浙江省杭州市上城区仁和实验学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份浙江省杭州市上城区仁和实验学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共18页。试卷主要包含了二次函数y＝，已知二次函数y＝﹣等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区仁和实验学校九年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
2．已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（　　）
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
4．在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的白球和红球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中；然后再重复上述步骤；…如表是实验中记录的部分统计数据：
摸球次数
40
50
60
80
100
200
摸到红球次数
19
10
13
16
20
40
则袋中的红球可能有（　　）
A．8个 B．6个 C．4个 D．2个
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BCO的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
6．抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+5 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣5
C．y＝﹣3（x+2）2﹣5 D．y＝﹣3（x+2）2+5
7．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝112°，则∠α＝（　　）

A．68° B．112° C．134° D．136°
8．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
9．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（　　）
①不论a为何值，函数图象的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
二.填空题（每题4分，共24分）
11．如果一个正n边形的每个内角是140°，则n＝　 　．
12．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是　 　．
13．抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 　 　．
14．学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 　 　．
15．函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 　 　．
16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 　 　．

三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
18．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．

20．我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：
（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每件x元，月销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

22．设二次函数y＝（ax﹣2）（x﹣2a），其中a是常数．
（1）当a＝2时，试判断点（1，0）是否在该函数图象上；
（2）用含a的代数式表示函数的对称轴；
（3）当﹣2≤x≤+2时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
23．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，∠EAC＝120°．
（1）连OB，OC，求∠OCB；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论．



参考答案
一.选择题（每题3分，共30分）
1．在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件．
2．已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（　　）
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符．
故选：D．
3．二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是：（1，﹣2）．
故选：A．
4．在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的白球和红球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中；然后再重复上述步骤；…如表是实验中记录的部分统计数据：
摸球次数
40
50
60
80
100
200
摸到红球次数
19
10
13
16
20
40
则袋中的红球可能有（　　）
A．8个 B．6个 C．4个 D．2个
【分析】首先估计出摸到红球的概率，根据球的总个数求得答案即可．
解：∵摸球200次红球出现了40次，
∴摸到红球的概率约为＝，
∴20个球中有白球20×＝4个，
故选：C．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BCO的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】由圆周角定理可求∠BOC＝2∠A＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
解：∵△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝50°，
故选：C．
6．抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+5 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣5
C．y＝﹣3（x+2）2﹣5 D．y＝﹣3（x+2）2+5
【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（﹣2，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣2，5），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2+5．
故选：D．
7．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝112°，则∠α＝（　　）

A．68° B．112° C．134° D．136°
【分析】作对的圆周角∠ADB，利用圆内接四边形的性质得到∠ADB＝68°，然后根据圆周角定理可得到出∠α的度数．
解：作对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣112°＝68°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×68°＝136°．
故选：D．

8．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【分析】到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．
解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝﹣＝4s．
故选：B．
9．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，求出∠D+∠B＝180°，再代入求出即可．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝130°，
故选：B．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（　　）
①不论a为何值，函数图象的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
【分析】由抛物线解析式即可求得开口方向，对称轴和顶点坐标，根据顶点坐标即可得到不论a为何值，函数图象的顶点始终在直线y＝x﹣1上；根据二次函数的性质即可得到a≥2．
解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴顶点为（a，a﹣1），
∴不论a为何值，函数图象的顶点始终在直线y＝x﹣1上；
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴a≥2；
综上，①②都对，
故选：A．
二.填空题（每题4分，共24分）
11．如果一个正n边形的每个内角是140°，则n＝　9　．
【分析】根据多边形每个内角与其相邻的内角互补，则正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．
解：∵正n边形的每个内角都是140°，
∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，
∴n＝＝9．
故答案为：9．
12．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是　30cm2　．
【分析】直接利用扇形的面积公式S扇形＝lR计算．
解：根据题意得，S扇形＝lR＝＝30（cm2）．
故答案为30cm2．
13．抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 　（0，﹣3）　．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标．
解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
14．学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 　　．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则P＝＝．
故答案为：．
15．函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 　2　．
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后分三种情况讨论得到关于a的方程，解方程求得a的值，看是否是满足条件的a．
解：∵y＝x2﹣2ax﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
当a≤1时，则x＝1时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝1﹣2a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝16﹣8a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝a2﹣2a2﹣1＝﹣5，解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
综上，实数a的值是2，
故答案为：2．
16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 　≤PM≤　．

【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值．
解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝AC时，PM最小，最小值为，
∴PM的范围是≤PM≤．
故答案为：≤PM≤．

三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把（1）中的解析式化成顶点式即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴该二次函数的顶点坐标为（3，﹣4）．
18．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果；

（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为＝．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．

【分析】（1）利用垂径定理得到＝，则根据圆周角定理得到∠ACD＝∠B，加上∠B＝∠BCO，从而得到∠BCO＝∠ACD；
（2）先计算出OA＝10，OE＝6，再利用勾股定理计算出CE＝8，然后利用垂径定理得到CE＝DE，从而可求出CD的长．
解：（1）∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACD；
（2）∵AE＝4，BE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OCE中，CE＝＝8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝16，
答：弦CD的长为16cm．
20．我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：
（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每件x元，月销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润．
【分析】（1）根据销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，即可求出月销售量，再用单件利润×销售量即可得出月销售利润；
（2）根据销售量×单件利润＝总利润得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
解：（1）∵销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，
当销售单价定为每件60元时，销售单价上涨了60﹣30＝30元，销售量减少300件，
∴销售量为500﹣300＝200件，
∴月销售利润为（60﹣20）×200＝8000（元）；
（2）依题意得：w＝（x﹣20）[500﹣10（x﹣30）]＝﹣10x2+1000x﹣16000＝﹣10（x﹣50）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值，即最大利润为9000元，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣10x2+1000x﹣16000，最大利润为9000元．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）连接OE，OD，由圆周角定理求出∠DAE，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；

（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．

22．设二次函数y＝（ax﹣2）（x﹣2a），其中a是常数．
（1）当a＝2时，试判断点（1，0）是否在该函数图象上；
（2）用含a的代数式表示函数的对称轴；
（3）当﹣2≤x≤+2时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）把点（1，0）代入解析式即可确定答案；
（2）求得抛物线与x轴的交点，进而即可求出抛物线的对称轴；
（3）根据y随x的增大而减小和a＞0与a＜0两种情况讨论即可．
解：（1）当a＝2时，y＝（2x﹣2）（x﹣4），
取x＝1，则y＝（2﹣2）（1﹣4）＝0，
∴（1，0）在该函数图象上；
（2）∵y＝（ax﹣2）（x﹣2a），
∴函数图象与x轴的交点为（，0），（2a，0），
∴抛物线的对称轴为x＝＝+a；
（3）当﹣2≤x≤+2时，y随x的增大而减小，
∴或，
解得a≥2或a≤﹣2，
∴a的范围为a≥2或a≤﹣2．
23．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，∠EAC＝120°．
（1）连OB，OC，求∠OCB；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）根据圆周角定理知∠BDC＝∠BAC＝60°，再根据∠BOC＝2∠BDC即可；
（2）根据两个角相等可证△BDC是等边三角形，从而证明结论；
（3）延长AD至F，使DF＝AB，连接CF，通过SAS证明△FDC≌△ABC，得∠ACB＝∠DCF，可证△ACF是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）解：连接OB，OC，

∵∠EAC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°；
（2）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠EAC＝120°＝60°，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，
由（1）知∠BDC＝60°，
∴∠BDC＝∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD；
（3）解：AC＝AD+AB，理由如下：
如图，延长AD至F，使DF＝AB，连接CF，

∵四边形ABCD是⊙O的内角四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF，
由（2）知△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴△FDC≌△ABC（SAS），
∴∠ACB＝∠DCF，AC＝CF，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF＝AD+AB．