2016年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷（解析版）

这是一份2016年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷
　
一、选择题
1．﹣的倒数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C．﹣ D．
2．人体血液中每个成熟红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5米 B．77×10﹣6米 C．77×10﹣5米 D．7.7×10﹣6米
3．如图，把一块等腰直角三角板的锐角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=20°，那么这个锐角所对的直角边与直尺的另一边相交所得的∠2的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．80°
4．下列说法正确的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，“向上一面的点数是6”是必然事件
B．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨
D．在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的波动大小
5．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．正五边形
6．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
7．有四个式子：①；②；③；④3a3•2a2=6a6，从这四个式子中随机抽取一个，抽到的式子不正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．a≤2
9．射线AD、AE分别与⊙O相切于D、E两点，直线BC与⊙O相切于点F，分别交AD、AE于点B、C，若∠A=40°．则∠BOC等于（　　）
A．70° B．110° C．70°或110° D．40°或140°
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（　　）

A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
　
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．
11．在函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
12．从1，2，3，5这四个数中任取三个不同的数，其和为偶数的概率是　　　　　　．
13．关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是　　　　　　．
14．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　　　　　　cm．
15．某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°，则调整后楼梯AD的长为　　　　　　m．（结果保留根号）

16．如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于　　　　　　．

　
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．先化简，再求值：，其中x满足x2+2x﹣3=0．




18． 我市今年共种植甲乙两种作物8万亩，甲乙的种植面积分别比去年增长10%和20%，去年甲种作物的种植面积比乙种作物的种植面积多1万亩．今年这两种作物的种植面积各是多少万亩？








19．一次函数y1=x﹣1与反比例函数图象的一个交点为A（﹣1，m ）．
（1）求k和m的值；
（2）判断点B（2，1）是否为这两个函数图象的一个交点，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出y2的范围．





20．某课外活动小组的同学组织了一次陶艺制作活动，最少的制作了4件作品，最多的制作了7件作品，活动结束后根据每人作品数量，分为四种类型，A：4件；B：5件；C：6件；D：7件．将各类的人数绘制成如图所示的不完整的扇形图和条形图．请结合图形完成下列问题：
（1）这个活动小组共有　　　　　　人，并补全条形统计图；
（2）该小组每人制作陶艺作品数量的中位数是　　　　　　件，平均数是　　　　　　件；
（3）活动制作对象是茶杯和茶壶，每个人可随机选择制作对象，且每种制作对象被选中的可能性相同，甲乙丙三人制作的第一件作品是同一个对象的概率是　　　　　　．






21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．










22．如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，弦AC与弦BD交于点E，点F在BD的延长线上，且DF=DE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AD=5，AC=8，求⊙O的半径．






23．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y=﹣10x+600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润．






24．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，，求线段AC的长．







25． 如图，已知抛物线y=ax2+c与直线交于A，B两点，直线AB与y轴交于点C，点B的坐标为
（1，），动点P在直线AB下方的抛物线上，动点Q在y轴上，动点D在线段AB上，且PD∥y轴．
（1）求A、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）是否存在以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　

2016年湖北省襄阳市老河口市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．
1．﹣的倒数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C．﹣ D．
【考点】倒数．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：∵﹣2016×（﹣）=1，
∴﹣的倒数是：﹣2016．
故选：B．
　
2．人体血液中每个成熟红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5米 B．77×10﹣6米 C．77×10﹣5米 D．7.7×10﹣6米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n=﹣6．
【解答】解：0.0000077=7.7×10﹣6．
故选D．
　
3．如图，把一块等腰直角三角板的锐角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=20°，那么这个锐角所对的直角边与直尺的另一边相交所得的∠2的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．80°
【考点】平行线的性质．
【分析】延长AC交BE于E，根据平行线的想知道的∠3=∠2，根据三角形的内角和得到∠3=70°，即可得到结论．
【解答】解：延长AC交BE于E，
∵MN∥BE，
∴∠3=∠2，
∵∠BCE=90°，
∴∠3=70°，
∴∠2=70°，
故选C．

　
4．下列说法正确的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，“向上一面的点数是6”是必然事件
B．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨
D．在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的波动大小
【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；方差；随机事件．
【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的性质和随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，“向上一面的点数是6”是随机事件，故此选项错误；
B、了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，故此选项错误；
C、“明天降雨的概率为”，表示明天50%的可能降雨，故此选项错误；
D、在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的波动大小，正确．
故选：D．
　
5．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．正五边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，A错误；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，B错误；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，C正确；
正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，D错误．
故选：C．
　
6．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【分析】根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图有一层2个，另一层3个，即可得出答案．
【解答】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有2个正方形，右边一列有3个正方形，
故选D．
　
7．有四个式子：①；②；③；④3a3•2a2=6a6，从这四个式子中随机抽取一个，抽到的式子不正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率的公式计算即可．
【解答】解：抽到的式子不正确的有3个，即；②；③；④3a3•2a2=6a6，
所以从这四个式子中随机抽取一个，抽到的式子不正确的概率是，
故选C．
　
8．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．a≤2
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞1，得：x＜3，
∵不等式组有且只有1个整数解，
∴不等式组的整数解为2，
∴1≤a＜2，
故选：B．
　
9．射线AD、AE分别与⊙O相切于D、E两点，直线BC与⊙O相切于点F，分别交AD、AE于点B、C，若∠A=40°．则∠BOC等于（　　）
A．70° B．110° C．70°或110° D．40°或140°
【考点】切线的性质．
【分析】先画出符合的两个图形，根据切线的性质得出∠DBO=∠FBO，∠ECO=∠FCO，∠ODA=∠OEA=90°，∠OFB=∠OFC=90°，求出∠DOE的度数，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：第一种情况：如图1，连接OD、OF、OE，
∵射线AD、AE分别与⊙O相切于D、E两点，直线BC与⊙O相切于点F，
∴∠DBO=∠FBO，∠ECO=∠FCO，∠ODA=∠OEA=90°，∠OFB=∠OFC=90°，
∵∠A=40°，
∴∠DOE=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∵∠DBO=∠FBO，∠ECO=∠FCO，∠ODA=∠OEA=90°，∠OFB=∠OFC=90°，
∴根据三角形内角和定理得：∠DOB=∠FOB，∠EOC=∠FOC，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC
=（∠DOF+∠EOF）
=∠DOE
=140°
=70°；
第二种情况：如图2，

此时∠DOE=140°，
则∠BOC=×=110°；
故选C．
　
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是（　　）

A．（﹣3，） B．（，3） C．（，﹣3） D．（﹣1，）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】先利用线段中点坐标公式得到P点坐标，然后利用旋转的性质可写出P′点的坐标．
【解答】解：∵点P为线段AB的中点，
∴P点坐标为（3，），
∵线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点为P′，如图，
∴点P′的坐标（﹣，3）．
故选B．

　
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．
11．在函数中，自变量x的取值范围是　x＞﹣1　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开放是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由有意义，得
x+1＞0，
解得x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
　
12．从1，2，3，5这四个数中任取三个不同的数，其和为偶数的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】因为数字个数较少，写出所有组合，从而得到和为偶数的组数，再根据概率的定义解答．
【解答】解：任取三个不同的数的不同组合有（1、2、3）（1、2、5）（1、3、5）（2、3、5）共四组，
和为偶数的有第一、二、四组，
所以，P（和为偶数）=．
故答案为：．
　
13．关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是　a＜6且a≠4　．
【考点】分式方程的解．
【分析】把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a的范围．
【解答】解：把方程移项通分得，
∴方程的解为x=a﹣6，
∵方程的解是负数，
∴x=a﹣6＜0，
∴a＜6，
当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，
∴a=4，
∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．
故答案为：a＜6且a≠4．
　
14．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　1　cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr=，
解得r=1cm．
故答案为：1．
　
15．某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°，则调整后楼梯AD的长为　6　m．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据题意可以先求出AC的长，然后根据∠ADC=30°，∠ACD=90°，可以求得AD的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
AB=6m，∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴AC=AB•sin∠ABC=m，
又∵∠ADC=30°，∠ACD=90°，
∴AD=2AC=6m．
故答案为：6m．
　
16．如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于　60°或120°　．

【考点】正方形的性质．
【分析】画出符合的两种情况，过N作NF⊥AD于F，根据HL证出Rt△MFN≌Rt△EDA，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：①如图1，

过N作NF⊥AD于F，
则∠NFA=∠MFN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=∠D=90°，
∴四边形AFNB是矩形，
∴NF=AB=AD，
∵∠NFM=∠D=90°，
在Rt△MFN和Rt△EDA中

∴Rt△MFN≌Rt△EDA（HL），
∴∠AMN=∠AED，
∵∠DAE=30°，∠D=90°，
∴∠AMN=∠AED=180°﹣30°﹣90°=60°；
②如图2，

同法可求Rt△MFN≌Rt△EDA，
所以∠FMN=∠AED=60°，
所以∠AMN=180°﹣60°=120°．
故答案为：60°或120°
　
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．先化简，再求值：，其中x满足x2+2x﹣3=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，根据x满足x2+2x﹣3=0求出x的值，代入分式进行计算即可．
【解答】解：原式=•
=•
=，
由x2+2x﹣3=0解得，x1=﹣3，x2=1，
∵x≠1，
∴当x=﹣3时，原式=﹣=．
　
18．我市今年共种植甲乙两种作物8万亩，甲乙的种植面积分别比去年增长10%和20%，去年甲种作物的种植面积比乙种作物的种植面积多1万亩．今年这两种作物的种植面积各是多少万亩？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设去年甲种作物的种植面积为x万亩，乙种作物的种植面积为y万亩，根据“共种植甲乙两种作物8万亩”、“去年甲种作物的种植面积比乙种作物的种植面积多1万亩”列出方程组，并解答．
【解答】解：设去年甲种作物的种植面积为x万亩，乙种作物的种植面积为y万亩，
根据题意，得，
解得，
（1+10%）x=4.4（万亩），8﹣4.4=3.6（万亩）
答：今年种植甲种作物4.4万亩，种植乙种作物3.6万亩．
　
19．一次函数y1=x﹣1与反比例函数图象的一个交点为A（﹣1，m ）．
（1）求k和m的值；
（2）判断点B（2，1）是否为这两个函数图象的一个交点，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出y2的范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先把点A（﹣1，m ）代入一次函数y1=x﹣1，求出m的值故可得出A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值即可；
（2）把点B（2，1）分别代入两个函数的解析式进行检验即可；
（3）在同一坐标系内画出两个函数图象，利用数形结合即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y1=x﹣1与反比例函数图象的一个交点为A（﹣1，m ）．
∴m=﹣1﹣1=﹣2，
∴k=（﹣1）×（﹣2）=2；

（2）∵当x=2时，y1=x﹣1=1，
∴点B在y1=x﹣1的图象上．
∵当x=2时，y2==1，
∴点B在y2=的图象上，
∴点B（2，1）是这两个函数图象的一个交点；

（3）∵由题意可得，，解得或，
∴两函数图象如图所示，
由图可知，当y1＞y2时，y2＜﹣2或0＜y2＜1．

　
20．某课外活动小组的同学组织了一次陶艺制作活动，最少的制作了4件作品，最多的制作了7件作品，活动结束后根据每人作品数量，分为四种类型，A：4件；B：5件；C：6件；D：7件．将各类的人数绘制成如图所示的不完整的扇形图和条形图．请结合图形完成下列问题：
（1）这个活动小组共有　20　人，并补全条形统计图；
（2）该小组每人制作陶艺作品数量的中位数是　5　件，平均数是　5.3　件；
（3）活动制作对象是茶杯和茶壶，每个人可随机选择制作对象，且每种制作对象被选中的可能性相同，甲乙丙三人制作的第一件作品是同一个对象的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．
【分析】（1）由C类有6人，占30%，即可求得总人数，继而求得A与D类人数，补全统计图；
（2）由中位数与平均数的定义，可求得该小组每人制作陶艺作品数量的中位数与平均数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲乙丙三人制作的第一件作品是同一个对象的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵C类有6人，占30%，
∴这个活动小组共有：6÷30%=20（人），
B占：8÷20=40%，
∴A类占：1﹣10%﹣30%﹣40%=20%，
∴A类：20×20%=4（人），D类：20×10%=2（人）；
故答案为：20；
补全统计图：


（2）中位数5件；
平均数为： =5.3件；
故答案为：5，5.3；

（3）画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，其中甲乙丙三人制作的第一件作品是同一个对象的有2种情况，
∴甲乙丙三人制作的第一件作品是同一个对象的概率是： =．
故答案为：．
　
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

【考点】矩形的判定；正方形的判定．
【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
　
22．如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，弦AC与弦BD交于点E，点F在BD的延长线上，且DF=DE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AD=5，AC=8，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）欲证明AF是⊙O的切线，只要证明∠FAD+∠DAB=90°，只要证明∠FAD=∠B即可．
（2）先在RT△ADM中求出DM=3，再根据sin∠C=sin∠B==即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，∠BAD+∠B=90°，
又∵DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠FAD=∠EAD，
∵D是的中点，
∴=，
∴∠FAD=∠EAD=∠B，
∴∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠BAD+∠B=90°，
∴AF是⊙O的切线．
（2）连接OD交AC于M．
∵=，
∴OD⊥AC，AM=CM=AC=4，
∴AD=CD=5，
在Rt△DMC中，，，
∵∠B=∠C，
∴，
∵∠ADB=90°，
∴，
∴⊙O的半径为．

　
23．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y=﹣10x+600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据：月利润=（销售单价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本=成本价×销售量可得答案；
（3）根据销售量低于200件和不低于200件求出x的范围，并根据：利润=每件产品的利润×销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出其最值，比较大小可得．
【解答】解：（1）w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000．

（2）由题意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，
解得：x1=40，x2=50，
当x=40时，成本为30×（﹣10×40+600）=6000（元），
当x=50时，成本为30×（﹣10×50+600）=3000（元），
∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元．

（3）当y＜200时，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，
w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，
∵a=﹣10＜0，x＞40，
∴当x=46时，w最大值=1960（元）；
当y≥200时，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，
w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，
∵a=﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，当32＜x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w最大值=2400（元），
∵1960＜2400，
∴当x=40时，w最大，
答：定价每件40元时，每月销售新产品的利润最大，最大利润为2400元．
　
24．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，，求线段AC的长．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由DF与AB垂直，AD、BE为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）DF2=FM•FN，理由为：由（1）相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到三角形BFD与三角形DFA相似，得比例，等量代换即可得证；
（3）由AC=BC，利用等边对等角得到一对角相等，利用等角的余角相等得到一对角相等，再利用锐角三角函数定义得到FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而求出FB，FD，以及FN的长，再利用锐角三角函数定义求出AF，以及AB的长，利用勾股定理求出BD的长，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高，
∴∠BFD=∠AFD=∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠FBM=90°﹣∠BAC，∠N=90°﹣∠BAC，
∴∠FBM=∠N，
∵∠FBM=∠N，∠BFD=∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）解：DF2=FM•FN，理由为：
证明：∵△BFM∽△NFA，
∴=，
∴FM•FN=FB•FA，
∵∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠BFD=∠AFD，∠FDB=∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴=，即DF2=FB•FA，
∴DF2=FM•FN；
（3）解：∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴=tan∠FBM=tanN=， =tan∠FDB=tanN=，
∴FB=2FM，FD=2FB=4FM，
∵DF2=FM•FN，
∴（4FM）2=FM•（4FM+12），
解得：FM=1或FM=0（舍去），
∴FB=2，FD=4，FN=FD+DN=16，
∵=tanN=，
∴AF=8，AB=AF+BF=10，
在Rt△BFD中，BD===2，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
∴AC2﹣（AC﹣2）2=102﹣（2）2，
解得：AC=5．
　
25．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线交于A，B两点，直线AB与y轴交于点C，点B的坐标为（1，），动点P在直线AB下方的抛物线上，动点Q在y轴上，动点D在线段AB上，且PD∥y轴．
（1）求A、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）是否存在以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）延长PD交x轴于E，作PF⊥AB于F，如图1，设点P（m， m2﹣4）（﹣4＜m＜1），则D（m，﹣m﹣3），接着表示出PD=﹣m2﹣m+1，然后证明Rt△PDF∽Rt△ACO，利用相似比得到PF=﹣m2﹣m+，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PCDQ时，PC=PD，利用两点间的距离公式得到m2+（m2﹣4+3）2=（﹣m2﹣m+1）2，解方程求出m得到P点坐标，再计算出PD的长，然后计算出OQ的长，从而得到Q点坐标；当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PQCD时，DC=DP，利用两点间的距离公式得到m2+（﹣m﹣3+3）2=（﹣m2﹣m+1）2，解法与前面一样去确定P点和Q点的坐标．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣3=0，解得x=4，则点A的坐标为（﹣4，0），
当x=0时，y=﹣x﹣3=﹣3，则点C的坐标为（0，﹣3），
将A（﹣4，0）、B（1，﹣）代入y=ax2+c得，解得，
所以抛物线的解析式为y=x2﹣4；
（2）延长PD交x轴于E，作PF⊥AB于F，如图1，
在Rt△AOC中，∵OA=4，OC=3，
∴AC==5，
设点P（m， m2﹣4）（﹣4＜m＜1），则D（m，﹣m﹣3），
∴PD=﹣m﹣3﹣（m2﹣4）=﹣m2﹣m+1，
∵∠ADE=∠PDF，∠DAE=∠PFD，
∴∠DPF=∠EAD，
∴Rt△PDF∽Rt△ACO，
∴=，即=，
∴PF=﹣m2﹣m+
=﹣（m+）2+，
当m=﹣时，PE有最大值，最大值为；
即点P到直线AB的距离的最大值是；
（3）存在．
当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PCDQ时，PC=PD，如图2，
即m2+（m2﹣4+3）2=（﹣m2﹣m+1）2，
整理得6m2﹣7m﹣24=0，解得m1=﹣，m2=（舍去），
此时P点坐标为（﹣，﹣），
PD=，
∴CQ=，
∴OQ=3﹣=，
∴Q（0，﹣）；
当以P、Q、C、D为顶点的四边形为菱形PQCD时，DC=DP，
即m2+（﹣m﹣3+3）2=（﹣m2﹣m+1）2，
﹣m2﹣m+1=±m，
当﹣m2﹣m+1=m，解得m1=﹣4+2，m2=﹣4﹣2（舍去），
此时P点坐标为（﹣4+2，5﹣4），对应的Q点坐标为（0，）；
当﹣m2﹣m+1=﹣m，解得m1=1﹣，m2=1+（舍去），
此时P点坐标为（1﹣，），对应的Q点坐标为（0，）；
综上所述，满足条件的点为P（，），Q（0，）或P（，），Q（0，）或P（，），Q（0，）．


　

2016年8月11日