四川省眉山市2020届高三第一次诊断性考试数学（理）试卷

这是一份四川省眉山市2020届高三第一次诊断性考试数学（理）试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】B3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B5．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C7．如图，已知中，为的中点，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C8．圆上到直线的距离为的点共有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C10．关于函数有下述四个结论：①若，则；②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称.其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②④ B．①② C．③④ D．②④【答案】D11．四面体的四个顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B12．已知直线与曲线相切，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C二、填空题13．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）.若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.【答案】14．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为______.【答案】15．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．【答案】16．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.【答案】 三、解答题17．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意有,当时，，所以,当时，，，两式相减得，整理得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,所以数列的通项公式．（2）由，所以，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,所以．18．在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，根据正弦定理有：.所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.（2）由，，根据正弦定理有：，所以，.所以.当时，等号成立.所以的最大值为.另解：（2）由，，根据余弦定理有：，即.因为，所以.即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：2774182 表中，．（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）；（2），.【详解】（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．，所以，故关于的线性回归方程为．（2）由（1）可得，于是产卵数关于温度的回归方程为,当时，；当时，；因为函数为增函数，所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）.（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）求二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）【详解】（1）因为，为线段的中点.所以.因为底面，平面，所以，又因为底面为正方形，所以，，所以平面，因为平面，所以.因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，则，，，（其中）.易知平面的一个法向量.设平面的法向量，由即令，则是平面的一个法向量.，由，所以，所以.故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是.21．已知函数．（1）若为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数仅一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）或【详解】解析：（1）由（），得，因为为单调函数，所以当时，或恒成立，由于，于是只需或对于恒成立，令，则，当时，，所以为增函数，则．又当时，，则不可能恒成立，即不可能为单调减函数．当，即时，恒成立，此时函数为单调递增函数．（2）因为，所以是的一个零点．由（1）知，当时，为的增函数，此时关于x的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．当时，由得，（ⅰ）当时，，则，令，易知为的增函数，且，所以当时，，即，为减函数，当时，，即，为增函数，所以，在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点．所以满足条件．（ⅱ）当时，由于在为增函数，则，当时，．则存在，使得，即使得，当时，，当时，，所以，且当时，．于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去．（ⅲ）当时，则在为增函数，又，，所以存在，使得，也就使得，当时，，当时，，所以，且当时，．于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．综上，a的取值范围为或．22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2），是曲线上两点，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,将，代入，得,即,所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知,设点的极坐标为，因为，则点的极坐标为,所以．23．已知正实数，满足．（1）求最大值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．【答案】（1）4；（2）.【详解】（1）因为，当且仅当时取等号．所以最大值为4．（2）因为，当且仅当，即，取等号，所以的最小值为3,又,所以,所以不等式对任意恒成立，只需,所以,解得,即实数的取值范围是.