昌平区2019-2020高三期末数学试题

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷

  （满分150分，考试时间 120分钟）2020.1

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则集合

（A）         （B）        （C）      （D）

（2）在复平面内，复数对应的点位于

（A）第一象限       （B）第二象限      （C）第三象限      （D）第四象限

（3）已知命题：，，那么命题为

（A），            （B），

（C），            （D），

（4）设，且，则

（A）         （B）       （C）       （D）

（5）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则

  （A）          （B）      （C）           （D）

（6）已知向量若与共线，则实数

（A）               （B）           （C）           （D）

（7）已知双曲线的离心率为，则

（A）               （B）           （C）           （D）

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）

（B）

（C）  

（D）

（9）设为非零向量，则“，”是“”的

 （A）充分而不必要条件                 （B）必要而不充分条件

 （C）充分必要条件                     （D）既不充分也不必要条件

（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则

（A）最少需要16次调动，有2种可行方案

（B）最少需要15次调动，有1种可行方案

（C）最少需要16次调动，有1种可行方案

（D）最少需要15次调动，有2种可行方案

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）在的展开式中，的系数为      ．（用数字作答）

（12）各项均为正数的等比数列中, ,则_______ .

(13) 抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=_____；点的坐标为______ . 

（14）在中, ,则_______．

（15）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有

　　　155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.

（16）已知函数.

①的最大值为________ ；

　　　②设当时，取得最大值，则______．

 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（17）（本小题13分）

已知等差数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若，求的最小值.

(18)（本小题13分）

为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：

（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？

（II）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.

①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；

②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.

（19）（本小题14分）

已知函数其中.

（Ⅰ）若函数的最小正周期为，求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.

（20）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.

（21）（本小题13分）    

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为．

（Ⅰ）求椭圆C及圆O的标准方程；

（Ⅱ）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆

C交于两点．记 的面积为，证明：．

（22）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为２的切线方程；

（II）证明：； 

（III）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有．

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测

            数学试卷参考答案及评分标准     2020.1

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

   （9）             （10）   　　　　　　　　（11）；       

  （12） 　　　　　　（13）        　　　　 （14）；

（第一空３分，第二空２分）

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.依题意有

        解得                           ................................2分

        所以.                             ................................6分

（Ⅱ）因为，                       ................................7分

      所以.

...................................9分

      因为，即，                 .................................10分

      所以.                                      .................................12分

      所以的最小值为                             .................................13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设高一年级有人，高二年级有人.

采用分层抽样，有.

所以高一年级有人，高二年级有人.            .................................4分

   （II）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.

         故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.

...............................7分

（III）的所有可能取值为.                           ...............................8分

      ,,.

所以的分布列为

      故的期望.          .............................13分

 (17)（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为

.                          ............................5分

因为的最小正周期为，即，

所以.                                          ............................7分

（Ⅱ）因为，

         所以.                         ...........................10分

若在区间上取到最大值，只需，..........................12分

所以.                                         ............................14分

 (18)（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）在四棱锥中，

         因为平面平面，平面平面，

 又因为，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.                                     ............................5分

（Ⅱ）取中点，连接.

因为，

所以.

         因为平面平面，平面平面，

 因为平面，

所以平面.

所以.

因为，

所以.

所以四边形是平行四边形.

所以.

如图建立空间直角坐标系，则

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

因为平面的法向量，

所以

由图可知，二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.                ............................10分

（Ⅲ）法一：设是棱上一点，则存在使得.

      设，则

      所以

      所以

 所以.

所以.

因为

所以平面.

所以是平面的一个法向量.

若平面，则.

所以

因为方程组无解，

所以在棱上不存在点，使得平面.     ............................14分

法二：因为

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

因为平面平面，

若在棱上存在点，使得平面，

则平面.

因为平面，

所以平面.

所以在棱上不存在点，使得平面.     ............................14分

 (19)（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的方程为.

可得，解得

所以椭圆C的方程为．                      ............................4分

因为焦点在轴上，

所以椭圆C的焦点为．

所以直径为的圆O的方程为．            ............................6分

（Ⅱ）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，

设直线的斜截式方程为.           ............................7分

因为直线与圆相切，

所以点到直线的距离为.             

即.                                      ............................8分

因为直线与椭圆C相交于两点，

由，整理得，   ............................9分

设，则

.                                  ..........................10分

因为．

又，

所以.

所以.

又因为，

所以．                                     ............................11分

因为，

所以

．

设，则，则

.

令.

则.

设

因为在上单调递减，

所以.

所以.                                      ...........................13分

(20)（本小题满分13分）

解：（I）函数的定义域为.                           ............................1分

  　由得．            ............................2分

令，即，得，（舍）．............................3分

又，                                         ............................4分

所以曲线的斜率为２的切线方程为．  ............................5分

（II） 设，则

    .   

     令得，（舍）．                  ............................7分

     当时，；

     当时，.

     所以在上单调递增，在上单调递减.      ............................8分

      所以.

      所以.                                  ............................9分

（III）由（II）可知，

① 当时，，

所以不存在，当时，恒有；

所以不符合题意.                                ............................10分

②当时，对于，，

所以不存在，当时，恒有；

所以不符合题意.                                ............................11分

③当时，设.

因为，

令即.

因为，

解得.

又因为，

所以.

取.

当时，；

     所以在上单调递增.

     所以.

即.

所以符合题意.

所以实数的取值范围是.                      ............................13分