2018-2019学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列图形中，有稳定性的是（ ）
A．长方形B．梯形C．平行四边形D．三角形
3．（2分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
4．（2分）汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×10﹣2B．1.3×10﹣3C．13×10﹣3D．1.3×103
5．（2分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACD＝2∠AB．∠A＝2∠PC．BP⊥ACD．BC＝CP
7．（2分）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．ax﹣ay＝a（x﹣y）
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2
8．（2分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数，等等．有如下三个结论：
①当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1．
②当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1
③当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，a的值是﹣2或﹣4．
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②C．③D．②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）计算（x+3）（x﹣2）＝ ．
11．（2分）如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．
12．（2分）已知x2﹣6x+a是完全平方式，则a的值为 ．
13．（2分）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
14．（2分）如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件可以是
15．（2分）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D
两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是 ．
16．（2分）已知，∠AOB＝30°，点M，N是射线OA上的动点（都不与点O重合），且MN＝2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）
17．（5分）计算：+（﹣2019）0﹣|2|．
18．（5分）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
19．（5分）已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．
求证：AC＝BE．
20．（5分）计算：﹣．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
22．（5分）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2+y（y﹣2x）﹣2x﹣1的值．
23．（6分）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长．
24．（6分）研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用7小时，求特快列车的平均速度．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
26．（6分）观察下列式子：
＝2，＝2，＝2，＝2……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
（1）填空：+＝2；
（2）再写出两个式子；
（3）把这个规律用字母表示出来，并说明其正确性（不必写出字母的取值范围）．
27．（7分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1
②求证：∠EAC＝∠EDC；
（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 ；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．
2018-2019学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件进行判断即可．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C不是最简二次根式；
D、被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（2分）下列图形中，有稳定性的是（ ）
A．长方形B．梯形C．平行四边形D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：因为三角形具有稳定性，所以下面图形中稳定性最好的是三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的稳定性，关键是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．
3．（2分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣1＝0且x≠0，
解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
4．（2分）汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×10﹣2B．1.3×10﹣3C．13×10﹣3D．1.3×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.013＝1.3×10﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
6．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACD＝2∠AB．∠A＝2∠PC．BP⊥ACD．BC＝CP
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC＝2∠A，故A正确；根据角平分线的性质得到∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角的性质即可得到∠A＝2∠P，故B正确；由于∠A≠∠ACB，无法判断BP⊥AC，故C错误；根据等量代换得到∠P＝∠PBC，根据等腰三角形的性质得到BC＝CP，故D正确．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝2∠A，故A正确；
∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴ACD＝A+∠ABC＝∠P+∠PBC＝∠P+PBC，
∴∠A＝2∠P，故B正确；
∵∠A≠∠ACB，
∴无法判断BP⊥AC，故C错误；
∵∠PBC＝∠ABC，∵∠P＝∠A，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠P＝∠PBC，
∴BC＝CP，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2分）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．ax﹣ay＝a（x﹣y）
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2
【分析】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是因式分解，正确；
B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；
C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；
D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
8．（2分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数，等等．有如下三个结论：
①当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1．
②当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1
③当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，a的值是﹣2或﹣4．
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②C．③D．②③
【分析】依据（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，即可代入a，b的值，得到代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值．
【解答】解：∵（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴当a＝1，b＝1时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是16，故①错误；
当a＝﹣1，b＝2时，代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是1，故②正确；
当代数式a4+4×3a3+6×9a2+4×27a+81的值是1时，（a+3）4＝1，
∴a的值是﹣2或﹣4，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，（a+b）n展开后各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2分）计算（x+3）（x﹣2）＝ x2+x﹣6 ．
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6．
故答案为：x2+x﹣6
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2分）如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°．
故答案为：360°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题的关键．
12．（2分）已知x2﹣6x+a是完全平方式，则a的值为 9 ．
【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，据此即可求解．
【解答】解：a＝（）2＝9．
故答案是：9．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2分）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 80°或20° ．
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14．（2分）如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件可以是 OC＝OD或∠A＝∠B或∠C＝∠D
【分析】利用对顶角相等得到∠AOC＝∠BOC，加上AO＝BO，当OC＝OD时，根据“SAS“可判断△AOC≌△BOD；当∠A＝∠B时，可根据“ASA”判断△AOC≌△BOD；当∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△AOC≌△BOD．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，AO＝BO，
∴当OC＝OD时，△AOC≌△BOD；
当∠A＝∠B时，△AOC≌△BOD；
当∠C＝∠D时，△AOC≌△BOD．
故答案为OC＝OD或∠A＝∠B或∠C＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
15．（2分）如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D
两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ．
【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．
【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，
∴AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
即C，D到B的距离相等．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16．（2分）已知，∠AOB＝30°，点M，N是射线OA上的动点（都不与点O重合），且MN＝2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为 2或4 ．
【分析】分三种情况①如图1，当∠MNP＝90°，PN＝MN＝2，②如图2，当∠NPM＝90°，PM＝PN时，过P作PH⊥MN于H，③如图3，当∠NMP＝90°，PM＝MN＝2，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：若△MPN为等腰直角三角形，
①如图1，当∠MNP＝90°，PN＝MN＝2，
∵∠AOB＝30°，
∴OP＝2PN＝4；
②如图2，当∠NPM＝90°，PM＝PN时，
过P作PH⊥MN于H，
则PH＝MN＝1，∵∠AOB＝30°，
∴OP＝2PH＝2，
③如图3，当∠NMP＝90°，PM＝MN＝2，
∵∠AOB＝30°，
∴OP＝2PM＝4；
综上所述，PO的长为4或2，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，含30°直角三角形的性质，分类思想的运用是解题的关键
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）
17．（5分）计算：+（﹣2019）0﹣|2|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
【分析】直接利用整式的除法的运算法则求解即可求得答案．
【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1．
【点评】此题考查了整式的除法．此题难度不大，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
19．（5分）已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．
求证：AC＝BE．
【分析】证明△ABC≌△BDE（AAS），即可求解．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠CBA，
而∠A＝∠DBE，AB＝BD，
∴△ABC≌△BDE（ASA），
∴AC＝BE．
【点评】本题主要考查的是利用角角边定理，判断三角形全等，涉及到了平行线的性质，本题较为容易．
20．（5分）计算：﹣．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因为△BDE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，求出∠ACB与∠E的度数是解题关键．
22．（5分）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2+y（y﹣2x）﹣2x﹣1的值．
【分析】首先利用整式乘法运算法则化简，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：原式＝x2+1+2x+y2﹣2xy﹣2x﹣1
＝x2+y2﹣2xy
＝（x﹣y）2，
当x﹣y＝时，原式＝（）2＝2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
23．（6分）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长．
【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求CD的长．
【解答】解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6．
∴p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6；
（2）如图，∵△ABC的面积＝AB•CD，
∴×6×CD＝6，
∴CD＝2．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．也考查了阅读理解能力．
24．（6分）研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用7小时，求特快列车的平均速度．
【分析】根据列分式方程解应用题的一般步骤解答．
【解答】解：设特快列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度2.4x千米/小时，
由题意得，﹣＝7，
解得，x＝100，
经检验，x＝100是原方程的根，并且符合题意，
答：特快列车的平均速度为100千米/小时．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角对等边得出DB＝DC．再根据SSS证明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定义即可求出∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，周角的定义．证明出△ABD≌△ACD是解题的关键．
26．（6分）观察下列式子：
＝2，＝2，＝2，＝2……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
（1）填空：+＝2；
（2）再写出两个式子；
（3）把这个规律用字母表示出来，并说明其正确性（不必写出字母的取值范围）．
【分析】（1）由已知等式得出+＝2，据此求解可得；
（2）利用所得规律求解可得；
（3）根据分式的加减运算法则计算即可验证．
【解答】解：（1）+＝2；
（2）+＝2，+＝2；
（3）+＝2，
∵左边＝+
＝+
＝
＝2＝右边，
∴+＝2．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出规律+＝2，及分式的加减运算法则．
27．（7分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1
②求证：∠EAC＝∠EDC；
（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②只要证明CA＝CD＝CB，利用等腰三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2中，结论：EB＝EC+ED．设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH＝ED．只要证明△ADH≌△CDE（SAS），EA＝EB即可解决问题；
【解答】解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．
②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，EA＝EB，
∴∠EAC＝∠EBC．
∵△ACD为等边三角形，
∴CD＝AC＝BC，
∴∠EDC＝∠EBC，
∴∠EAC＝∠EDC．
（2）如图2中，结论：EB＝EC+ED．
理由：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH＝ED．
∵△ADC是等边三角形，
∴DA＝DC＝AC，∠ADC＝DCA＝60°，
∵直线m垂直平分线段AB，
∴CA＝CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBE，
∵EA＝EB，CA＝CB，
∴∠EAB＝∠EBA，∠CAB＝∠CBA，
∴∠EAC＝∠EBC，
∴∠JDE＝∠JAC，
∵∠DJE＝∠AJC，
∴△DJE∽△AJC，
∴∠DEJ＝∠JCA＝60°，
∵ED＝EH，
∴△DEH是等边三角形，
∴∠ADJ＝∠HDE，DH＝DE，
∵DA＝DC，
∴△ADH≌△CDE（SAS），
∴AH＝EC，
∴EA＝EH+AH＝DE+EC，
∵直线m垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴EB＝EC+ED．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是 P2，P3 ．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 t＞3或t＜0 ；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．
【分析】（1）如图1中作等边△ABC，△ABC′．根据点C，C′的坐标即可判断；
（2）①如图2﹣1中，以AB为边作等边△ABK，△ABK′，根据K，K′的坐标即可判断；
②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题；
【解答】解：（1）如图作等边△ABC，△ABC′．
由题意C（0，2），C′（0，﹣2），当点P在线段CC′上时，点P是“近轴点”，
所以P2（0，2），P3（0，﹣1）是“近轴点”，
故答案为P2，P3．
（2）①如图2﹣1中，
以AB为边作等边△ABK，△ABK′，
由题意可知K（3，2），k′（0，﹣），
若P为线段AB的“远轴点”，
∴点P的横坐标t的取值范围为t＞3或t＜0．
故答案为t＞3或t＜0．
②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．
∵点Q在AB的垂直平分线上，
∴QB＝QA，
∴QB+QC＝QA+QC，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，得到x＝1，
∴此时点Q坐标为（1，0）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2019/11/5 23:29:56；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.cm；学号：335385