【期末必备】13.4 最短路径问题-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1用轴对称解决最短路径问题
已知直线l上一动点和直线l外两定点。
当两定点在l的异侧时，连接 两定点 得最短路径。（图1）
当两定点在l的同侧时，作其中一定点关于l的对称点，连接该对称点和另一定点，得最短路径。（图2）
图（1） 图（2）
另两种常见的最短路径问题。
知识点2用平移解决“造桥选址”问题
解决“造桥选址”问题，一般用 平移 的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到 一条直线 上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题。
注意2 “造桥选址”问题的根本
通过平移变换，沿河垂直的方向平移桥，使除桥外的其他路径平移后在同一条直线上。
题型1用轴对称解决“一线”的最短路径问题
例题1傍晚时分，牧童准备从A处回到B处的家中，如图所示，但他必须先到小河边a去饮马。为了节省时间，请你帮助牧童选择一条最短的路线，并证明。
【解析】
将河边看成一条直线a，作点B关于a的对称点点B’，连接B’A，交直线a于点C，连接BC，则折线ACB就是牧童应该走的路线。
证明：在河边（即直线a上）任取一点M（M不同于C），则折线AMB是任意一条牧童饮马回家的路线。连接B’M，由“两点之间，线段最短”知线段B’A短于折线B’MA。由轴对称的性质，可知AM+MB=AM+MB’>AB’=AC+CB’=AC+CB.因此在所有牧童饮马回家的路线中，折线ACB最短。
变式1 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。
若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：在图（1）中保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
若要使厂址到A，B两村的水管最短，自来水厂应建在什么地方？（要求：在图（2）中保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
图（1） 图（2）
【解析】
如图（1），连接AB，作出AB的垂直平分线，与EF的交点为M，交点M即为厂址所在位置。
如图（2）所示，作A点关于直线EF的对称点A’，再连接A’B交EF于点N，点N即为所求。
图（1） 图（2）
题型2用轴对称解决“两线”的最短路径问题
例题2 如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河边l1上的P1点去饮马，再到河边l2上的P2点去饮马，最后骑马到D点。他应如何选择饮水点P1，P2，才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？
【解析】
如图，作点C关于l1的对称点C’，点D关于l2的对称点D’
连接C’D’，交l1于点P1，交l2于点P2，连接CP1，P1P2，P2D。
此时所走的路程CP1+P1P2+P2D最短
变式2 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC,CD上分别找一点M,N，则当△AMN周长最小时，试确定M,N的位置，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
如图，分别作点A关于BC和CD的对称点A’,A’’，连接A’A’’，交BC于点M，交CD于点N，则A’A’’的长即为△AMN的周长的最小值，M,N即为所求作的满足周长最小值的两点。
∵∠DAB=120°，∴∠AA’M+∠AA’’N=180°-∠BAD=60°
∵∠MA’A=∠MAA’，∠NAD=∠AA’’N，
且∠MA’A+∠MAA’=∠AMN，∠NAD+∠AA’’N=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA’A+∠MAA’+∠NAD+∠A’A’’N=2（∠AA’M+∠AA’’N）=2x60°=120°
问题
在射线OA，OB上分别作点M，N，使三角形PMN的周长最小
在射线OA，OB上分别作点M，N，使四边形PMNQ的周长最小
做法
分别作点P关于两条射线的对称点P’，P’’，连接P’P’’，与两射线交点即为M，N
分别作点P，Q关于两射线的对称点P’，Q’连接P’Q’，与两射线的交点即为M，N
原理
PM+MN+PN=P’P’’，两点之间线段最短
PQ+PM+MN+NQ=PQ+P’Q’，两点之间，线段最短