2021学年2.2.2对数函数及其性质课后练习题

这是一份2021学年2.2.2对数函数及其性质课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于 ( )
A．{x|x＞－1}B．{x|x＜1}
C．{x|－1＜x＜1}D．∅
[答案] C
[解析] 由题意各M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C.
2．函数y＝lg2x在[1,2]上的值域是 ( )
A．RB．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．[0,1]
[答案] D
[解析] ∵1≤x≤2，∴lg21≤lg2x≤lg22，即0≤y≤1，故选D.
3．函数f(x)＝lg2(3x＋3－x)是 ( )
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
[答案] B
[解析] ∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.
又∵f(－x)＝lg2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.
4．函数y＝ax与y＝－lgax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象正确的是 ( )
[答案] A
[解析] ∵y＝ax与y＝－lgax的单调性相反，可排除C、D选项．又y＝－lgax中x>0，可排除B.
5．若函数y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过(－1,0)和(0,1)两点，则 ( )
A．a＝2，b＝2B．a＝eq \r(2)，b＝2
C．a＝2，b＝1D．a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)
[答案] A
[解析] ∵函数y＝lga(x＋b)过(－1,0)，(0,1)两点，
∴这两点满足y＝lga(x＋b)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＝lgab－1，,1＝lgab，))
解得a＝b＝2，故选A.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则实数a的值为 ( )
A．－1 B.eq \r(2)
C．－1或eq \r(2)D．1或－eq \r(2)
[答案] C
[解析] 当a＞0时，lg2a＝eq \f(1,2)，则a＝2 eq \s\up4(\f(1,2)) ＝eq \r(2)；
当a≤0时，2a＝eq \f(1,2)，即2a＝2－1，则a＝－1.
综上，a＝－1或eq \r(2).
二、填空题
7．(2016·陕西工大附中高一质检)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx，x>0，,10x，x≤0，))则f(f(－2))＝________.
[答案] －2
[解析] f(－2)＝10－2，f[f(－2)]＝lg10－2＝－2.
8．(2016·琼海高一检测)设函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2 015))的值等于________.
[答案] 16
[解析] f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2015))＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋…＋lgaxeq \\al(2,2015)＝lga(xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)…xeq \\al(2,2015))＝2lga(x1x2…x2015)＝2f(x1x2…x2015)＝2×8＝16.
三、解答题
9．求下列函数定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；
(2)f(x)＝lgx＋1(16－4x)．
[分析] (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＞0，,x－3≠0，))得x＞2且x≠3，
∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x＞0，,x＋1＞0，,x＋1≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＜16，,x＞－1，,x≠0，))
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．
10．已知f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x).x∈(－1,1)若f(a)＝eq \f(1,2)，求f(－a).
[解析] 方法1：∵f(－x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)＝lg(eq \f(1－x,1＋x))－1＝－f(x)，
∴f(－a)＝－f(a)＝－eq \f(1,2).
方法2：f(a)＝lgeq \f(1＋a,1－a)，
f(－a)＝lgeq \f(1－a,1＋a)
＝lg(eq \f(1＋a,1－a))－1＝－lgeq \f(1＋a,1－a)＝－eq \f(1,2).
能力提升
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(eq \r(a)，a)，则f(x)等于 ( )
A． eq lg\s\d8(\f(1,2)) xB．lg2x
C.eq \f(1,2x)D．x2
[答案] A
[解析] 由题意知f(x)＝lgax，又f(eq \r(a))＝a，∴lgaeq \r(a)＝a，∴a＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x，故选A.
2．函数y＝eq \f(x,|x|)lg2|x|的大致图象是 ( )
[答案] D
[解析] 当x＞0时，y＝eq \f(x,x)lg2x＝lg2x，即可排除选项A、B、C，故选D.
3．已知函数f(x)＝2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是 ( )
A．[eq \f(\r(2),2)，eq \r(2)] B．[－1,1]
C．[eq \f(1,2)，2]D．(－∞，eq \f(\r(2),2)]∪[eq \r(2)，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵－1≤2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) x≤1，
∴－eq \f(1,2)≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x≤eq \f(1,2).
∴ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (eq \f(1,2))－ eq \s\up4(\f(1,2)) ＝－eq \f(1,2)≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x≤eq \f(1,2)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (eq \f(1,2)) eq \s\up4(\f(1,2)) .
∵y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) x为减函数．
∴eq \r(2)＝(eq \f(1,2))－ eq \s\up4(\f(1,2)) ≥x≥(eq \f(1,2)) eq \s\up4(\f(1,2)) ＝eq \f(\r(2),2).
4．(2015·广西桂林中学段考)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x≤1，,lgax，x＞1))是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是 ( )
A．(0,1)B．(0，eq \f(1,3))
C．[eq \f(1,7)，eq \f(1,3))D．[eq \f(1,7)，1)
[答案] C
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1＜0，,0＜a＜1，,3a－1＋4a≥0，))
∴eq \f(1,7)≤a＜eq \f(1,3).
二、填空题
5．函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定义域是________.
[答案] {x|－eq \f(1,3)＜x＜1}
[解析] 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))解得－eq \f(1,3)＜x＜1，故函数的定义域为{x|－eq \f(1,3)＜x＜1}．
6．函数y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)的图象恒过定点P，则P点坐标为________.
[答案] (－2,0)
[解析] 对一切a∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＝－2时，lgaeq \f(2－2＋1,－2－1)＝0，∴P点坐标为(－2,0)．
三、解答题
7．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.
[解析] ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx＋1，x＞0，,0，x＝0，,－lg1－x，x＜0.))
∴f(x)的大致图象如图所示：
8．设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．证明：ab＜1.
[证明] 作出函数f(x)＝|lgx|的图象，如图所示．
∵0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，
∴a＞1，b＞1不可能．
当0＜a＜b＜1时，
显然ab＜1成立．
当0＜a＜1，b＞1时，由f(a)＞f(b)得|lga|＞|lgb|，∴－lga＞lgb，即lga＜－lgb.
∴lga＜lgeq \f(1,b).故a＜eq \f(1,b)，从而ab＜1.
综上可知，ab＜1.