湖北省武汉市江岸区部分学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份湖北省武汉市江岸区部分学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共29页。
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．将一元二次方程x2﹣1＝﹣5x化为一般形式后，常数项为﹣1，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．1，5 B．1，﹣5 C．1，1 D．﹣1，1
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
3．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
4．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，AB＝10，那么直径CD的长为（　　）

A．12.5 B．13 C．25 D．26
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
8．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD＝8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF．当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．
10．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（　　）

A．8 B．7 C．9 D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
11．一元二次方程x2﹣4＝0的解是　 　．
12．点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　 　．
13．将抛物线y＝x2先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：　 　．
14．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　 　米．

15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n），且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论：
①a+b+c＜0；
②2a﹣b＝0；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c﹣＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝2；
④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b≤0恒成立．
则上述说法正确的是 　 　．（填序号）

16．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝7，AD＝2，点E为边AB上一动点（不与点A，B重合），沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A'，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），若点B的对应点B'恰好落在边CD上，且E，A'，B'三点在同一直线上，则DE的长为 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；
（2）直接写出y的最大值为 　 　．

19．用一元二次方程解应用题
参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
20．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．
（1）边AC的长等于 　 　．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．

21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．

22．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 　 　元．
23．【操作发现】
（1）如图所示，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，CB＝EF，∠A＝∠D，DE＞AB，在边DE上截取DG＝AB，连接FG，试探究∠B和∠E的数量关系，请写出证明过程；
【问题解决】
（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠D＝45°，其他条件不变，请直接写出AB、DE与AC之间的数量关系：　 　；
【灵活运用】
（3）如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AC＝4，BD＝3，AC与BD交于点M，若∠ADB+∠ACB＝180°，∠BAC＝30°，求边AB的长．


24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣2x﹣4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使∠PBF＝∠DFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GM＝MN？请证明你的结论．




参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．将一元二次方程x2﹣1＝﹣5x化为一般形式后，常数项为﹣1，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．1，5 B．1，﹣5 C．1，1 D．﹣1，1
【分析】先把﹣5x改变符号后从方程的右边移到方程的左边，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：x2﹣1＝﹣5x，
移项，得x2+5x﹣1＝0，
二次项系数和一次项系数分别是1，5，
故选：A．
2．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．
3．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
4．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：由于Δ＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，AB＝10，那么直径CD的长为（　　）

A．12.5 B．13 C．25 D．26
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE＝BE＝5，再根据勾股定理求出OA即可．
解：连接OA，

∵AB⊥CD，CD过圆心O，AB＝10，
∴AE＝BE＝5，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝13，
即CO＝DO＝OA＝13，
∴CD＝13+13＝26，
故选：D．
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
7．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，求出点（，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣，y3），再根据二次函数的性质比较即可．
解：∵y＝﹣x2﹣4x+5，
∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，图象的开口向下，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
点（，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣，y3），
∵﹣＜﹣4＜﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：C．
8．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD＝8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF．当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】首先利用SAS证明△CDE≌△AEF，得AE＝CD＝4，再证明∠EDC＝90°，即可解决问题．
解：如图，

∵BC＝12，BD＝8，
∴CD＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
由题意得，ED＝EF，∠DEF＝60°，
又∵∠C+∠CDE+∠CED＝180°，∠CED+∠DEF+∠AEF＝180°，
∴∠CED+∠AEF＝120°，∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠CDE＝∠AEF，
在△CDE与△AEF中，
，
∴△CDE≌△AEF（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∴EC＝AC﹣AE＝12﹣4＝8，
∵S△AEF＝S△EDC，
∵∠C＝60°，CE＝8，
过点E作EH⊥BC于H，
则CH＝4，
∴CD＝CH＝4，
即点D与H重合，
∴∠EDC＝90°，
∴ED＝＝4，
∴S＝＝8，
∴S，
故选：D．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．
【分析】先利用根的判别式得到m≥﹣，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．
解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣，
根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，
∵＝1，
∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，
整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，
∵m≥﹣，
∴m的值为3．
故选：A．
10．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（　　）

A．8 B．7 C．9 D．
【分析】过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，则PM＝CM﹣PC＝8﹣x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠EPF＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠PEF＝90°，
∴∠PEF＝∠DAE，
在△PEF与△DAE中，
，
∴△PEF≌△DAE（AAS），
∴PF＝DE，PE＝AD，
∴PE＝CD，
∴PE﹣CE＝CD﹣CE，
∴PC＝DE，
∵FP⊥CD，
∴∠PCF＝45°，
∴点F在∠BCP的平分线上，
如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，

∵点B关于直线CF的对称点M，
，
∴△BFC≌△MFC（ASA），
∴CM＝BC＝AB＝8，
∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴BG＝CG＝＝4，
设DE＝x，由图1知，
PE＝PC＝DE＝x，
∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x，
∵∠BCM＝∠FPM＝90°，
∴PF∥BC，
∴△MPF∽△MCG，
∴，
即，
解得：x＝，
∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝，
∴EG＝＝，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
11．一元二次方程x2﹣4＝0的解是　x＝±2　．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
12．点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　（3，4）　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
解：点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
13．将抛物线y＝x2先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：　y＝（x﹣4）2﹣3　．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：将抛物线y＝x2先向右平移4个单位长度，得：y＝（x﹣4）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣4）2﹣3，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣3．
14．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　3.5　米．

【分析】根据题目建立直角坐标系，可得A．B，C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，令x＝5即可求出支柱MN的长度．
解：建直角坐标系，如图：

根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n），且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论：
①a+b+c＜0；
②2a﹣b＝0；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c﹣＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝2；
④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b≤0恒成立．
则上述说法正确的是 　①②④　．（填序号）

【分析】利用抛物线的对称性，借组图象即可判断①；根据对称轴为直线x＝﹣1即可判断②；根据题意得出x1＝﹣1，0＜x2＜1，即可判断③；根据x＝﹣1时，函数有最大值即可判断④．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，所以①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以②结论正确；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c﹣＝0的两根为x1，x2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y＝﹣x+经过点（1，0），（﹣1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．
∴x1＝﹣1，0＜x2＜1，
∴|x1﹣x2|＜2，所以③结论错误；
④∵x＝﹣1时，函数有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（意实数m），
∴a（m2﹣1）+（m+1）b≤0，所以④结论正确；
故答案为：①②④．
16．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝7，AD＝2，点E为边AB上一动点（不与点A，B重合），沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A'，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），若点B的对应点B'恰好落在边CD上，且E，A'，B'三点在同一直线上，则DE的长为 　　．

【分析】设AE＝x（0＜x＜7），则BE＝7﹣x，由折叠的性质得A'E＝AE＝x，A'D＝AD＝2，∠DA'E＝∠A＝90°，∠A'ED＝∠AED，B'E＝BE＝7﹣x，再证B'D＝B'E＝7﹣x，然后在Rt△A'B'D中，由勾股定理得出方程，求出AE＝，最后由勾股定理求解即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
设AE＝x（0＜x＜7），则BE＝AB﹣AE＝7﹣x，
∵沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A'，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），点B的对应点B'恰好落在边CD上，
∴A'E＝AE＝x，A'D＝AD＝2，∠DA'E＝∠A＝90°，∠A'ED＝∠AED，B'E＝BE＝7﹣x，
∴∠CDE＝∠A'ED，
∴B'D＝B'E＝7﹣x，
∵E，A'，B'三点在同一直线上，
∴∠B'A'D＝90°，A'B'＝BE﹣A'E＝7﹣x﹣x＝7﹣2x，
在Rt△A'B'D中，由勾股定理得：A'D2+A'B'2＝B'D2，
即（2）2+（7﹣2x）2＝（7﹣x）2，
整理得：3x2﹣14x+8＝0，
解得：x＝或x＝4，
∵0＜x＜7，A'B'＝7﹣2x＞0，
∴0＜x＜，
∴x＝，
即AE＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
开方得：，
∴，．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；
（2）直接写出y的最大值为 　4　．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令y＝0，解一元二次方程即可求得点B的坐标；
（2）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+3经过点A（﹣1，0），
∴a﹣2+3＝0，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y最大值＝4．
故答案为：4．
19．用一元二次方程解应用题
参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：共有10个队参加参加比赛．
20．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上．
（1）边AC的长等于 　5　．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A'B'C，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l的解析式．

【分析】（1）根据点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4），利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）取格点D，E，F连接CD，EF交于点G，连接AG交格点于点P即可；
（3）根据题意和翻折的性质即可画出翻折后的图形△A'B'C，进而可得直线l的解析式．
解：（1）∵点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4），
∴AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）如图，点P即为所求；

（3）如图，△A'B'C即为所求；

直线l的解析式为：y＝2x﹣2．
21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．

【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB＝∠CBD，加上∠ODB＝∠OBD，所以∠OBD＝∠CBD；
（2）过O点作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝，再证明△ODE≌△BOH得到DE＝OH＝2，然后利用勾股定理计算OB的长即可．
【解答】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．

22．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 　371.2　元．
【分析】（1）根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中每件盈利＝每件售价﹣每件进价，建立等量关系；
（2）由每天销售该商品要获得280元的利润，结合（1）列方程即可解出答案；
（3）根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）y＝（x﹣16）（170﹣5x）
＝﹣5x2+250x﹣2720；
（2）由y＝280，得﹣5x2+250x﹣2720＝280．
化简整理得x2﹣50x+600＝0．
解得x1＝20，x2＝30．
由题意可知，x≤16×（1+40%）＝22.4，
∴x＝20，
答：每件商品的售价应定为20元；
（3）在y＝﹣5x2+250x﹣2720中，
∵a＝﹣5＜0，x＝﹣＝﹣＝25，
∴当x≤22.4时，y随x的增大而增大．
∴当x＝22.4时，y的值最大，此时y＝（22.4﹣16）（170﹣5×22.4）＝371.2，
故答案为：371.2．
23．【操作发现】
（1）如图所示，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，CB＝EF，∠A＝∠D，DE＞AB，在边DE上截取DG＝AB，连接FG，试探究∠B和∠E的数量关系，请写出证明过程；
【问题解决】
（2）在（1）的条件下，若∠A＝∠D＝45°，其他条件不变，请直接写出AB、DE与AC之间的数量关系：　DE+AB＝AC　；
【灵活运用】
（3）如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AC＝4，BD＝3，AC与BD交于点M，若∠ADB+∠ACB＝180°，∠BAC＝30°，求边AB的长．


【分析】（1）连接FG，利用SAS证明△ABC≌△DGF，得∠B＝∠DGF，BC＝GF，再利用等腰三角形的性质可得结论；
（2）延长DE至H，使EH＝AB，利用ASA证明△ABC≌△HEF，得∠H＝∠A＝45°，则有DH＝DF，即可解决问题；
（3）过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，过B作BE⊥AC于E，证明△AFD≌△BEC（AAS），得DF＝EC，AF＝BE，又AB为公共边，证得Rt△ABE≌Rt△ABF（HL），得BF＝AE，求出AE的长，从而解决问题．
解：（1）∠E+∠B＝180°，理由如下：
连接FG，如图1，
∵AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DG，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF，
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE，
又∵∠DGF+∠EGF＝180°，
∴∠EGF+∠B＝180°，
即∠E+∠B＝180°；
（2）延长DE至H，使EH＝AB，

由（1）知，∠B+∠DEF＝180°，
又∵∠DEF+∠FEH＝180°，
∴∠B＝∠FEH，
又∵CB＝FE，AD＝EH，
∴△ABC≌△HEF（ASA），
∴∠H＝∠A＝45°，
∵∠D＝45°，
∴DF＝HF，∠DFH＝90°，sinH＝sin45°＝，
∴DH＝＝DF，
∵DH＝DE+EH＝DE+AB，DF＝AC，
∴DE+AB＝AC，
故答案为：DE+AB＝AC；
（3）过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，过B作BE⊥AC于E，

∵∠ADB+∠ACB＝180°，∠ADB+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ACB，
∵∠AFD＝∠BEC＝90°，AD＝BC，
∴△AFD≌△BEC（AAS），
∴DF＝EC，AF＝BE，
又∵AB为公共边，
∴Rt△ABE≌Rt△ABF（HL），
∴BF＝AE，
∴BD+DF＝BF＝AE＝AC﹣EC，
∴3+EC＝4﹣EC，
∴EC＝，
∴AE＝4﹣，
在Rt△ABE中，cos∠EAB＝，
∴AB＝AE＝．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣2x﹣4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使∠PBF＝∠DFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GM＝MN？请证明你的结论．


【分析】（1）利用待定系数法将A，C坐标代入 解析式即可求得结论；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥OA于点G，利用直线的解析式求得点B，F的坐标从而求出线段OG，FG，AG，BG的长度，设P（t，t2﹣2t﹣3），则PH＝t2﹣2t﹣3，OH＝﹣t，HB＝OB+OH＝3﹣t，利用△AFD∽△HPB，列出比例式即可求解；
（3）在抛物线上一定能找到点M，使得GM＝MN．设点G（m，﹣2m﹣4），M（n，n2﹣2n﹣3），利用GM＝MN可得点N的坐标，将点N坐标代入抛物线解析式得到关于m，n的关系式，利用Δ＞0说明无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，从而得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m经过点（﹣1，0），（0，﹣3），
∴．
解得：．
∴此抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）在第二象限内的抛物线上存在一点P，使∠PBF＝∠DFB，
过点P作PH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥OA于点G，如图，

设P（t，t2﹣2t﹣3），点P在第二象限内，
∴PH＝t2﹣2t﹣3，OH＝﹣t，
∴HB＝OB+OH＝3﹣t．
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0．
解得：x＝﹣1或3，
∴B（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∴．
解得：．
∴F（﹣，）．
∴OG＝，FG＝．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
对于y＝﹣2x﹣4，令y＝0，则﹣2x﹣4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴D（﹣2，0）．
∴OD＝2，
∴DG＝OD﹣OG＝．
∴BG＝OB+OG＝．
∴FG＝BG．
∴∠GFB＝∠GBF＝45°．
∵∠PBF＝∠DFB，
∴∠GFD＝∠PBH．
∵∠DGF＝∠PHB＝90°，
∴△AFD∽△HPB．
∴．
∴．
解得：t＝3或﹣．
∵点P在第二象限内，
∴t＝﹣．
∴P（﹣，）．
∴在第二象限内的抛物线上存在一点P，使∠PBF＝∠DFB，此时点P的坐标为：（﹣，）．
（3）在抛物线上一定能找到点M，使得GM＝MN．理由：
设点G（m，﹣2m﹣4），M（n，n2﹣2n﹣3），
∵GM＝MN，
∴N（2n﹣m，2（n2﹣2n﹣3）++2m+4），
∵点N在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴2（n2﹣2n﹣3）++2m+4＝（2n﹣m）2﹣2（2n﹣m）﹣3．
整理得：m2﹣4mn+2n2﹣1＝0．
∵Δ＝（﹣4n）2﹣4×1×（2n2﹣1）＝8n2+4＞0，
∴无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，
即对于直线l上任意给定的点G，在抛物线上总能找到两个满足条件的点M，使得MG＝MN．