初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试练习题，共12页。试卷主要包含了已知则 A，有下列式子，已知，则式子的值为A，因式分解，若实数满足,则的值为等内容，欢迎下载使用。

选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列分解因式正确的个数是( ) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.如果一个三角形的三边a、b、c满足那么这个三角形一定是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形
3.已知则( ) A. B. C. D.
4.有下列式子： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤.
其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
5.如果单项式与的和仍是单项式，则的值等于( )
A. 9B. 10C. 11 D. 12
6.已知，则式子的值为( )A. B. C. D.
7.因式分解：结果为( )
A. B.
C. D.
8.若实数满足,则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为( )A. B. C. D.
用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为,阴影部分的面积为,若, 则满足( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.若则的值为 ．
12.已知则代数式的值为 ．
已知(2x−21)可分解因式为，其中均为整数，则的值为______．
14已知均大于零，且，则的最小值是______ ．
15.若为任意实数，且，则的大小关系是________．
三、计算题（本大题共2道题，满分20分）
16.利用简便方法计算：
(1);
(2)
17.因式分解：
(1); (2); (3); (4)
四．证明题：（本大题共2道题，满分20分）
18.已知在中，三边长，满足等式.求证：a+c=2b．
已知是正整数，求证：是的倍数.
五．解答题（本大题满分12分）
，反过来可写成
，于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式.通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图 ①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．
示例：因式分解：解：由图可知，
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
(1) (2)
六．应用题（本大题满分12分）
21.如图 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是由边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪
开后，拼成一个长方形如图 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
(1)探究：上述操作能验证的等式的序号是______．
= 1 \∗ GB3 \∗ MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
(2)应用：利用你从(1)中选出的等式，完成下列各题：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已知 , 求的值；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②计算
七.(本大题满分12分)
22.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是,求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为,则,
即,
解得故另一个因式为, 的值为仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x−5，求另一个因式以及k的值．
八．(本题满分14分）
23.【阅读材料】
因式分解：.
解将“”看成整体，令,则原式.
再将“”还原，原式.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：
(2)因式分解：;
(3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
第十四章 整式的乘法与因式分解基础练习参考答案
一．选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列分解因式正确的个数是( ) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
解：提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确.此外，提取的公因式有“−”号时，要注意括号内各项要变号． ①3x2−6xy+x=x(3x−6y+1); ②−5x+5xy=−5x(1−y); ③正确;
④6a3b3+4a2b2+2ab=2ab(3a2b2+2ab+1)．
2.如果一个三角形的三边a、b、c满足那么这个三角形一定是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形
【答案】B
解：∵ab+bc=b²+ac，∴ab+bc−b2−ac=0，
(ab−ac)−(b2−bc)=0，a(b−c)−b(b−c)=0，∴(b−c)(a−b)=0，
∴b−c=0或a−b=0，∴这个三角形一定是等腰三角形；故选B．
3.已知则( ) A. B. C. D.
【答案】A
4.有下列式子： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤.
其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
5.如果单项式与的和仍是单项式，则的值等于( )
A. 9B. 10C. 11 D. 12
【答案】A
6.已知，则式子的值为( )A. B. C. D.
【答案】A
7.因式分解：结果为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
8.若实数满足,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：因为x2−2x−1=0，所以x2−2x=1，
所以2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017=6x−3x2−2017=−3(x2−2x)−2017=−2020，故选D．
9.已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为( )A. B. C. D.
【答案】C
解：(ax+b)(2x2+2x+3)=2ax3+2ax2+3ax+2bx2+2bx+3b
=2ax3+(2a+2b)x2+(3a+2b)x+3b，
∵乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，
∴3a+2b=0且3b=9，则a=−2，b=3，∴ab=(−2)3=−8，故选C.
10.用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为,阴影部分的面积为,若, 则满足( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：由题图可知S1=b(a+b)×2+ab×2+(a−b)2=a2+2b2，
S2=(a +b)2−S1=(a+b)2−(a2+2b2)=2ab−b2，
∵S1=2S2，∴a2+2b2=2(2ab− b2)，整理得(a−2b)2=0，
∴a−2b=0，∴a=2b．故选D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.若则的值为 ．
【答案】
解：∵a+b=4，a−b=1，∴(a+1)2−(b−1)2=(a+1+b−1)(a+1−b+1)
=(a+b)(a−b+2)=4×(1+2)=12．
12.已知则代数式的值为 ．
【答案】
解：∵x+y=0.2 ①，x+3y=1 ②，
∴ ①+ ②得2x+4y=1.2，即x+2y=0.6．又∵x2+4xy+4y2=(x+2y)2，
∴原式=(0.6)2=0.36．
13.已知(2x−21)可分解因式为，其中均为整数，则的值为______．
【答案】－31
解：(2x−21)(3x−7)−(3x−7)(x−13) =(3x−7)(2x−21−x+13) =(3x−7)(x−8)，
∵(2x−21)(3x−7)−(3x−7)(x−13)可分解因式为(3x+a)(x+b)，
∴(3x−7)(x−8)=(3x+a)(x+b)，则a=−7，b=−8，
故a+3b=−7+3×(−8) =−31．故答案为：−31．
14已知均大于零，且，则的最小值是______ ．
【答案】5
解：(a+b+c)2−b2−c2+2bc=25，
(a+b+c)2=(b−c)2+25，
∵(b−c)2≥0，∴(b−c)2+25≥25，
∵(a+b+c)2≥25.且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥5，
既a+b+c的最小值是5．故答案为：5．
15.若为任意实数，且，则的大小关系是________．
【答案】m≥n
解：∵m=x2+y2，n=2xy，∴m−n=x2+y2−2xy=(x−y)2，
∵(x−y)2≥0，∴m≥n．故答案为m≥n．
三、计算题（本大题共2道题，满分20分）
16.利用简便方法计算：
(1);
(2)
解：(1)原式=202.2×(3.2+4.7+2.1)=202.2×10=2022;
(2)原式=×(36.8+20.2−2)=×55=13．
17.因式分解：
(1); (2); (3); (4)
【答案】(1)
(2);
(3)原式=−2y(x2−8x+16)= −2y(x−4)2；
(4)原式=a2(x−1)−b2(x−1)=(x−1)(a2−b2)=(x−1)(a+b)(a−b)．
四．证明题：（本大题共2道题，满分20分）
18.已知在中，三边长，满足等式.求证：a+c=2b．
解：由a2−16b2−c2+6ab+10bc=0，
得a2+6ab+9b2−25b2+10bc−c2=0．
∴(a+3b)2−(5b−c)2=0．
∴(a+3b+5b−c)(a+3b−5b+c)=0，
即(a+8b−c)(a−2b+c)=0．
∵△ABC中三边长a、b、c满足a+b>c，且a>0，b>0，c>0，
∴a+8b−c>0．故a−2b+c=0，∴a+c=2b．
19.已知是正整数，求证：是的倍数.
证明：，是正整数，也是正整数，是的倍数.
五、解答题（本大题满分12分）
20.，反过来可写成，于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式.通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图 ①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．
示例：因式分解：解：由图可知，
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
(1) (2)
解：(1)由图可知，2x2+7x+6=(x+2)(2x+3)．
第20题图
由图可知，6x2－7xy－3y2=(2x−3y)(3x+y)．
六．应用题（本大题满分12分）
21.如图 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是由边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形如图 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
(1)探究：上述操作能验证的等式的序号是______．
= 1 \∗ GB3 \∗ MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
(2)应用：利用你从(1)中选出的等式，完成下列各题：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已知 , 求的值；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②计算
【答案】 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
解：(1)图①的面积可表示为a2−b2，
图②的面积可表示为(a+b)(a−b)，
∵图①的面积=图②的面积，∴上述操作能验证的等式是：a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为③；
(2)①∵4x2−9y2=12，∴(2x+3y)(2x−3y)=12，
∵2x+3y=4，∴2x−3y=12÷4=3；
= 2 \∗ GB3 \∗ MERGEFORMAT ②.
七.(本大题满分12分)
22.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是,求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为,则,
即,
解得故另一个因式为, 的值为仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x−5，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为x+a，则2x2+3x−k=(2x−5)(x+a)，
即2x2+3x−k=2x2+(2a−5)x−5a，
∴2a−5=3,−5a=−k,解得a=4,k=20.
故另一个因式为x+4，k的值为20．
八．(本题满分14分）
23.【阅读材料】
因式分解：.
解将“”看成整体，令,则原式.
再将“”还原，原式.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：
(2)因式分解：;
(3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
解：(1)原式=(1+x−y)(1+4x−4y)．
(2)原式=(a+b−2)2．(3)证明：原式=(n2+3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某个整数的平方．