高中2.2.1对数与对数运算同步测试题

这是一份高中2.2.1对数与对数运算同步测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列式子中正确的个数是 ( )
①lga(b2－c2)＝2lgab－2lgac；
②(lga3)2＝lga32；
③lga(bc)＝(lgab)·(lgac)；
④lgax2＝2lgax.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于 ( )
A．a＋2b－3cB．a＋b2－c3
C.eq \f(ab2,c3) D.eq \f(2ab,3c)
[答案] C
[解析] lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lgeq \f(ab2,c3)，
∴x＝eq \f(ab2,c3)，故选C.
3．若lg34·lg8m＝lg416，则m等于 ( )
A．3B．9
C．18D．27
[答案] D
[解析] 原式可化为：lg8m＝eq \f(2,lg34)，∴eq \f(1,3)lg2m＝2lg43，∴m eq \s\up4(\f(1,3)) ＝3，m＝27，故选D.
4．方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)的解为 ( )
A．x＝－1B．x＝－1或x＝4
C．x＝4D．x＝－1且x＝4
[答案] C
[解析] 一定要注意对数的真数大于零，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＝x＋5,x－1>0,x＋5>0))，解得x＝4，故C.
5．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x－ eq \s\up4(\f(1,2)) 等于 ( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2\r(3))
C.eq \f(1,2\r(2)) D.eq \f(1,3\r(3))
[答案] C
[解析] lg7[lg3(lg2x)]＝0，则lg3(lg2x)＝1，lg2x＝3，x＝8，因此x－ eq \s\up4(\f(1,2)) ＝eq \f(1,2\r(2)).故选C.
6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lgeq \f(a,b))2的值等于 ( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C．4 D.eq \f(1,4)
[答案] A
[解析] 由根与系数的关系，得
lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq \f(1,2)，
∴(lgeq \f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq \f(1,2)＝2，故选A.
二、填空题
7．化简lg2(1＋eq \r(2)＋eq \r(3))＋lg2(1＋eq \r(2)－eq \r(3))＝________.
[答案] eq \f(3,2)
[解析] lg2(1＋eq \r(2)＋eq \r(3))＋lg2(1＋eq \r(2)－eq \r(3))
＝lg2[(1＋eq \r(2))2－eq \r(3)2]＝lg22eq \r(2)＝lg22 eq \s\up7(\f(3,2)) ＝eq \f(3,2).
8．若lgx－lgy＝a，则lg(eq \f(x,2))3－lg(eq \f(y,2))3＝________.
[答案] 3a
[解析] ∵lgx－lgy＝a，
∴lg(eq \f(x,2))3－lg(eq \f(y,2))3＝3(lgeq \f(x,2)－lgeq \f(y,2))＝3(lgx－lgy)＝3a.
三、解答题
9．计算：(1)(lg33 eq \s\up4(\f(1,2)) )2＋lg0.25eq \f(1,4)＋9lg5eq \r(5)－lgeq \r(3)1；
(2)lg25＋eq \f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
(3)eq \f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).
[分析] 直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．
[解析] (1)(lg33 eq \s\up4(\f(1,2)) )2＋lg0.25eq \f(1,4)＋9lg5eq \r(5)－lgeq \r(3)1＝(eq \f(1,2))2＋1＋9×eq \f(1,2)－0＝eq \f(1,4)＋1＋eq \f(9,2)＝eq \f(23,4).
(2)原式＝lg25＋lg8 eq \s\up4(\f(2,3)) ＋lgeq \f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
(3)eq \f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)＝eq \f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.62＋\f(1,3)lg23)
＝eq \f(2lg2＋lg3,1＋lg0.6＋lg2)＝eq \f(2lg2＋lg3,1＋lg6－lg10＋lg2)
＝eq \f(2lg2＋lg3,lg6＋lg2)＝eq \f(2lg2＋lg3,lg2＋lg3＋lg2)＝eq \f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3)＝1.
[点评] 在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．
10．(1)计算：(lg23＋lg49＋lg827＋…＋lg2n3n)×lg9eq \r(n,32)；
(2)设lg2＝a，lg3＝b，求lg512.
[解析] (1)原式＝(lg23＋eq \f(2lg23,2lg22)＋eq \f(3lg23,3lg22)＋…＋eq \f(nlg23,nlg22))×lg9eq \r(n,32)＝(lg23＋lg23＋lg23＋…＋lg23)×lg9eq \r(n,32)＝n×lg23×eq \f(5,n)×eq \f(1,2)lg32＝eq \f(5,2).
(2)lg512＝eq \f(lg12,lg5)＝eq \f(lg3＋lg4,lg\f(10,2))＝eq \f(lg3＋lg22,1－lg2)＝eq \f(lg3＋2lg2,1－lg2).
因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg512＝eq \f(b,1－a)＋eq \f(2a,1－a)＝eq \f(2a＋b,1－a).
能力提升
一、选择题
1．若xlg34＝1，则4x＋4－x的值为 ( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(10,3)
C．2D．1
[答案] B
[解析] 由xlg34＝1得x＝lg43，所以4x＋4－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，故选B.
2．lg8＋3lg5的值为 ( )
A．－3B．－1
C．1D．3
[答案] D
[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D.
3．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝ ( )
A.eq \r(10)B．10
C．20D．100
[答案] A
[解析] a＝lg2m，b＝lg5m，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2.∴m＝eq \r(10)，故选A.
4．已知方程x2＋xlg26＋lg23＝0的两个实数根为α、β，则(eq \f(1,4))α·(eq \f(1,4))β等于 ( )
A.eq \f(1,36)B．36
C．－6D．6
[答案] B
[解析] 由题意知：α＋β＝－lg26，(eq \f(1,4))α·(eq \f(1,4))β＝(eq \f(1,4))α＋β＝(eq \f(1,4))－lg26＝4lg26＝22lg26＝36，故选B.
二、填空题
5．lgeq \f(5,2)＋2lg2－(eq \f(1,2))－1＝________.
[答案] －1
[解析] lgeq \f(5,2)＋2lg2－(eq \f(1,2))－1＝lgeq \f(5,2)＋lg4－2＝－1.
6．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lg(abc)x＝________.
[答案] 1
[解析] ∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).同理lgxc＝eq \f(1,6)，lgxb＝eq \f(1,3).
∴lgabcx＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
三、解答题
7．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值.
[分析] 用换元法把对数方程转化为一元二次方程，由根与系数的关系求出a与b的关系式，可得结果．
[解析] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，
则原方程化为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1t2＝eq \f(1,2).
由已知a，b是原方程的两个实根，
则t1＝lga，t2＝lgb，所以lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq \f(1,2).
所以lg(ab)·(lgab＋lgba)＝(lga＋lgb)(eq \f(lgb,lga)＋eq \f(lga,lgb))＝eq \f(lga＋lgb[lgb2＋lga2],lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq \f(lgb＋lga2－2lgalgb,lgalgb)＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12.
8．已知3x＝4y＝6z.
(1)若z＝1，求(x－1)(2y－1)的值；
(2)若x，y，z为正数，求证：eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2,z).
[解析] (1)由3x＝4y＝6得x＝lg36，y＝lg46，
所以(x－1)(2y－1)＝(lg36－1)(2lg46－1)
＝lg32·lg49＝eq \f(lg2,lg3)·eq \f(2lg3,2lg2)＝1.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>1)，
则x＝lg3m，y＝lg4m，z＝lg6m.
所以eq \f(1,x)＝lgm3，eq \f(1,y)＝lgm4，eq \f(1,z)＝lgm6.
又因为2lgm3＋lgm4＝lgm36＝2lgm6，所以eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2,z).