山东省临沂市郯城县美澳学校2021届高三11月数学模拟考试（二）练习题

这是一份山东省临沂市郯城县美澳学校2021届高三11月数学模拟考试（二）练习题，共25页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年11月2日
第I卷（选择题)
一、单选题（本题共8道小题，每题5分，共计40分）
1．数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（ ）.
A．B．
C．D．
2．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是（ ）
A．(0，8]B．(0，10]
C．(0，12]D．(0，16]
3．若,且，则的值为( ）
A．B．C．D．
4．已知，则( )
A．B．C．D．
5．已知函数的图像相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数的图像（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
6．设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）．
A．函数的最小正周期是
B．图象关于点对称
C．图象向右平移个单位后关于原点对称
D．函数的区间上是增函数
7．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图像是（ ）
A．B．C．D．
8．已知在△中，，，则△的面积的最大值为（）
A．B．2C．D．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。9．（多选）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
11．下列命题中的真命题是（ ）
A．，使得
B．，，都有
C．命题“，”的否定是“，”
D．“”是“实系数一元二次方程无实根”的充分不必要条件
12．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题)
三、填空题（本题共4道小题，每题5分，共计20分）
13．中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________．
14．已知等比数列前项和为，，，则______.
15．在中，，，若满足条件的有且仅有一个，则实数的取值范围是______.
16．若函数f(x)=lnxx，则f'(2)= ．
四、解答题
17（10分）．（1）计算lg3；
（2）已知x的值．
18．已知函数在点处的切线方程是．
（1）求实数 的值；
（2）求函数在 上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.
19．设函数.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，且，求锐角的周长的取值范围.
20． A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A，B两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？
21．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
22．已知函数，其中e是自然对数的底数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．
参考答案
1．B
2．D
∵、为正实数，，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴，要使恒成立，
∵为正实数，
∴ .
故选：D.
3．A
【解析】
由题意，根据诱导公式得，
又因为，所以，所以
所以，故选A．
4．B
【解析】
【分析】
令，求出，则.
【详解】
令，则，，
可化为，
即，，，
所以，则，
故选B．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
由已知条件，先求出，进而得出的解析式，最后根据三角函数对称中心的特点，代数验证，即可得出答案.
【详解】
因为的图像相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期，则，解得，
所以.
而，即函数的图像关于点对称.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像和性质，涉及到最小正周期公式和对称中心、对称轴的特点.
6．B
【解析】
项，的最小正周期，故项错误；项．，所以的图象关于点对称对称，故项正确；项．向右平移个单位后得到的图象，不关于原点对称，故项错误；项，时，，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，故错误；综上，故选.
点睛：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性， 的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数的增区间满足等.
7．A
【解析】
试题分析：是奇函数，
．又在上是减函数，．排除．的图像是由图像左移两个单位得到，故选．
考点：函数的图象及其性质．
8．C
【解析】
【分析】
设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求，从而可得△面积的最大值．
【详解】
解：依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即
∴
∴
∴
∵
∴
当时，即， 、、能组成三角形．
∴
∴
故选 ．
【点睛】
本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得是关键，也是难点，属于难题．
9．CD
【解析】
【分析】
由弧度与角度不能混用,排除,把化成角度数,变成,说明正确,把变成,说明正确.
【详解】
弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误;
因为,所以正确;
因为,所以正确.
故选.
【点睛】
本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题,注意:在同一个表达式中,弧度与角度不能混用.
10．BD
【解析】
【分析】
由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.
【详解】
由得，所以是以为首项，2为公比的
等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；
因为，，所以
，故，
故C错误；因为，所以的前项和，
故D正确.
故选：BD
【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
11．ABC
【解析】
【分析】
对于A，特称命题要为真命题，只要有1个满足即可；
对于B，作差比较大小即可；
对于C，命题的否定是改量词，否结论；
对于D，方程无实根的充要条件为，即，由此可判命题的真假.
【详解】
A，取，得出，使得，故A正确；
B，因为，所以，，都有，故B正确；
C，命题“，”的否定是“，，故C正确；
D，实系数一元二次方程无实根的充要条件是，即，
所以“”是“实系数一元二次方程无实根”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
此题考查了特称命题的真假判断、命题的否定、充分条件必要条件的判断等知识，综合性强，但难度不大，属于基础题.
12．ACD
【解析】
【分析】
由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.
【详解】
由题意得： ，解得：或
或或
故选：
【点睛】
本题考查根据三角函数值求角的问题，涉及到复数实部和虚部的概念、二倍角公式的应用等知识；关键是能够通过实部和虚部互为相反数构造出关于的方程.
13．
【解析】
【分析】
由得，再三点共线得，进而利用基本不等式分别求得，的最大值和最小值.
【详解】
如图所示，
由得，
所以，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最大值为.
因为，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】
本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立.
14．11
【解析】
【分析】
当时，求得与矛盾，得到，再利用，得到，化简，并借助，即可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，
当时，与矛盾，所以，
，，
即，解得，





故答案为：11.
【点睛】
本题考查的是有关等比数列的问题，求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
将三角函数式变形,结合正弦定理即可求得角B.根据满足条件的有且仅有一个即可求得的取值范围.
【详解】
因为,化简可得
根据正弦定理可知,
所以
由余弦的差角公式,展开可得
即,即
因为
所以
若满足条件的有且仅有一个
则或
代入可得或
所以实数的取值范围为
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数式恒等变形,正弦定理及判断三角形个数,三角形仅有一个的成立条件,属于中档题.
16．1-ln24
【解析】
试题分析：由f'(x)=1-lnxx2，得f'(2)=1-ln24.
考点：考查导数的运算
17．（1）．（2）–4．
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算法则化简求解即可．
（2）通过对数方程求出x，y的关系，化简所求表达式求解即可．
【详解】
（1）lg3
=+lg100+1+2=
（2）∵x＞0，y＞0，x﹣2y＞0∴
∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），
∴xy=（x﹣2y）2，
∴，
∴
==﹣4
【点睛】
本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．
18．（1），；（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．
【详解】
（1）因为，，
则，，
函数在点处的切线方程为：，
由题意得，即，.
（2）由（1）得，函数的定义域为，
∵，∴，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为．
又，，且．
∴在上的最大值为.
综上，在上的最大值为，最小值为
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．
（Ⅱ）在锐角中，利用正弦定理求得的周长的解析式，再利用三角恒等变换化简为，利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围．
【详解】
解：（Ⅰ）
.
当时，，，
，即的值域为.
（Ⅱ）由，得，由，
得，得，得.
故
.
由，得，
得，得，
得，得.
锐角的周长的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．
20．(1) [10,90]．(2) y＝x2－500x＋25 000(10≤x≤90)（3）
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件建立不等式求解；(2)借助题设条件建立等式即可；(3)运用二次函数的知识求解.
试题解析：
（1）的取值范围是；
（2）；
（3），所以当时，，故核电站建在距A城km处，能使供电总费用y最少.
考点：二次函数的图象和性质及有关知识的综合运用．
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
22．（1）增区间是，减区间是.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分别令，解出不等式，即可得到函数的单调区间；
（2）由 得方程 ，显然 为此方程的一个实数解.当时, 方程可化简为，设函数利用导数得到 的最小值, 因为，再对讨论，得到函数的零点个数.
【详解】
解：（1）因为，所以.
由得；由得.
所以由的增区间是，减区间是.
（2）因为.
由，得或.
设，又即不是的零点，
故只需再讨论函数零点的个数.
因为，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以当时，取得最小值.
①当即时，无零点；
②当即时， 有唯一零点；
③当，即时，因为，
所以在上有且只有一个零点.
令则.
设，
所以在上单调递增，
所以，都有.
所以.
所以在上有且只有一个零点.
所以当时，有两个零点
综上所述，当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有三个零点.
【点睛】
本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.