【期末必备】15.3 分式方程-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特征
（1）是方程；（2）分母中含有未知数。
注意1 判断一个方程是不是分式方程的关键
看其分母中是否含有未知数，判断时不能对方程进行约分、通分，更不能用等式的性质对方程进行变形。
知识点2解分式方程
解分式方程的基本思路
将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。这也是解分式方程的一般方法。
注意2
如果分式的分子是多项式，去分母时，要给多项式加上括号。
解分式方程的一般步骤
（1）去分母：方程的两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
注意3
用最简公分母成乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项。
增根与无解的区别：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的。分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整数方程后，使整式方程无解的数。
注意4
增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。
知识点3分式方程的应用
列分式方程常用的等量关系
（1）工程问题：工作效率x工作时间=工作量。
总工作量=各工作量之和
（2）利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润进价x100%，
总利润=单件利润x销售数量
（3）行程问题：速度x时间=路程
（4）储蓄问题：本息和=本金+利息
注意5 选择合适的等量关系
在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列分式方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程。
列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审：审清题意，弄清以质量和未知量；
（2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）；
（3）列：列出分式方程；
（4）解：解分式方程；
（5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义；
（6）答：写出答案。
注意6
列分式方程解应用题时，一定不要忘记检验；
实际问题中要舍去不符合实际意义的分式方程的解。
题型1解分式方程
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，若直接去分母，出现未知数的次数高于三次的话，可将两边分别通分，再去分母，解方程。
例题1解方程：1x-7-1x-5=1x-6-1x-4
变式1 解方程：1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+……+1x+9x+10=2
题型2利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围
分式方程无解的原因有两种：
去分母后化成的整式方程无解；
整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0
将分式方程的解用字母系数表示出来，再利用限制条件确定关于字母系数的不等式（组）是解此类问题的关键。
例题2若关于x的分式方程2x+2+mxx2-4=3x+2无解，求m的值。
变式2关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为正数，求a的取值范围。
题型3 利用分式方程解决实际问题
例题3某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花费20元。
求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
如果这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球的售价比第一购买时提高了10%，乙种足球的售价比第一次购买时降低了10%。如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
变式3 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600㎡的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成。已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600㎡区域的绿化，甲队比乙队少用6天。
求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积；
若甲队每天的绿化费用是1.2万元，乙队每天的绿化费用是0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队施工多少天？