上海市青浦区2019届高三上学期期末学业质量调研(一模)数学试题（解析版）

这是一份上海市青浦区2019届高三上学期期末学业质量调研(一模)数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2019年上海市青浦区高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. “n=4”是“（x+）n的二项展开式中存在常数项”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：∵二项式（x+）n的通项为Tr+1=Cnrxr（）n-r=Cnrx2r-n（0≤r≤n），
∴（x+）n的二项展开式中存在常数项⇔n=2r⇔n为正偶数，
∵n=4⇒n为正偶数，
n为正偶数推不出n=4，
∴n=4是（x+）n的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
故选：A．
二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．

2. 长轴长为8，以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0），
长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b==．
所以所求的椭圆的方程为：．
故选：D．
求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

3. 对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（　　）
A. 若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B. 若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C. 若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D. 若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
【答案】C
【解析】解：若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；
若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；
若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．
故选：C．
由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；
由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．

4. 记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f（x）=[]，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）的值为（　　）
A. 899 B. 900 C. 901 D. 902
【答案】C
【解析】解：令g（x）=[]，h（x）=，
则g（1）=g（2）=g（3）=g（4）=g（5）=0，
g（6）=g（7）=1，g（8）=g（9）=2，
g（10）=3，g（11）=g（12）=4，
g（13）=5，g（14）=6，g（15）=7
g（16）=8，g（17）=9，g（18）=10
g（19）=12，g（20）=13，g（21）=14
g（22）=16，g（23）=17，g（24）=19
g（25）=20，g（26）=22，g（27）=24
g（28）=26，g（29）=28，g（30）=30
h（1）=5，h（2）=7，h（3）=9，h（4）=10，
h（5）=12，h（6）=13，h（7）=14，h（8）=15，
h（9）=16，h（10）=17，h（11）=h（12）=18，
h（13）=19，h（14）=20，h（15）=h（16）=21，
h（17）=22，h（18）=h（19）=23
h（20）=24，h（21）=h（22）=25，
h（23）=h（24）=26，h（25）=h（26）=27，
h（27）=h（28）=28，
h（29）=29，
h（30）=30，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）=901，
故选：C．
令g（x）=[]，h（x）=，分别求出x=1，2，3，…，30时，两个函数的值，相加可得答案．
本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合A={-1，0，1，2}，B=（-∞，0），则A∩B=______．
【答案】{-1}
【解析】解：A∩B={-1}．
故答案为：{-1}．
直接利用交集运算得答案．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

6. 写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题______．
【答案】“若a＜b，则am2＜bm2”
【解析】解：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，
故答案为：“若a＜b，则am2＜bm2”．
直接写出逆命题即可．
本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．

7. 不等式2＜（）3（x-1）的解集为______．
【答案】（-2，3）
【解析】解：原不等式可化为：2＜23-3x，
根据指数函数y=2x的增函数性质得：
x2-4x-3＜3-3x，
解得：-2＜x＜3，
故答案为：（-2，3）．
两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得．
本题考查了指数不等式的解法，属基础题．

8. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为______．
【答案】
【解析】解：∵平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），
∴tanθ==，∴tan（π+θ）=tanθ=，
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式，求得tan（π+θ）的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．

9. 已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为______．
【答案】12π
【解析】解：∵直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，
∴△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为：
V=
=
=12π．
故答案为：12π．
△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，由此能求出其体积．
本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法，考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

10. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||=______．





【答案】
【解析】解：由表格可知，z1=i，z2=2-i，
则，
∴||=|-1-2i|=．
故答案为：．
由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．

11. 已知无穷等比数列{an}的各项和为4，则首项a1的取值范围是______．
【答案】（0，4）∪（4，8）
【解析】解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0
a1=4（1-q）
∴0＜a1＜8且a1≠4
 故答案为：（0，4）∪（4，8）
由无穷等比数列{an}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．
本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．

12. 设函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω=______．
【答案】
【解析】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移单位后，
所得函数图象对应的函数解析式为y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）．
再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，
结合ω的范围，可得ω=，
故答案为．
先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=sin（ωx-ω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω 的值．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．

13. 2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有______种．
【答案】80
【解析】解：利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，故有C95-C43=80，
故答案为：80．
利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，即可求出．
本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题

14. 设等差数列{an}满足a1=1，an＞0，其前n顶和为Sn，若数列{}也为等差数列，则=______．
【答案】
【解析】解：设等差数列{an}满足a1=1，an＞0，an=1+（n-1）d，Sn=，其前n顶和为Sn，
=1则，=，，
数列{}也为等差数列，可得，
可得d=2，所以an=2n-1，Sn=n2，
===．
故答案为：．
求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限．
本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．

15. 已函数f（x）+2=，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．
【答案】（0，]
【解析】解：由当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当-1＜x≤0，可得0＜≤1，
可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为f（x）=，
由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），
可将函数f（x）在x∈（-1，1]上的大致图象呈现如图：
根据y=t（x+1）的几何意义，
x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，
当直线经过点（1，1），可得t=，
因此直线的斜率t的取值范围是（0，]．
故答案为：（0，]．
由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．

16. 已知平面向量、、满足||=1，||=||=2，且=0，则当0≤λ≤1时，|-λ-（1-λ）|的取值范围是______．
【答案】[]
【解析】解：设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，
∵|||-|||≤|-|≤||+||，∴|||-1|≤|-|≤||+1，
∵||2=|+（1-λ）|2=λ2||2+（1-λ）2||2+2λ（1-λ）•
=4λ2+4（1-λ）2=8λ2-8λ+4=8（λ-）2+2
又0≤λ≤1，∴2≤||2≤4，∴≤||≤2，
∴-1≤|-|≤3，即-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．
故答案为：[-1，3]．
设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，得|||-1|≤|-|≤||+1，由||2=8（λ-）2+2和0≤λ≤1，得≤||≤2，得-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．
本题主要考查向量模的求解，换元法与模的求解方法结合是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
17. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为3，A1D=5．
（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．






【答案】解：（1）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥AD，故，
∴正四棱柱的侧面积为（4×3）×4=48，体积为V=（32）×4=36；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：
D（0，0，0），B（3，3，0），A1 （3，0，4），E（，0，2），
，，
设 与所成角为α，直线BE与平面ABCD所成角为θ，
则cosα=，
又 是平面ABCD的一个法向量，故sinθ=cosα=，则．
∴直线BE与平面ABCD所成的角为．
【解析】（1）直接由棱柱的表面积与体积公式求解；
（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．
本题考查棱柱体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．

18. 如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB=θ，记tanθ=t．
（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？
（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？


【答案】解：（1）设BP=t，CP=1-t（0≤t≤1），
所以∠DAQ=45°-θ，DQ=Atan（45°-θ）=，
则：CQ=1-．
所以：PQ==，
故：l=CP+CQ+PQ=1-t+=1-t+1+t=2．
所以△CPQ的周长为定值2．
（2）S=S正方形-S△ABP-S△ADQ，
=1--=2-．
当且仅当t=时，摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2-hm2．
【解析】（1）直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．
（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

19. 对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）=kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．
（1）若函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（2）证明：函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．
【答案】解：（1）函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，
可得|3x+-3x|≤1在[4，+∞）上恒成立，即|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，
可得|m|≤4，即-4≤m≤4；
（2）证明：|f（x）-g（x）|=|2-2x|，
由x≥2时，由x2-（x2-1）=1＞0，即x＞，
可得|f（x）-g（x）|=2（x-）=，
由y=x，y=在x≥2递增，可得y=x+在x≥2递增，
即有x+≥2+，
则＜=2（2-）＜1，
即为|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，
故函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．
【解析】（1）由题意可得|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围；
（2）由弱渐近函数的定义，只要证得|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，结合函数的单调性即可得证．
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

20. （1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y=±x．求双曲线的标准方程；
（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1•x2为常数；
（3）我们知道函数y=的图象是由双曲线x2-y2=2的图象逆时针旋转45°得到的，函数y=的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y=的性质（不必证明）．
【答案】解：（1）设双曲线的方程为，由2a=4，a=2，
由双曲线的渐近线方程为y=±x，则=，则b=2，
∴双曲线的方程为：；
（2）法一：由题不妨设，，则，
则P在双曲线上，代入双曲线方程得x1•x2=4；
法二：当直线AB的斜率不存在时，显然x=±2，则x1•x2=4；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，（k≠0，k≠±），
则，则，
同理，则，
此时，，代入双曲线方程得
t2=4（k2-3），则x1•x2═=4；
（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，，
②顶点坐标为，，焦点坐标：，，
实轴长：，虚轴长：2b=2，焦距：2c=4；
③范围：x≠0，，
④渐近线：．
【解析】（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；
（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；
方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；
（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．
本题考查双曲线的方程及性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．

21. 若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{an}满足an+1=，则称数列{an}为“Γ数列．已知数列{bn}为“Γ数列”．
（1）若数列{bn}中，b1=1，k=3、d=4、c=0，试求b2019的值；
（2）若数列{bn}中，b1=2，k=4、d=2、c=1，记数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）若{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
【答案】解：（1）数列{bn}为“Γ数列”中，b1=1，k=3、d=4、c=0，
所以：当n≥1时，n∈N+时，b3n+1=0，
又，
即：b2017=0，
b2018=b2017+d=0+4=4，
b2019=b2018+d=4+4=8．
（2）因为数列{bn}是“Γ数列”，且b1=2，k=4，d=2，c=1，
所以：b4n+1-b4n-3=1×（b4n-1+d）-b4n-3=（b4n-2+2d）-b4n-3=（b4n-3+3d）-b4n-3=3d=6，
则：数列前4n项中的项b4n-3是以2为首项，6为公差的等差数列．
易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．
所以：S4n=（b1+b5+…+b4n-3）+[（b2+b3+b4）+（b6+b7+b8）
+…+（b4n-6+b4n-5+b4n-4）+（b4n-2+b4n-1+b4n）]，
=，
=12n2+8n．
由于不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，
所以：，
设=，
则：λ≥（∁n）max，
所以：cn+1-∁n==．
当n=1时，-24n2+8n+20＞0，
当n≥2时，-24n2+8n+20＜0，
所以：c1＜c2＞c3＞…，
所以∁n的最大值为．
即．
（3）{bn}为等比数列，设数列{bn}的公比，
由等比数列的通项公式：，
当m∈N+时，bkm+2-bkm+1=d，
即：bqkm+1-bqkm=bqkm（q-1）=d，
①q=1，则d=0，
故：bn=b．
②当q≠1时，
则：，
所以qkm为常数，则q=-1，k为偶数时，d=-2b，
经检验，满足条件数列{bn}的通项公式为：．
【解析】（1）直接利用信息求出数列的项．
（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．
（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．