浙江省杭州市西湖区之江实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份浙江省杭州市西湖区之江实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共21页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点，如图所示图形中是轴对称图形的是，若x＞y，则下列式子错误的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一．单项选择题（每小题3分，共10小题30分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣3，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边长不可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
5．能说明命题“若x2≥9，则x≥3”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝﹣2
6．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门背面加钉了一根木条，这样做的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．三角形两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段最短
7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　）

A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
8．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'BD＝27°，则原三角形的∠C的度数为（　　）

A．27° B．59° C．79° D．69°
9．如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（　　）

A． B．10 C．9.6 D．5+
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．若等腰三角形的一个外角为50°，则其顶角度数为 　 　．
12．写出“对顶角相等”的逆命题　 　．
13．点P（﹣2，3）到x轴的距离是　 　．
14．若x＝3是关于x的不等式x＞2（x﹣a）的一个解，则a的取值范围是 　 　．
15．如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点A重合，点B'正好在BC的延长线上，∠BAC＝∠B'AC'＝90°，∠B＝∠AB'C'＝30°，AC＝AC'＝2，则BB'的长为 　 　．

16．如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在射线BC上，且CE＝AC，则∠DAE的大小为 　 　．

三.解答题（本题共7小题，其中第17题6分；第18题、19题各8分；第20题、21题各10分；第22题、23题各12分）
17．解下列不等式．
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）；
（2）2x﹣3＜．
18．解下列不等式组．
（1）；
（2）．
19．△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B．求证：ED＝EF．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC＝BF．

21．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）请猜想AB与DE的位置关系，并加以证明．
（2）填空：S四边形ADBE＝　 　（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．

22．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为射线AD（不包括端点A）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连接BE．

（1）如图1，当点P在线段AD上运动时，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；
（2）当CE＝5时，若以射线DA方向为北，描述点E相对于点B的位置；
（3）如图2，在射线BE上存在点F，连结CF，使得CF＝CE＝a，试探究BF与a的关系，并求出a的取值范围．



参考答案
一．单项选择题（每小题3分，共10小题30分）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣3，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
解：∵点（﹣3，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点在平面直角坐标系的第二象限，
故选：B．
2．如图所示图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
3．如果一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边长不可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数不在这个范围内即可．
解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得1＜x＜7．
∵8不在第三边长的取值范围内，所以不能取．
故选：D．
4．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴＞，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意；
故选：D．
5．能说明命题“若x2≥9，则x≥3”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝﹣2
【分析】当x＝﹣4时，满足x2≥9，但不能得到x≥3，于是x＝﹣4可作为说明命题“若x2≥9，则x≥3”是假命题的一个反例．
解：当x＝﹣4时，满足x2≥9，但不能得到x≥3，
说明命题“若x2≥9，则x≥3”是假命题的一个反例可以是x＝﹣4．
故选：C．
6．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门背面加钉了一根木条，这样做的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．三角形两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：A．
7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　）

A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
8．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C'BD＝27°，则原三角形的∠C的度数为（　　）

A．27° B．59° C．79° D．69°
【分析】利用折叠的性质可得出∠ABE，∠CBD的度数，结合∠ABC＝∠ABE+∠C'BD+∠CBD可求出∠ABC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求出原三角形的∠C的度数．
解：由折叠的性质可知：∠ABE＝∠C'BD＝27°，∠CBD＝∠C'BD＝27°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠C'BD+∠CBD＝27°+27°+27°＝81°．
在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC＝81°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣20°﹣81°＝79°．
故选：C．
9．如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF＝DE＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝6，
故选：B．

10．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（　　）

A． B．10 C．9.6 D．5+
【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，构造△BCD≌△FAE，然后得到EF＝BD，进而得知BD+CE＝EF+CE，连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，最后利用勾股定理求得CF的值即可得到答案．
解：过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，
∴∠FAE+∠EAC＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD＝90°，
∴∠FAE＝∠BCD，
∵AF＝CB，AE＝CD，
∴△BCD≌△FAE（SAS），
∴EF＝BD，
∴BD+CE＝EF+CE，
连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AF＝BC＝6，AC＝10，
∴CF＝＝，
∴BD+CE的最小值是．
故选：A．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．若等腰三角形的一个外角为50°，则其顶角度数为 　130°　．
【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质解答．
解：∵等腰三角形的一个外角是50°，
∴与这个外角相邻的内角为180°﹣50°＝130°，
∴该等腰三角形的顶角是130度．
故答案为：130°．
12．写出“对顶角相等”的逆命题　相等的角是对顶角　．
【分析】将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．
解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
13．点P（﹣2，3）到x轴的距离是　3　．
【分析】求得P的纵坐标的绝对值即可求得P点到x轴的距离．
解：∵点P的纵坐标为3，
∴P点到x轴的距离是|3|＝3．
故答案为：3．
14．若x＝3是关于x的不等式x＞2（x﹣a）的一个解，则a的取值范围是 　a＞　．
【分析】正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件即可．
解：解不等式x＞2（x﹣a），得：x＜2a，
∵x＝3是不等式的一个解，
∴3＜2a，
解得：a＞．
故答案为：a＞．
15．如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点A重合，点B'正好在BC的延长线上，∠BAC＝∠B'AC'＝90°，∠B＝∠AB'C'＝30°，AC＝AC'＝2，则BB'的长为 　6　．

【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的判定和性质得出AC＝CB'，进而解答即可．
解：由图可知，∠BAC＝∠B'AC'＝90°，∠B＝∠AB'C'＝30°，
∵点B'正好在BC的延长线上，
∴∠ACB＝∠CAB'+∠CB'A，
∵AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'C＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∠CAB'＝60°﹣30°＝30°，
∴AC＝CB'，
∵∠BAC＝∠B'AC'＝90°，∠B＝∠AB'C'＝30°，AC＝AC'＝2，
∴BC＝4，
∴BB'＝BC+CB'＝4+2＝6，
故答案为：6．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在射线BC上，且CE＝AC，则∠DAE的大小为 　　．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，列方程组即可解决问题．
解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，
则，
解得y+z＝α，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝α；
故答案为：．
三.解答题（本题共7小题，其中第17题6分；第18题、19题各8分；第20题、21题各10分；第22题、23题各12分）
17．解下列不等式．
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）；
（2）2x﹣3＜．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）去括号，得：5x﹣2＞3x﹣6，
移项，得：5x﹣3x＞﹣6+2，
合并同类项，得：2x＞﹣4，
系数化为1，得：x＞﹣2；
（2）去分母，得：6x﹣9＜x+1，
移项，得：6x﹣x＜1+9，
合并同类项，得：5x＜10，
系数化为1，得：x＜2．
18．解下列不等式组．
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）解不等式2x＜x+1，得：x＜1，
解不等式3x+7≥x﹣1，得：x≥﹣4，
则不等式组解集为﹣4≤x＜1；
（2）解不等式2x＞6，得：x＞3，
解不等式≤，得：x≤2，
则不等式组无解．
19．△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B．求证：ED＝EF．

【分析】首先求出∠BDE＝∠CEF，再利用ASA证明△BDE≌△CEF，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠CED是△BDE的外角，
∴∠CED＝∠B+∠BDE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF；
在△BDE与△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ASA），
∴DE＝EF．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC＝BF．

【分析】（1）①利用基本作图作出AB的垂直平分线即可；
②利用基本作图，过B点作AE的垂线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，然后证明△ACE≌△BFE，从而得到AC＝BF．
【解答】（1）解：①如图，DE为所作；
②如图，BF为所作；

（2）证明：∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵BF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
在△ACE和△BFE中，
，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴AC＝BF．
21．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）请猜想AB与DE的位置关系，并加以证明．
（2）填空：S四边形ADBE＝　c2　（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠EDF＝∠CAB，求得∠ACE+∠CAB＝90°，得到∠AGC＝90°，根据垂直的定义得到DE⊥AB；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形ACBE的面积，于是得到结论．
解：（1）AB⊥DE；
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB；
（2）∵DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE
＝AB•DG+AB•EG
＝AB•（DG+EG）
＝AB•DE＝c2，
故答案为：c2；
（3）证明：∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE
＝AB•DG+AB•EG
＝AB•（DG+EG）
＝AB•DE＝c2，
∴四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB
＝×（AC+EF）•CF+BF•EF
＝（b+a）b+（a﹣b）•a
＝b2+ab+a2﹣ab
＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
22．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
【分析】（1）根据已知信息和若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，列出不等式组，求解得出进车方案．
（2）根据已知列出利润函数式，求最值，选择方案．
（3）根据已知通过计算分析得出答案．
【解答】（本题满分10分）
解：（1）设A型汽车购进x辆，则B型汽车购进（16﹣x）辆．
根据题意得：，
解得：6≤x≤8．（1分）
∵x为整数，
∴x取6、7、8．
∴有三种购进方案：
A型
6辆
7辆
8辆
B型
10辆
9辆
8辆
（1分）

（2）设总利润为w万元．
根据题意得：W＝（32﹣30）x+（45﹣42）（16﹣x）（1分）
＝﹣x+48．
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，（1分）
∴当x＝6时，w有最大值，W最大＝﹣6+48＝42（万元）．（1分）
∴当购进A型车6辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元．（1分）

（3）设电动汽车行驶的里程为a万公里．
当32+0.65a＝45时，解得：a＝20＜30．（1分）
∴选购太阳能汽车比较合算．（1分）
23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为射线AD（不包括端点A）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连接BE．

（1）如图1，当点P在线段AD上运动时，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；
（2）当CE＝5时，若以射线DA方向为北，描述点E相对于点B的位置；
（3）如图2，在射线BE上存在点F，连结CF，使得CF＝CE＝a，试探究BF与a的关系，并求出a的取值范围．

【分析】（1）先证明∠ACP＝∠BCE，然后依据SAS证明△ACP≌△BCE，由全等三角形的性质可得到BE＝AP；
（2）过点C作CH⊥BE，垂足为H，先依据等腰三角形三线合一的性质求得∠CAD＝30°，然后由△ACP≌△BCE可求得∠CBH＝30°，依据含30°直角三角形的性质可求得CH的长，从而可求得BH的长，然后在△ECH中依据勾股定理可求得EH的长，故此可求得BE的长；
（3）首先根据题意画出图形，过点C作CH⊥BE，垂足为H．先证△ACP≌△BCE，从而得到∠CBH＝30°，由含30°直角三角形的性质可求得CH的长，依据勾股定理可求得FH的长，然后由等腰三角形三线合一的性质可得到HE＝FH，故此可求得BF的长．
解：（1）结论：BE＝AP．
理由：如图1中，∵△ABC和△CPE均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠PCE＝60°，AC＝BC，CP＝CE，
∵∠ACP+∠DCP＝∠DCE+∠PCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCE．
在△ACP和△BCE中，
，
∴△ACP≌△BCE．
∴BE＝AP；

（2）如图1中，过点C作CH⊥BE，垂足为H，
∵AB＝AC，AD是BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°．
由（1）可知：△ACP≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，AP＝BE．
在Rt△BCH中，∠HBC＝30°，
∴HC＝BC＝3，BH＝BC＝3，
在Rt△CEH中，EC＝5，CH＝3，
∴EH＝＝＝4，
∴BE＝BH﹣EH＝3﹣4，
∴点E在点B南偏东60°的方向上，且BE＝3﹣4；

（3）如图3所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H，
∵△ABC和△CEP均为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝PC，∠ACB＝∠ECP．
∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+BCP，即∠BCE＝∠ACP．
在△ACP和△BCE中，
，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴∠CBH＝∠CAP＝30°．
在Rt△BCH中，∠CBH＝30°，
∴HC＝BC＝3，BH＝3，
∵FC＝CE，CH⊥FE，
∴FH＝EH＝＝，
∴BF＝BH+EH＝3+（a≥3）．