高中数学8.6 空间直线、平面的垂直习题ppt课件

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已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 ∥a， ∥b，我们把直线 与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
3.二面角及二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
8.直线与平面垂直的定义
定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
9.直线与平面垂直的判定定理
定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
10.直线与平面垂直的性质定理
定理垂直于同一个平面的两条直线平行．
11.平面与平面垂直的判定定理
定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
12.平面与平面垂直的性质定理
定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
空间垂直关系转化结构图
例题　选择题（1）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2， l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是（ ）．（A）l1⊥ l4 （B）l1∥ l4（C）l1，l4既不垂直也不平行（D）l1，l4的位置关系不确定
l4可以是平面CC1D1D内的任意一条直线
通过此题的分析，我们可以深切地体会到，高中所学习的立体几何知识，可以拓宽我们的视野，增加我们对几何认知的维度，提升我们空间想象能力．
（2）已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）．（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
通过这个题目，我们可以感受到定理之间密切的联系，所以对于解决此类空间垂直问题，充分理解并掌握定理是至关重要的．
分析：思路一：异面直线所成角
例题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证 A1P⊥BQ．
A1P垂直BQ所在平面？BQ垂直A1P所在平面？
证明：如图，设E为BC的中点，连接B1E，易证A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）
本题考查我们对证明空间中两直线垂直方法的理解与掌握．可供我们选择的方法有两种，一种是异面直线所成角的定义，一种是线面垂直的性质定理，我们要选择一个适合题目的方法进行解答，这也要求我们不但要熟练掌握这些定理与方法，同时还要正确且迅速的做出选择．
分析：思路一：异面直线所成角思路二：
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证AB⊥PC．
PO⊥底面ABCPO 平面PCD
证明：∵　PO⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴　PO⊥AB．又　CD⊥AB，PO∩CD=O， PO 平面PDC，CD 平面PDC，∴　AB⊥平面PDC．又　PC 平面PDC，∴AB⊥PC．
本题虽然和上一道例题都是证明线线垂直的问题，但是方法上有所不同，相比较异面直线所成角的方法，通过线线垂直与线面垂直之间的联系解决本题更为恰当，我们采取了从问题出发的方式，也就是分析法，分析法对于证明题的分析非常地有针对性．在我们以后解决问题时，也可以多多使用．
　　在整个分析过程中，我们发现有一些条件是直接能给我们一些启发的，方便进行方法上的选择，有一些条件则需要我们进一步挖掘它所产生的结论，给我们的证明过程提供充足的条件，所以我们在解题时，一定要果断决策，多看条件，逐步分析，串联过程．
例题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D⊥平面A1BC1；（2）B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．
例题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D⊥平面A1BC1；
B1D⊥平面A1BC1
B1D⊥A1C1？B1D⊥A1B？B1D⊥BC1？
A1C1垂直B1D所在的平面
证明：（1）方法一：连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，又　DD1⊥平面A1B1C1D1，∴　DD1⊥A1C1．∴A1C1⊥平面D1DB1．∴　A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，∴　B1D⊥平面A1BC1．
证明：（1）方法二：连接B1D1交A1C1于点O，取DD1中点E，连接EO，EC1，设正方体棱长为a．∵　点O、点E分别是线段B1D1、线段 DD1的中点，∴　OE是△ B1D D1的中位线，
∴　OE∥B1D，∴　∠EOC1为B1D与A1C1所成角．∵正方体棱长为a，∴　OE= ，OC1= ，EC1= ．∴　OE2+OC12=EC12．∴　EO⊥OC1．
故　A1C1⊥B1D．同理可证B1D⊥A1B，∴　B1D⊥平面A1BC1．
例题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（2）B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．
△A1BC1为等边三角形
重心、垂心、 、内心
正方体ABCD-A1B1C1D1
B1-A1BC1为正三棱锥
证明：（2）连接A1H，BH，C1H．∵　A1B1=BB1=C1B1，∴　A1H=BH=C1H．∴　点H为△A1BC1的外心．又　△A1BC1为正三角形，∴　H是△A1BC1的重心．
本题考查我们对于空间垂直定理的理解与掌握，以及利用立体几何解决平面几何问题的能力，本题在分析求解的过程中，利用分析法，从问题出发，需要不断地结合已知条件将所求问题进行转化求解，提升了我们的转化思维．第（1）问，线面垂直问题是连接线线垂直与面面垂直的重要桥梁，需要我们转化为线线垂直与面面垂直问题．
　　第（2）问结合已知条件把重心转化为外心，使问题得到解决，所以对于很多题目，转化思维是必不可少的，我们一定要细致地分析，并进行经验总结，之后遇到类似的问题也就能迎刃而解了．
例题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
例题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．（1）求证：AM⊥平面PCD；
侧面PAD⊥底面ABCD
证明：（1）∵　底面ABCD为正方形，∴　CD⊥AD．∵　平面PAD⊥平面ABCD，　　平面PAD∩平面ABCD=AD，∴　CD⊥平面PAD．∵　AM 平面PAD，∴　CD⊥AM．
∵　侧面PAD是正三角形，且M是PD　　的中点，∴　AM⊥PD．∵　CD 平面PCD，PD　平面PCD，CD∩PD=D，∴　AM⊥平面PCD．
例题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．分析：欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角．
Rt△PAB≌Rt△PDC
取BC中点N取AD中点O
解：（2）设AB=a，取AD中点O，BC　　中点N，连接PN，NO，OP． ∵　底面ABCD为正方形，点O，N分　　别为AD，BC的中点，∴　ON⊥AD，ON⊥BC　　且ON=AB=CD=a．∵　侧面PAD是正三角形，
∴　PO⊥AD． ∵　平面PAD⊥平面ABCD，　　平面PAD∩平面ABCD=AD，∴　PO⊥平面ABCD．又　BC 平面ABCD，ON 平面ABCD，∴　PO⊥BC，PO⊥ON．
∵ PO 平面PON，ON 平面PON， PO∩ON=O，ON⊥BC， PO⊥BC，∴　BC⊥平面PON．又　PN 平面PON，∴　BC⊥PN．故　∠PNO是所求二面角的平面角．∵ PO⊥ON，
∴△PON为直角三角形． ∵　PO=　　，ON=a， PO 2+ON 2=PN 2．∴PN= ．∴　cs∠PNO= ．
故　侧面PBC与底面ABCD所成二面角　　的余弦值为　　．
对于立体几何的综合题目，切勿“埋头苦做”，多多“抬头看题”，解题思路也许有很多种，但我们还是要看看哪些条件在我们抉择时能给我们一定的启发，帮助我们选择最适合的方法．在垂直这部分知识中，线线垂直、线面垂直、面面垂直相互关联，我们要尽可能的去挖掘题目中的垂直条件，帮助我们利用这些定理来转化问题，解决问题．
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（1）证明：∵　PA⊥平面ABC，BC　平面ABC，∴　PA⊥BC．∵　∠ACB=90°，∴　BC⊥AC．又　AC∩PA=A，AC 平面PAC， PA 平面PAC，
∴　BC⊥平面PAC．∵　BC 平面PBC，∴　平面PAC⊥平面PBC．
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
分析：要想作出线面所成角，需要具备哪些元素？
取PC中点D，连接AD，DM
平面PAC⊥平面PBC　
（2）解：设AC=BC=PA=2a，取PC中点D，连接AD，DM．∵　PA=AC，D为PC中点，∴　AD⊥PC．由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，∴　AD⊥平面PBC．故 ∠AMD是AM与平面PBC所成的角．
∵　PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，∴　PA⊥AC．∵　AC=PA=2a，∴　AD= a．∵　点D，M分别是PC，PB的中点，∴　DM是△PBC的中位线．∴　DM= BC=a.
∵　AD⊥平面PBC ，MD 平面PBC，∴　AD⊥MD．∴△ADM为直角三角形．∴　tan∠AMD= 　 ．故　AM与平面PBC所成角的正切值为　．
本题考查了证明面面垂直以及求解线面所成角的问题．这样的题目虽然很综合，但我们在思考中，还是要回归本源，回归到定义，定理以及性质上，再结合题目的已知条件，“顺藤摸瓜”，明确题目的解题思路，准确、快速解决问题．
本节课我们学习了如何解决空间直线、平面垂直关系问题，请大家思考以下几个问题： （1）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，运用了哪些知识？ （2）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，怎样寻找并确定解题思路？
（3）在本节课中，通过我们对空间垂直关系问题的分析，目的是要培养同学们逻辑推理以及直观想象核心素养．你能谈谈你的收获吗？
在解决空间直线、平面垂直关系问题中，我们运用了异面直线所成角、线面所成角、二面角、以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，更多的是运用这些定理之间的密切联系，结合题目中的已知条件，去寻找解题的思路和方法．切不可“盲目”，也不可“埋头苦做”，更不要轻言放弃．
　　相信同学们通过这节课的学习，会对空间中直线、平面的垂直问题有新的体会与认识，在今后的学习过程中，通过不断地实践和总结，可以使得空间中的垂直问题迎刃而解．
1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（ ）．（A）α∥β，l∥α（B）α与β相交，且交线平行于l（C）α⊥β，l⊥β （D）α与β相交，且交线垂直于l