重庆市名校联盟2021-2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题含答案

这是一份重庆市名校联盟2021-2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了一束光线，从点A，已知直线和圆，则等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前
重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试
数学试题（高2023届）
（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，在空间四边形OABC中，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM＝2MA，则（ ）

A. B.
C. D.
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与直线相互垂直，则实数m的值是（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.
4.倾斜角为45°，在y轴上的截距为2021的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.一束光线，从点A（－3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x－5）2＋（y－5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）
A. B. C. D.
6.已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A. B. C. D.
7.已知⊙0的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则⊙O的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线C的焦点为，点A在C上，且关于原点O的对称点为B，，四边形的面积为6，则双曲线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线和圆，则（ ）
A.直线l恒过定点（2，0）
B.存在k使得直线l与直线垂直
C.直线l与圆O相交
D.若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为
11.已知直线l经过点（3，5），且点A（－2，3），B（4，－1）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，P为椭圆上的动点，过P作的切线交圆于M，N，过点M，N作的切线交于点Q，则（ ）

A.的最大值为 B.的最大值为
C.Q的轨迹方程是 D.Q的轨迹方程是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知点A（－2，－2），B（a，2）且，则a的值为 ．
14.已知圆C：x2＋y2－6x－8y－m＝0，其中m∈R，如果圆C与圆x2＋y2＝1相外切，则m的值为 ．
15.已知圆C：x2＋y2－4x＝0内有点M（3，1），则以点M为中点的圆C的弦所在的直线方程为 ．
16.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，，BE＝1，则（1） ；（2）点C到平面的距离为 ．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知点A（5，－1）关于x轴的对称点为，关于原点的对称点为．
（Ⅰ）求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆N过点（－1，0），（1，0），且圆心N在直线l：x＋y－1＝0上；圆M：．
（Ⅰ）求圆N的标准方程，并判断圆M与圆N的位置关系；
（Ⅱ）直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为T，S（不重合），满足BS＝2BT？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．
19.（本小题满分12分）
如图，AP是圆柱的母线，正△ABC是该圆柱的下底面的内接三角形，D，E，F分别为BC，PB，AB的中点，G是EF的中点，且AP＝AC．
（Ⅰ）求证：DG∥平面PAC；
（Ⅱ）求直线DG与平面PBC所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）
已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M．
21.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2AD＝2DC．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值．

22.（本小题满分12分）
已知椭圆，其长轴为8，离心率为，过椭圆上一点P作圆O：x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴的交点分别为E、Q．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△EOQ面积的最小值．



重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试
数学试题参考答案（高2023届）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
B
A
C
C
B
【解析】
1.∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM＝2MA，且，
，
，故选D．
2.直线的方程转换为，所以，由于，所以，故选A．
3.因为直线与直线相互垂直，所以mx1＋1xm＝0，解得m＝0，即实数m的值是0，故选A．
4.因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k＝tan45°＝1，又在y轴上的截距为2021，所以所求直线的方程为y＝x＋2021，即x－y＋2021＝0，故选B．
5.如图1，由圆C的方程可得圆心坐标C（5，5），半径r＝2，设A点关于x轴对称点，连接交x轴于Q点，交圆C于P点，则为所求的最短距离，证明如下：任取x轴上一点Q，则，当且仅当三点共线时取等号，所以，故选A．

6.∵两条异面直线的方向向量分别是，，，又两条异面所成的角为，则，故选C．
7.∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，设⊙O的方程为x2＋y2＝r2，则弦心距为，解得r2＝12，可得圆的标准方程为x2＋y2＝12，故选C．
8.∵原点O分别为AB和的中点，∴四边形为平行四边形，又，∴四边形为矩形，∵四边形的面积为6， ，又16－12＝4，解得a2＝1，∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为，故选B．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
题号
9
10
11
12
答案
AC
BCD
AB
AD
【解析】
9.对于A，因为，且，利用平面向量基本定理可知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；对于B，因为，利用平面向量基本定理可知：向量共面，不能构成一个空间基底；对于C，由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；对于D，由，根据平面向量的基本定理可知：向量共面，不能构成空间的一个基底，故选AC．
10.直线，即，则直线恒过定点（－2，0），故A错误；当k＝－2时，直线与直线垂直，故B正确：∵定点（－2，0）在圆O：x2＋y2＝9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：当k＝－1时，直线l化为－x－y－2＝0，即x＋y＋2＝0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，故选BCD．
11.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－5＝k（x－3），即kx－y＋5－3k＝0，∵点A（－2，3），B（4，－1）到直线l的距离相等，，解得或k＝2，当时，直线l的方程为，整理得2x＋3y－21＝0，当k＝2时，直线l的方程为y－5＝2（x－3），整理得2x－y－1＝0.综上，直线l的方程可能为2x＋3y－21＝0或2x－y－1＝0，故选AB．
12.设，则，即，过M，N作切线交于Q，则，所以，即，因为点P为椭圆上的动点，所以，可得点Q的轨迹方程为，故C错误・D正确；因为，所以，因为，所以，所以，即的最大值为，故A正确，B错误，故选AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
1或－5
－9
x＋y－4＝0
；
【解析】
13.∵点A（－2，－2），B（a，2），且或．
14.由圆C：x2＋y2－6x－8y－m＝0，可得（x－3）2＋（y－4）2＝25＋m，则圆心C（3，4），半径，由圆x2＋y2＝1，可得圆心（0，0），半径R＝1，因为两圆外切，则，解得m＝－9
15.圆C：x2＋y2－4x＝0，即（x－2）2＋y2＝4，则圆心C（2，0），所以直线MC的斜率为，则以点M为中点的圆C的弦所在的直线的斜率为，所以所求直线的方程为y－1＝－1×（x－3），即x＋y－4＝0
16.如图2，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，D0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），（0，4，3）（1）设F（0，0，a），由，得，．

（2）设为平面的法向量，由，得，取z＝1，则，
又到平面的距离．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵点A（5，－1）关于x轴的对称点为，………………（1分）
又∵点A（5，－1）关于原点的对称点为，………………（2分）
∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，1）．………………（4分）
过（5，0），（0，1）的直线方程是，
整理得x＋5y－5＝0………………（6分）
（Ⅱ）由题意知，………………（8分）
∴△ABC的面积．………………（10分）
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，圆N的圆心N也在直线x＝0上，
联立，解得x＝0，y＝1，
∴N（0，1），半径为，………………（2分）
圆N的标准方程为x2＋（y－1）2＝2，
又，………………（4分）
而，
∴圆M与圆N相外切．………………（6分）
（Ⅱ）∵N（0，1），M（－3，4），直线MN的方程为x＋y－1＝0，………………（7分）
设直线MN上是存在点B满足题意，设B（a，1－a），
由BS＝2BT可知，BS2＝4BT2，
即BN2－2＝4（BM2－8），所以BN2＝4BM2－30，………………（9分）
即a2＋（1－a－1）2＝4[（a＋3）2＋（1－a－4）2]－30，
整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7，
∴B（－1，2）或（－7，8），……………………（11分）
当B（－1，2）时，点B为圆N与圆M的公切点，
此时T，S，B重合，不符合题意．
∵存在点B（－7，8），满足BS＝2BT．………………（12分）
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图3，连接DE，
∵E，F分别为PB，AB的中点，∴，EF∥PA，
平面PAC，平面PAC，∴EF∥平面PAC，………………（2分）
∵D，E分别为BC，PB的中点，∴DE∥PC，
平面PAC，平面PAC，∴DE∥平面PAC，………………（4分）
又平面DGE，且，
∴平面DEG∥平面PAC，而平面DEG，
∴DG∥平面PAC．………………（6分）

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，
∵△ABC是正三角形，且AP＝AC，不妨设AP＝4，
．
．……………………（8分）
设平面PBC的一个法向量为，
则取y＝1，则．………………（10分）
设直线DG与平面PBC所成角为，
则，
∴直线DG与平面PBC所成角的正弦值为．………………（12分）
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知设双曲线C的方程为，
由已知得a2＋b2＝12－6＝6，且，
解得a2＝b2＝3，
∴双曲线C的方程为．……………………（4分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y＝m（m≠0），
与x2－y2＝3联立解得或，
不妨设，
由（Ⅰ）知点，……………………（7分）
∴AM，BM的斜率分别为，
，………………（10分）
所以AM⊥BM，
故以AB为直径的圆过点M．……………………（12分）
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图4，∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AP⊥DC，
由题设知，AD⊥DC， ，由此得DC⊥平面PAD，
又平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．……………………（3分）

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由于PA＝AB＝2AD＝2DC，设PA＝2，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
则，………………（6分）
设平面AMC的一个法向量为，
，取，得；………………（8分）
设平面BMC的一个法向量为，
，取，得．……………………（10分）
，
∴平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为．………………（12分）
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，2a＝8，得a＝4，
．
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设点椭圆上点P坐标为，切点坐标为，
∵直线AP，BP为圆O的两切线，圆O方程为x2＋y2＝4………………（4分）
，
，
，
得到：，即，
同理可得，………………（6分）
所以点同时满足直线方程，
即直线AB方程为：，……………………（8分）
令x＝0，得Q点坐标为，
令y＝0，得E点坐标为，
所以，…………………………（10分）
因为P在椭圆上，，
即最小值为2，当时取得．………………（12分）