【期末必备】14.1 整式的乘法-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n，
am·an=（a·a·a·a·……·a）·（a·a·a·a·……·a）=a·a·a·a·……·a=am+n
m个a n个a （m+n）个a
因此，我们有am·an=am+n（m,n都是正整数）。
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 底数 不变， 指数 相加。
注意1
不要忽略指数是1的因式，如c·c6≠c0+6；
底数可以是单项式，也可以是多项式，当底数是多项式时通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。
知识点2幂的乘方
一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n，
n个am n个m
（am）n=am·am·am·……·am=am+m+m……+m=amn。
因此，我们有（am）n=amn（m,n都是正整数）。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。
注意2
应用幂的乘方法则进行计算时，要特别注意符号问题，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。
知识点3积的乘方
一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n，
n个ab n个a n个b
（ab）n=（ab）·（ab）·（ab）·……·（ab）=a·a·……·a·b·b·……·b=anbn。
因此，我们有（ab）n=anbn（n是正整数）。
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。
注意3
每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式；
要注意系数连同它的符号一起乘方，尤其当系数是-1时，不可忽略；
式子中的a,b可以表示一个单项式，也可以代表一个多项式。
知识点4整式的乘法
单项式与单项式相乘
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 字母 ，则连同它的 指数 作为积的一个因式。其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质。
单项式与多项式相乘。
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得的积相加。用式子表示为m（a+b+c）= ma+mb+mc （m,a,b,c都是单项式）
注意4
积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值；
相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按同底数幂的乘法法则来计算。
多项式与多项式相乘。
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。用式子表示为（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式。
注意5
计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包含它的前面的符号，同时也要注意单项式的符号。
同底数幂的除法
一般地，我们有am÷an=am-n（a≠0，m,n都是正整数，并且m>n）。即同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。
零指数幂
一般地，我们有a0=1（a≠0）。即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
注意6
底数可以是不等于0的数或式子。如（3-2）0=1，（a-3）0=1（a≠3）。
单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把 系数 与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的 字母 ，则连同它的指数作为商的一个 因式 。其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式。
注意7 单项式除以单项式法则包括三个方面
系数相除；
同底数幂分别相除；
只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加 。
题型1整式的化简求值
首先依据整式的混合运算顺序和运算法则进行化简，然后带入求值，对于幂的运算问题，首先要判断出幂的运算类型，然后根据幂的运算性质计算，要注意底数和指数的变化特点。
例题1先化简，再求值：x+3yx-3y+2y-x2+5y21+x-2x2-x2y÷-12xy，其中x=94，y=220。
变式1 有这样一道题：当x=-2018，y=2019时，求多项式7x3-6x3y+3x2y+x3+2x3y-3x2y+10x3的值。有一位同学看到x,y的值就怕了，这么大的数怎么算啊!你能用简便的方法帮他解决这个问题吗？
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题型2整式乘除的应用
例题2 如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形土地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出a=3,b=2时的绿化面积。
变式2 如图（1）的瓶子中盛满水，将这个瓶子中的水全部倒入如图（2）的杯子中，你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位cm）。
图（1） 图（2）
题型3利用整式的乘法求字母的值
例题3 已知（x2+mx+n）（x2-3x+2）的结果中不含x3和x项，求m,n的值。
变式3 一个二次三项式x2+2x+3，将它与一个二次项ax+b相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，求a,b的值。