【期末必备】14.3 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
注意1 因式分解的结果必须是：
式子乘积的形式；
每个因式都是整式；
结果分解要彻底。
知识点2提公因式法
多项式中各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
注意2
提公因式时，当首项为负时，把负号作为公因式的符号提到括号外；
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
注意3 检查提公因式法分解因式是否正确的方法
在因式分解完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等，如果相等就说明是正确的，否则就是错误的。
提公因式法的公式
pa+pb+pc= p(a+b+c)
提公因式法分解因式的一般步骤
确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
提公因式并确定另一个因式；
把多项式写成这两个因式的积的形式。
知识点3公式法
用平方差公式分解因式
由于整式的乘法与因式分解是方向相反的边形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到a2-b2= (a+b)(a-b)。即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
注意4
当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解。分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
用完全平方公式分解因式
把整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的等号两边互换位置，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2。即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
注意5 用完全平方公式分解因式的关键
如果多项式有公因式，先提取公因式，再运用完全平方公式分解。当第一项的系数是负数时，一般要提“-”，多项式的各项都要变号。比如，-3x2+6xy-3y2=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2。
知识点4判定两个三角形全等的基本事实（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，则△ABC≌△DEF
题型1利用因式分解求代数式的值
例题1对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法因式分解为(x+a)2的形式，但对于二次三项是x2+2ax-3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使其称为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变。于是有x2+2ax-3a2=x2+2ax-3a2+a2-a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2
-(2a)2=(x+3a)(x-a).像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添（拆）项法。
请用上述方法把x2-4x+3因式分解；
多项式x2+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
变式1 已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14.
求此长方形的面积
求ab3+2a2b2+a3b的值
题型2因式分解与三角形知识的综合应用
例题2已知a,b,c分别是△ABC的三边长
分解将多项式a2c2-b2c2,a4-b4进行因式分解；
若a2c2-b2c2=a4-b4,c2-a2-b2≠0，试判断△ABC的形状，并说明理由。
变式2若一个三角形的三边长分别为a,b,c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试说明该三角形的形状。