠EAG＝45°．
【类比引申】∠EAF＝∠BAD，
理由：如图②，由题意得AB＝AD，
把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，
由旋转的性质得△ADB≌△ABE，
∴AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴点G在CD的延长线上，
∵EF＝BE+FD，
∴EF＝DG+FD＝GF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SSS），
∴∠GAF＝∠EAF＝∠EAG，
由旋转的性质可知∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠BAD．


23．（10分）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？
（3）设商场每天销售该商品的利润为w元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件，列出y与x的函数解析式即可；
（2）利润等于每件的利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出w与x的函数关系式并根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝180﹣×10＝﹣5x+180，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+180；
（2）由题意得：（60+x﹣40）（﹣5x+180）＝3900，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
∴商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价6元或10元；
（3）由题意得：w＝（60+x﹣40）（﹣5x+180）
＝﹣5x2+80x+3600
＝﹣5（x﹣8）2+3920，
∵﹣5＜0，
∴当x＝8时，w最大，最大值为3920，
∴每件涨价8元，销售价定为68元时，每天获得的利润最大，最大利润是3620元．
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（8，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）沿x轴向上翻折，得到图象T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标t的取值范围．

【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）分析可知，连接BC交直线x＝5于Q，点Q就是所求的点．在根据点B和点C的坐标求出直线BC的解析式，进而求出点Q的坐标；
（3）设图象T1顶点为M1（t，t+1），由点A（2，0）与M（5，）的坐标关系，得到点A的对应点A1（t﹣3，t+1﹣），分别求出两个分界点，当点A运动到直线BC上时及与直线BC平行的线与T1有一个交点时，分别求出M1的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（8，0）代入抛物线的解析式得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+8．
（2）存在，由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝5，
连接BC交直线x＝5于Q，如图，则QA＝QB，

∵QA+QC＝QB+QC＝BC，
∴此时QA+QC的值最小，△QAC的周长最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（8，0），C（0，8）代入得，
，解得．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
当x＝5时，y＝﹣5++8＝3，此时Q点坐标为（5，3）
即该抛物线的对称轴上存在点Q（5，3），使得△QAC的周长最小．
（3）设抛物线y＝x2﹣5x+8的项点为G，则点G（5，﹣）关于x轴的对称点M的坐标为（5，），
∵N（0，1），
∴直线MN的解析式为：y＝x+1，
∵图象T顶点在直线MN上，
∴设图象T1顶点为M1（t，t+1），
由点A（2，0）与M（5，）的坐标关系，得到点A的对应点A1（t﹣3，t+1﹣），
即A1（t﹣3，t﹣），
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+8，
当点A1在BC上时，﹣（t﹣3）+8＝t﹣，
∴t＝．
设图象T1所在抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+t+1，
当图象T1与直线BC只有一个公共点时，公共点的坐标是方程组的解，
且Δ＝0，
∴t＝．
∴图象T1的顶点横坐标t的取值范围为≤x≤．