湖南省张家界市永定区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份湖南省张家界市永定区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共16页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省张家界市永定区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分.请将正确答案的字母代号填在下表中）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．9x+2＝0 B．y2+x＝1 C．3x2﹣8＝0 D．
2．一元二次方程x2＝x的根是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝x2 D．x1＝0，x2＝1
3．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，1）
B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＞﹣1
4．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（　　）
A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91 D．（x+10）2＝109
5．正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
6．购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（　　）
A．（x取实数） B．（x取正整数）
C． D．（x取整数）
7．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 的图象上，边AB与函数 的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．把一元二次方程x（x﹣2）＝3化成一般形式是　 　．
10．已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　 　．
11．一个反比例函数图象过点A（2，3），则这个反比例函数的解析式是 　 　．
12．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则m　 　n（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．对于实数a，b，定义运算“*”：．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个根，则x1*x2＝　 　．
14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，满分58分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣5x+2＝0；
（2）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1．
16．在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 　 　，x的取值范围是 　 　；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象．

17．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣3）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m＝2时，不解方程，请判断该方程是否有实数根？
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点（1，6），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求菱形OABC的面积．

19．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝4，n＝﹣2，求p，q的值；
（2）若p＝1，q＝﹣2，求m+mn+n的值．
20．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利44元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．
（1）要想平均每天销售这种服装盈利1600元，那么每件服装应降价多少元？
（2）要想平均每天销售这种服装盈利3000元，有可能吗？
21．如图，已知直线l：y＝﹣x+4．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝2时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+4＜的解集．



参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分.请将正确答案的字母代号填在下表中）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．9x+2＝0 B．y2+x＝1 C．3x2﹣8＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
解：A．9x+2＝0为一元一次方程，所以A选项不符合题意；
B．y2+x＝1为二元二次方程，所以B选项不符合题意；
C．3x2﹣8＝0为一元二次方程，所以C选项符合题意；
D．x2+＝0为分式方程，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．一元二次方程x2＝x的根是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝x2 D．x1＝0，x2＝1
【分析】移项后左边因式分解即可得．
解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：D．
3．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，1）
B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＞﹣1
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
解：A、（﹣1，1）代入，得：左边＝右边，故本选项正确；
B、图象在第二、四象限内，故本选项正确；
C、在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、当x＞1时，﹣1＜y＜0，故本选项不正确；
不正确的只有选项D．
故选：D．
4．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（　　）
A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91 D．（x+10）2＝109
【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
解：方程x2+10x+9＝0，
整理得：x2+10x＝﹣9，
配方得：x2+10x+25＝16，即（x+5）2＝16，
故选：A．
5．正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（﹣1，﹣2）．
故选：A．
6．购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（　　）
A．（x取实数） B．（x取正整数）
C． D．（x取整数）
【分析】根据单价＝可得函数关系式，再根据实际情况确定自变量的取值范围．
解：由单价＝可得，
y＝，而x表示茶杯的只数，因此x为正整数，
∴y＝（x为正整数），
故选：B．
7．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
8．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数 的图象上，边AB与函数 的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵D是反比例函数的图象上一点，
∴△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数 的图象上，四边形OABC为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝4﹣1＝3．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．把一元二次方程x（x﹣2）＝3化成一般形式是　x2﹣2x﹣3＝0　．
【分析】利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，再移项整理即可得解．
解：x（x﹣2）＝3，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0．
故答案为：x2﹣2x﹣3＝0．
10．已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　4　．
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，然后解一次方程即可．
解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t＝6，
解得t＝4．
故答案为4．
11．一个反比例函数图象过点A（2，3），则这个反比例函数的解析式是 　y＝　．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
解：设该反比例函数为y＝（k≠0），则k＝xy．
∵该反比例函数的图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴该反比例函数的解析式为：y＝．
故答案为：y＝．
12．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则m　＞　n（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】由于比例系数小于0，两点在同一象限，根据反比例函数的图象的性质作答即可．
解：∵k＜0，
∴反比例函数y＝（k＜0）在第二象限内，y随x的增大而增大；
∵点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在第二象限，且﹣1＞﹣2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
13．对于实数a，b，定义运算“*”：．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个根，则x1*x2＝　10或6　．
【分析】先求方程x2﹣8x+15＝0的两个根，再根据所给定义计算答案即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个根，
∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得：x＝5或3，
①当x1＝5，x2＝3时，x1*x2＝52﹣5×3＝25﹣15＝10；
②当x1＝3，x2＝5时，x1*x2＝3×5﹣32＝15﹣9＝6．
故x1*x2＝10或6．
故答案为：10或6．
14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
三、解答题（本大题共7个小题，满分58分）
15．解下列方程：
（1）3x2﹣5x+2＝0；
（2）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）先整理成一般式，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵3x2﹣5x+2＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝；
（2）整理成一般式，得：y2﹣2y＝0，
则y（y﹣2）＝0，
∴y＝0或y﹣2＝0，
解得y1＝0，y2＝2．
16．在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 　y＝　，x的取值范围是 　x＞0　；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象．

【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可．
解：（1）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y＝，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：y＝，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示．

17．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m﹣3）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m＝2时，不解方程，请判断该方程是否有实数根？
【分析】（1）根据一元二次方程定义即可得；
（2）将m＝2代入方程可得3x2+x+2＝0，根据根的判别式即可得解．
解：（1）根据题意，得m2﹣1≠0，即m≠±1，
故m≠±1时，此方程为一元二次方程；
（2）当m＝2时，方程为3x2+x+2＝0，
因为Δ＝12﹣4×3×2＝﹣23＜0，
所以方程没有实数根．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点（1，6），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求菱形OABC的面积．

【分析】（1）运用待定系数法，把（1，6）代入即可求解；
（2）连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函数中k的几何意义，得出△AOD的面积＝|k|，从而求出菱形OABC的面积＝△AOD的面积的4倍．
解：（1）∵反比例函数的图象经过点（1，6），
∴6＝，即k＝6．
∴所求反比例函数的关系式为y＝；

（2）如图，连接AC交x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴△AOD的面积＝×6＝3，
∴菱形OABC的面积＝4×△AOD的面积＝12．

19．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝4，n＝﹣2，求p，q的值；
（2）若p＝1，q＝﹣2，求m+mn+n的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到4﹣2＝﹣，4×（﹣2）＝，然后分别解方程求出p与q的值；
（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）根据题意得4﹣2＝﹣，4×（﹣2）＝，
解得p＝﹣1，q＝8；
（2）依题意有m+n＝﹣＝﹣2，mn＝＝﹣2，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣2﹣2＝﹣4．
20．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利44元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．
（1）要想平均每天销售这种服装盈利1600元，那么每件服装应降价多少元？
（2）要想平均每天销售这种服装盈利3000元，有可能吗？
【分析】（1）设每件服装应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）件，利用平均每天销售这种服装获得的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出每件服装应降价4元或36元；
（2）不可能，设每件服装应降价y元，则每件盈利（44﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）件，利用平均每天销售这种服装获得的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝﹣96＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出平均每天销售这种服装盈利不可能达到3000元．
解：（1）设每件服装应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）件，
依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，
整理得：x2﹣40x+144＝0，
解得：x1＝4，x2＝36．
答：每件服装应降价4元或36元．
（2）不可能，理由如下：
设每件服装应降价y元，则每件盈利（44﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）件，
依题意得：（44﹣y）（20+5y）＝3000，
整理得：y2﹣40y+424＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×1×424＝1600﹣1696＝﹣96＜0，
∴原方程没有实数根，
即平均每天销售这种服装盈利不可能3000元．
21．如图，已知直线l：y＝﹣x+4．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝2时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+4＜的解集．

【分析】（1）由题意得△＝（﹣4）2﹣4×1×k≥0，即可求解；
（2）题意可知x1，x2是方程x2﹣4x+k＝0两个不相等的实数根，从而x1+x2＝4．而x2﹣x1＝2，即可求得x1＝1，x2＝3．
由一次函数的解析式从而求得A（1，，3），B（3，1），进而即可求解．
解：（1）由题意得，，则，
整理成一元二次方程为x2﹣4x+k＝0，
∵图中直线与双曲线至少有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k≥0．
∴k≤4；
又∵k＞0，
∴满足条件的k的值为0＜k≤4；
（2）由题意可知x1，x2是方程x2﹣4x+k＝0两个不相等的实数根，从而x1+x2＝4．
又∵x2﹣x1＝2，
解得x1＝1，x2＝3．
此时A（1，，3），B（3，1），
∴k＝1×3＝3，
由图象可知不等式﹣x+4＜的解集为0＜x＜1或x＞3．