人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质一课一练

这是一份人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列函数，
①y＝x2；②y＝(－2)x；③y＝2x＋1；④y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．
其中，指数函数的个数是 ( )
A．1B．2
C．3D．4
[答案] A
[解析] 只有④是指数函数．
2．函数y＝eq \r(1－3x)的定义域是 ( )
A．[0，＋∞)B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 1－3x≥0,3x≤1，∴x≤0，故选B.
3．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是 ( )
A．(0，＋∞)B．(0,9)
C．(eq \f(1,9)，9]D．(eq \f(1,3)，27)
[答案] C
[解析] 因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有eq \f(1,9)＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为(eq \f(1,9)，9]，故选C.
4．函数y＝3－x的图象是 ( )
[答案] B
[解析] ∵y＝3－x＝(eq \f(1,3))x，∴函数为减函数且过(0,1)点，故选B.
5．函数y＝eq \f(xax,|x|)(0＜a＜1)的图象的大致形状是 ( )
[答案] D
[解析] 当x＞0时，y＝ax(0＜a＜1)，故可排除A、B项；当x＜0时，y＝－ax与y＝ax(0＜a＜1，x＜0)的图象关于x轴对称，故选D.
6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于 ( )
A.eq \f(1,2)B．2
C．4 D.eq \f(1,4)
[答案] B
[解析] 当a>1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，
由1＋a＝3，所以a＝2.
当0由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.
二、填空题
7．函数y＝eq \r(ax－1)(a＞0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________.
[答案] (0,1)
[解析] 由ax－1≥0，得ax≥1.
∵函数的定义域是(－∞，0]，∴ax≥1的解集为(－∞，0]，∴0＜a＜1.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________.
[答案] －3
[解析] 由已知，得f(1)＝2；又当x＞0时，f(x)＝2x＞1，而f(a)＋f(1)＝0，
∴f(a)＝－2，且a＜0，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
三、解答题
9．求下列函数的定义域和值域.
(1)y＝4eq \r(x－1)；(2)y＝eq \r(1－\f(1,2)x).
[解析] (1)要使函数有意义，则有x－1≥0，即x≥1，所以定义域是[1，＋∞)；当eq \r(x－1)≥0时，y＝4eq \r(x－1)≥40＝1，即值域是[1，＋∞)．
(2)∵1－(eq \f(1,2))x≥0，
∴(eq \f(1,2))x≤1，即x≥0.
∴函数y＝eq \r(1－\f(1,2)x)的定义域为[0，＋∞)．
令t＝(eq \f(1,2))x，∴0∴0≤1－t<1.∴0≤eq \r(1－t)<1.
∴y＝eq \r(1－\f(1,2)x)的值域为[0,1)．
10．函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝eq \f(fx－1,fx＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．
[解析] (1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,k·a－3＝8，))
∴k＝1，a＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝2x.
(2)函数g(x)为奇函数．
证明：g(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，其定义域为R，
又g(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，
∴函数g(x)为奇函数.
能力提升
一、选择题
1．函数y＝a|x|(a>1)的图象是 ( )
[答案] B
[解析] ∵y＝a|x|为偶函数，
∴其图象关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图象一致，故选B.
2．(2016·武汉高一检测)定义运算a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≤b,bbA．(0,1)B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(0,1]
[答案] D
[解析] 由题意知函数f(x)的图象如图，
∴函数的值域为(0,1]，故选D.
3．指数函数y＝ax(a∈{eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，2,3})的图象如下图，则分别对应于图象①②③④的a的值为 ( )
A.eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，2,3 B.eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，3,2
C．3,2，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)D．2,3，eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 令x＝1，对应的y值即为a值．
故选B.
4．(2016·湖北教学合作体期末)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是 ( )
[答案] A
[解析] 由题图可知0＜a＜1，b＜－1，则g(x)是一个减函数，可排除C，D，再根据g(0)＝1＋b＜0，可排除B，故选A.
二、填空题
5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x，则f(－eq \f(1,2))＝________.
[答案] －2
[解析] 因为当x＞0时，f(x)＝4x，
所以f(eq \f(1,2))＝4 eq \s\up4(\f(1,2)) ＝2.
又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(－eq \f(1,2))＝－f(eq \f(1,2))＝－2.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1x＋7a－2x＜1，,axx≥1))在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________.
[答案] [eq \f(3,8)，eq \f(1,2))
[解析] 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1＜0，,0＜a＜1，,9a－3≥a，))解得eq \f(3,8)≤a＜eq \f(1,2).
三、解答题
7．(2015·长春高一检测)已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq \f(1,2))，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解析] (1)∵函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq \f(1,2))，∴eq \f(1,2)＝a2－1，∴a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知f(x)＝(eq \f(1,2))x－1＝2·(eq \f(1,2))x，
∵x≥0，∴0＜(eq \f(1,2))x≤(eq \f(1,2))0＝1，
∴0＜2·(eq \f(1,2))x≤2，
∴函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
8．已知函数y＝ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)＝eq \f(ax,ax＋2).
(1)求a的值；
(2)证明f(x)＋f(1－x)＝1；
(3)求f(eq \f(1,2015))＋f(eq \f(2,2015))＋f(eq \f(3,2015))＋…＋f(eq \f(2014,2015))的值．
[解析] (1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＋a2＝20，得a＝4或a＝－5(舍去)．
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(4x,4x＋2)，
∴f(x)＋f(1－x)＝eq \f(4x,4x＋2)＋eq \f(41－x,41－x＋2)＝eq \f(4x,4x＋2)＋eq \f(\f(4,4x),\f(4,4x)＋2)＝eq \f(4x,4x＋2)＋eq \f(4,2·4x＋4)＝eq \f(4x,4x＋2)＋eq \f(2,4x＋2)＝1.
(3)由(2)知f(eq \f(1,2015))＋f(eq \f(2014,2015))＝1，
f(eq \f(2,2015))＋f(eq \f(2013,2015))＝1，…，
f(eq \f(1007,2015))＋f(eq \f(1008,2015))＝1，
∴f(eq \f(1,2015))＋f(eq \f(2,2015))＋f(eq \f(3,2015))＋…＋f(eq \f(2014,2015))＝[f(eq \f(1,2015))＋f(eq \f(2014,2015))]＋[f(eq \f(2,2015))＋f(eq \f(2013,2015))]＋…＋[f(eq \f(1007,2015))＋f(eq \f(1008,2015))]＝1＋1＋…＋1＝1007.