【期末必备】11.3 多边形及其内角和-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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11.3多边形及其内角和知识点1  多边形的有关概念  在平面内，由一些线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。注意1 三角形是边数最少的多边形  多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。  多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。说明1 多边形的分类      凸多边形凹多边形  各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。知识点2   多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如图，AC，AD是五边形的ABCDE的两条对角线。  注意2从多边形的不同顶点作出的对角线有重复，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和。知识点3  多边形的内角和  从五边形的一个顶点出发，可以作2 条对角线，它们将五边形分为3 个三角形，五边形的内角和等于180°x 3 。  从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°x 4。   从n边形的一个顶点除法，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）x180°。注意3推导多边形内角和的公式的方法有很多，通常是将多边形内角和转化为三角形内角和来进行推导。 拓展1 多边形内角和公式的拓展方法把多边形的问题转化为三角形问题进行解决 知识点四多边形外角和  多边形外角和等于360°。拓展2 正多边形的外角度数正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于。  题型1 多边形内角和公式的应用多边形内角和公式的考法主要有两种：（1）已知多边形的变数，求多边形的内角和，可以直接利用公式求解；（2）已知多边形的内角和，求多边形的边数，可以设边数为n，利用多边形内角和公式简历方程，然后列方程求解。 例题1如图，在五边形ABCDE中AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°,∠CDE-∠ABC=30°。（1）求∠D的度数；（2）求证：AB∥CD 【解析】（1）∵AE⊥DE，∴∠AED=90°∵∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE-∠ABC=30°，且五边形ABCDE的内角和为（5-2）x180°=540°∴∠D=540°-∠AED-∠BAE-∠BCD-∠ABC=540°-90°-120°-60°-∠CDE+30°∴2∠D=300°，∴∠D=150°（2）由（1）已知∠D=150°，∵∠CDE-∠ABC=30°∴∠ABC=120°∵∠BCD=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD 变式1 某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 【解析】720°，求的是六边形的内角和  题型2多边形外角和定理的应用例题2 已知一个多边形的每一个外角都等于72°，求这个多边形的内角和。 【解析】∵多边形的外角和为360°，多边形的每一个外角都等于72°，∴这个多边形是正多边形，且边数为360°÷72°=5∴这个正五边形的内角和为（5-2）x180°=540° 变式2 若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是？ 【答案】6  题型3 利用多边形内、外角关系解题此类题通常用方程的思想来解答，设内角（或外角）的度数为x°，再根据与相邻内、外角互补或内、外角和公式建立方程，然后解方程即可。 例题3 如果多边形的每个内角都比它相邻外角的4倍多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数。 【解析】设外角为x°，则x+4x+30=180，解得x=30∴360°÷30°=12∴（12-2）x180°=1800°，∴这个多边形的内角和是1800°对角线的总条数为=54答：这个多边形的内角和是1800°，对角线的总条数为54. 变式3 若多边形的外角和与内角和之比是2:9，求这个多边形的边数及内角和。【解析】设该多边形的边数为n，内角和为x°由边形的外角和与内角和之比是2:9，可得=解得x=1620.由（n-2）x180°=1620°，解得n=11.故这个多边形的边数为11，内角和为1620°