北师大版七年级下册4 用尺规作三角形课时作业

4.4《用尺规作三角形》习题1

一、选择题

1．已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是(    )

A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧

B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧

C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧

D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧

2．如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是( )

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA

3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是(    )

A．① B．② C．③ D．④

4． 下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是(　　)

A．作一个角等于已知角

B．作一个角的平分线

C．作一条线段的垂直平分线

D．过直线外一点P作已知直线的垂线

5．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是(    )

①        ②        ③

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是(　　　)

A． B．

C． D．

7．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：

(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；

(2)弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；

(3)弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；

(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；

其中正确说法的个数为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

8．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是(  )

A．已知两边及夹角          B．已知三边 

C．已知两角及夹边          D．已知两边及一边对角

二、解答题

1.已知：如图，，点是延长线上的一点，且.

求作：，使，且点与点在同侧.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)

2.已知：是的对角线．

(1)用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，若，求的周长．

3.如图所示，已知△ABC.

(1)用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线；

(要求：不写作法，但需要保留画图痕迹)

(2)设(1)中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明.

4.如图，已知△ABC≌△EBD，

(1)若BE=6，BD=4，求线段AD的长；

(2)若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．

5.如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．若的长为5，求的长．

6.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．

(1)DE=AB吗？请说明理由；

(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？

7.如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？

8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．

9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC外部，且AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D、E．

(1)求证：△BEC≌△CDA；

(2)若AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，求BE的长度．

10.明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形(AC=BC ∠ACB=90°)点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

答案

一、选择题

1．C．2．B．3．D．4．C．5．A．6．B．7．C．8．C.

二、解答题

1.解：如图，即为所求作的三角形．

(作法不唯一)

2.解：(1)如图，为所作；

(2)∵四边形为平行四边形，

∴，

∵点在线段的垂直平分线上，

∴，

∴的周长．

3.解：(1)

(2)BE=CF.       

连接PB和PC      

∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC

∴PE=PF.            

∵l2垂直平分BC边,

∴PC=PB.          

由HL证明△PFC≌△PEB

∴BE=CF.

4.(1)∵△ABC≌△EBD，

∴AB=BE=6,

∵AD=AB-BD，BD=4，

∴AD=6-4=2；

(2)∵△ABC≌△EBD，

∴∠A=∠E=30°，

∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，

∴∠ACE=30°+48°

=78°．

5.解：∵，且，，

∠BAC=∠BAE+∠CAF，

∴∠BAE=∠ACF，∠ABE=∠CAF．

在和中，

∴.

∴

∵，的长为5，

∴，，

∴．

6.(1)
解：由题意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴DE=AB．

(2)由(1)知AB =DE=8m．

7.

解:小军的作法有道理,理由如下:

过点B作BG∥AC交EF的延长线于点G,连接BE

∵ 点E、F分别是AC、BC的中点

∴ AE=CE, BF=CF

∵ BG∥AC

∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (两直线平行,内错角相等)

∵

∴ △ECF≌△GBF (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)

∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的对应边相等)

∵ EF=GF ,EF+GF=EG

∴ EG=2EF

∵ CE=BG, AE=CE

∴ AE=BG

∵ 在△AEB和△GBE中,

∴ △AEB≌△GBE (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)

∴ AB=GE (全等三角形的对应边相等)

∵ GE=2EF, AB=GE

∴ AB=2EF

故小军的做法是有道理的；

取直接能到达A，B两点的C点，延长BC，AC，使，，

连接DE，

在△ABC和△EDC中,

则，所以．

8.解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，

∵△PEC与△QFC全等，

∴斜边CP＝CQ，

有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，

CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，

∴6﹣t＝8﹣3t，

∴t＝1；

②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，

∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，

∴t＝3.5；

③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；

理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；

④当Q到A点(和A重合)，P在BC上时，

∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，

∴t﹣6＝6

∴t＝12

∵t＜14

∴t＝12符合题意

答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．

9.解：(1)证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠BEC＝∠D＝90°，

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBE＝∠ACD，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA；

(2)∵△BEC≌△CDA

∴AD＝CE＝1.7cm，

∴BE＝CD＝CE＋DE＝1.7＋2.5＝4.2cm．

10.解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，

∴DE=DC+CE=30(cm)，答：两堵木墙之间的距离为30cm．