数学必修12.2.2对数函数及其性质巩固练习

这是一份数学必修12.2.2对数函数及其性质巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列函数在其定义域内为偶函数的是 ( )
A．y＝2xB．y＝2x
C．y＝lg2xD．y＝x2
[答案] D
2．函数y＝|lg(x＋1)|的图象是 ( )
[答案] A
[解析] 函数y＝|lg(x＋1)|的图象过点(0,0)，且函数值非负，故选A.
3．设a＝lg54，b＝(lg53)2，c＝lg45，则 ( )
A．aC．a[答案] D
[解析] a＝lg54<1，lg53b＝(lg53)21，故b4．已知f(x)＝lg3x，则f(eq \f(1,4))，f(eq \f(1,2))，f(2)的大小是 ( )
A．f(eq \f(1,4))>f(eq \f(1,2))>f(2)
B．f(eq \f(1,4))C．f(eq \f(1,4))>f(2)>f(eq \f(1,2))
D．f(2)>f(eq \f(1,4))>f(eq \f(1,2))
[答案] B
[解析] 由函数y＝lg3x的图象知，图象呈上升趋势，即随x的增大，函数值y在增大，故f(eq \f(1,4))5．若a＝lg3π，b＝lg76，c＝lg20.8，则 ( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．b>c>a
[答案] A
[解析] ∵a＝lg3π>lg33＝1，
0故a>b>c.
6．设a＝ eq lg\s\d8(\f(1,3)) 2，b＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,3)，c＝(eq \f(1,2))0.3，则 ( )
A．a＜c＜bB．a＜b＜c
C．b＜c＜aD．b＜a＜c
[答案] A
[解析] ∵ eq lg\s\d8(\f(1,3)) 2＜ eq lg\s\d8(\f(1,3)) 1＝0， eq lg\s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,3)＞ eq lg\s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,2)＝1，
0＜(eq \f(1,2))0.3＜(eq \f(1,2))0＝1，∴a＜c＜b，故选A.
二、填空题
7．求下列各式中a的取值范围：
(1)lga3(2)lg5π[答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)
8．函数f(x)＝lgx2的单调减区间为________.
[答案] (－∞，0)
[解析] 设f(x)＝lgt，t＝x2，由复合函数性质得f(x)＝lgx2减区间即为t＝x2的减区间(－∞，0)．
三、解答题
9．已知f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，(a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域，值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
[解析] (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,x＋3＞0，))∴定义域为{x|－3＜x＜1}．
f(x)＝lga(－x2－2x＋3)，
令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∵x∈(－3,1)，∴t∈(0,4]．
∴f(t)＝lgat，t∈(0,4]．
当0＜a＜1时，ymin＝f(4)＝lga4，
值域为[lga4，＋∞)．
当a＞1时，值域为(－∞，lga4]．
(2)ymin＝－2，由(1)得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,lga4＝－2，))得a＝eq \f(1,2).
10．已知函数f(x)＝lg2(2＋x2).
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的值域．
[解析] (1)因为2＋x2＞0对任意x∈R都成立，
所以函数f(x)＝lg2(2＋x2)的定义域是R.
因为f(－x)＝lg2[2＋(－x)2]＝lg2(2＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由x∈R得2＋x2≥2，
∴lg2(2＋x2)≥lg22＝1，
即函数y＝lg2(2＋x2)的值域为[1，＋∞).
能力提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝lga(x2＋2x－3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)∪(－∞－3)
C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵f(2)＝lga5＞0＝lga1，∴a＞1.
由x2＋2x－3＞0，得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．
又∵y＝lgau(a＞1)在(1，＋∞)上也为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.
2．函数f(x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)＋x))的奇偶性是 ( )
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇又是偶函数D．非奇非偶函数
[答案] A
[解析] f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)－x))＋lg(eq \f(1,\r(x2＋1)＋x))＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.
3．设a＝lg3π，b＝lg2eq \r(3)，c＝lg3eq \r(2)，则 ( )
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
[答案] A
[解析] a＝lg3π＞1，b＝lg2eq \r(3)＝eq \f(1,2)lg23∈(eq \f(1,2)，1)，c＝lg3eq \r(2)＝eq \f(1,2)lg32∈(0，eq \f(1,2))，所以a＞b＞c，故选A.
4．若函数f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x2＋ax＋6)在(3，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－5，＋∞)B．[－6，＋∞)
C．(－∞，－6]D．(－∞，－5]
[答案] A
[解析] ∵f(x)在(3，＋∞)单调递减，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)≤3，,32＋3a＋6≥0，))∴a≥－5.
二、填空题
5．(2015·吉林高一检测)已知函数f(x)满足当x≥4时f(x)＝(eq \f(1,2))x；当x<4时f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋lg23)＝________.
[答案] eq \f(1,24)
[解析] f(2＋lg23)＝f(2＋lg23＋1)＝f(lg224)＝(eq \f(1,2))lg224＝eq \f(1,2lg224)＝eq \f(1,24).
6．已知函数y＝lgax在区间[2，＋∞)上恒有y＞1，则a的取值范围为________.
[答案] 1＜a＜2
[解析] 若0＜a＜1，则在[2，＋∞)上不会恒有lgax＞1，∴a＞1，∴y＝lgax为增函数．
当x∈[2，＋∞)时，lgax≥lga2.
∵y＞1恒成立，∴lga2＞1，∴a＜2，∴1＜a＜2.
三、解答题
7．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
[解析] (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (－x)，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (－x)．故当x<0时，f(x)＝－ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0, eq lg\s\d8(\f(1,2)) x≤2))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0,－ eq lg\s\d8(\f(1,2)) －x≤2))，
解得x≥eq \f(1,4)或－4≤x<0.
8．已知函数f(x)＝lga(3＋2x)，g(x)＝lga(3－2x)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
[解析] (1)使函数f(x)－g(x)有意义，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋2x＞0，,3－2x＞0，))解得－eq \f(3,2)＜x＜eq \f(3,2).
所以函数f(x)－g(x)的定义域是{x}－eq \f(3,2)＜x＜eq \f(3,2)}．
(2)由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)－g(－x)＝lga(3－2x)－lga(3＋2x)＝－[lga(3＋2x)－lga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，
∴函数f(x)－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0，即lga(3＋2x)＞lga(3－2x)．
当a＞1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋2x＞3－2x，,3－2x＞0，,3＋2x＞0，))
解得x的取值范围是(0，eq \f(3,2))．
当0＜a＜1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋2x＜3－2x，,3－2x＞0，,3＋2x＞0，))
解得x的取值范围是(－eq \f(3,2)，0)．
综上所述，当a＞1时，x的取值范围是(0，eq \f(3,2))；
当0＜a＜1时，x的取值范围是(－eq \f(3,2)，0)．