【试卷】2021-2022学年上学期杭州市初中数学九年级期中典型试卷1

这是一份【试卷】2021-2022学年上学期杭州市初中数学九年级期中典型试卷1，共42页。试卷主要包含了，给出下列叙述等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期杭州市初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•拱墅区校级期中）已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019秋•杭州期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（　　）
A．大于4的点数 B．小于4的点数
C．大于5的点数 D．小于5的点数
3．（2020秋•余杭区期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（　　）

A．3 B． C．2.5 D．2
4．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（　　）

A．3 B． C． D．
5．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3，下列结论①∠AED＝∠ADC；②AC•BE＝12；③；④3BF＝4AC，其中结论正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020秋•杭州期中）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1，（　　）
A．若h＝4，则a＞0 B．若h＝5，则a＜0
C．若h＝6，则a＞0 D．若h＝7，则a＜0
7．（2020秋•余杭区期中）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），给出下列叙述：
①b2＞8a；
②a﹣b﹣2＜0；
③存在实数k，满足x＜k时，函数y的值都随x的值增大而增大；
④当a﹣b为整数时，ab的值为1；
其中正确的是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2020秋•余杭区期中）四张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
9．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（2020秋•杭州期中）如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）

A． B． C．1 D．2
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•杭州期中）已知，则＝　 　．
12．（2020秋•余杭区期中）二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是　 　，最小值是　 　．
13．（2020秋•拱墅区校级期中）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为　 　．
14．（2020秋•余杭区期中）已知抛物线y＝﹣5（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
15．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝　 　．

16．（2020秋•杭州期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为　 　．（结果用含a的代数式表示）

三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，AH⊥BC于H．
（1）若，求证：CH＝HO；
（2）若BC＝10，AC＝6；
①求AH的长；
②若DB∥OA，求DB的长．

18．（2020秋•杭州期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
19．（2020秋•余杭区期中）如图，一圆弧形钢梁
（1）请用直尺和圆规补全钢梁所在圆；
（2）若钢梁的拱高为8米，跨径为40米，求这钢梁圆弧的半径．

20．（2020秋•拱墅区校级期中）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．
（1）求S关于m的函数关系式；
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．

21．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若AB＝10，E是的中点，求EG•ED的值．

22．（2020秋•余杭区期中）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点Q，问：△BCQ的最大面积是多少？此时点Q的坐标是多少？
（3）若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标．

23．（2020秋•余杭区期中）九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示．若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），实心球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号）

24．（2020秋•拱墅区校级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年上学期杭州市初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•拱墅区校级期中）已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的性质即可得出结论．
【解答】解：A．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
B．由＝可得，3x＝7y，符合题意；
C．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
D．由＝可得，7x＝3y，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
2．（2019秋•杭州期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（　　）
A．大于4的点数 B．小于4的点数
C．大于5的点数 D．小于5的点数
【考点】可能性的大小．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】求出各个选项概率即可判断
【解答】解：A、P1＝＝；
B、P2＝＝；
C、P3＝；
D、P4＝＝．
骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．
故选：D．
【点评】本题考查可能性的大小，解题的关键是理解题意，掌握概率公式．
3．（2020秋•余杭区期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（　　）

A．3 B． C．2.5 D．2
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【分析】如图：延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝DN，所以当DN为直径时，PM的值最大．
【解答】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为．
故选：C．

【点评】本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
4．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（　　）

A．3 B． C． D．
【考点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝7，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：C．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
5．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3，下列结论①∠AED＝∠ADC；②AC•BE＝12；③；④3BF＝4AC，其中结论正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∠EAD＝∠DAC；③易证△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：3；②由△ADE∽△ACD和△BED∽△BDA得BE：BD＝DC：AC；④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC＝BD：DC＝4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．
【解答】解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴∠AED＝∠ADC．
故本选项正确；
②由①知∠AED＝∠ADC，
∴∠BED＝∠BDA，
又∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA＝BE：BD，由③知DE：DA＝DC：AC，
∴BE：BD＝DC：AC，
∴AC•BE＝BD•DC＝12．
故本选项正确；
③如图，作DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DN＝CD＝3，
∴BN＝＝，
∵∠BND＝∠ACB＝90°，∠BDN＝∠BAC，
∴△BDN∽△BAC，
∴，即＝，
∴AC＝3，
∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝＝，
故本选项错误；
④连接DM，
在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，
则DM＝MA．
∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC＝BD：DC＝4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC＝FM：MC＝4：3，
∴3BF＝4AC．
故本选项正确．
综上所述，①②④正确，共有3个．
故选：C．


【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意题目中相等线段的替换，此题综合性强，有一定难度．
6．（2020秋•杭州期中）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1，（　　）
A．若h＝4，则a＞0 B．若h＝5，则a＜0
C．若h＝6，则a＞0 D．若h＝7，则a＜0
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝﹣1，将h的值分别代入即可得出结果．
【解答】解：当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝﹣7，
整理得：a（9﹣2h）＝﹣1，
若h＝4，则a＝﹣1，故A错误；
若h＝5，则a＝1，故B错误；
若h＝6，则a＝，故C正确；
若h＝7，则a＝，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．（2020秋•余杭区期中）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），给出下列叙述：
①b2＞8a；
②a﹣b﹣2＜0；
③存在实数k，满足x＜k时，函数y的值都随x的值增大而增大；
④当a﹣b为整数时，ab的值为1；
其中正确的是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据题意可确定a的符号，根据抛物线的对称轴的位置可确定b的符号，进而确定与x轴的交点情况即可判断①；代入（﹣1，0）求得a+b﹣2＝0，进而求得b＝2﹣a＞0，得出0＜a＜2即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；根据a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定④．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），
∴抛物线的开口向上可得a＞0，抛物线与x轴有两个交点，a+b﹣2＝0，﹣＞0，
∴b＞0，b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4a×（﹣2）＞0，
∴b2＞﹣8a； 故①错误；
由a+b﹣2＝0，可知：b＝2﹣a，
∵b＞0，
∴0＜a＜2，
∴a﹣b﹣2＝a﹣（2﹣a）﹣2＝2a﹣4＜0，即a﹣b﹣2＜0，故②正确；
当x＜k≤﹣时，函数y的值都随x的增大而减小，当x＞≥k时，函数y的值都随x的值增大而增大；故③错误；
由a+b﹣2＝0，可知：b＝2﹣a，
∵b＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2＝﹣1，0，1，
故a＝，1，，
b＝，1，，
∴ab＝或1，故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
8．（2020秋•余杭区期中）四张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、矩形，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】轴对称图形；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】卡片共有四张，轴对称图形有圆、等腰三角形、矩形，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率．
【解答】解：∵四张完全相同的卡片中，轴对称图形有圆、等腰三角形、矩形，
∴恰好抽到轴对称图形的概率是；
故选：C．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
9．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】如图作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F．解直角三角形求出OH，利用全等三角形的性质证明OF＝OH，再利用三角形的中位线定理求出BC即可．
【解答】解：如图，作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F．

∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵＝，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，
∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴MA＝MD，
∵DM＝DB，
∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，
∵AB＝2，
∴x2+4x2＝20，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AM＝2，BM＝4，
∵•AM•BM＝•AB•MH，
∴MH＝，
∴OH＝，
∵，
∴OM⊥AC，
∴AF＝FC，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OF，
∵∠OHM＝∠OFA＝90°，∠AOF＝∠MOH，OA＝OM，
∴△OAF≌△OMH（AAS），
∴OF＝OH＝，
∴BC＝2OF＝．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦之间的关系，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020秋•杭州期中）如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）

A． B． C．1 D．2
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD•CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1•（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•杭州期中）已知，则＝　　．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
12．（2020秋•余杭区期中）二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是　35　，最小值是　3　．
【考点】二次函数的最值．菁优网版权所有
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
∵a＝2＞0，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在﹣3≤x≤4内，x＝1时，y有最小值，x＝﹣3时y有最大值，分别是y＝2﹣4+5＝3和y＝2×9﹣4×（﹣3）+5＝35．
故答案为：35，3．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
13．（2020秋•拱墅区校级期中）当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为　4　．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】直接把x的值代入进而求出答案．
【解答】解：当x＝0时，函数y＝2x2+4＝0+4＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确代入x的值是解题关键．
14．（2020秋•余杭区期中）已知抛物线y＝﹣5（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　m≥﹣1　．
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣5（x+m）2﹣3，
∴对称轴为x＝﹣m，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴﹣m≤1，解得m≥﹣1，
故答案为：m≥﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键．
15．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝　1.5　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，求出DF，再求出EF即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵，DE＝2，
∴＝，
解得：DF＝3.5，
∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
16．（2020秋•杭州期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为　a或a　．（结果用含a的代数式表示）

【考点】列代数式；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；图形的相似；应用意识．
【分析】分两种情形：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．利用全等三角形的性质证明PA＝PT，PB＝PT，推出PA＝PB即可解决问题．②当∠PDC＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．

∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，
∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，
∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，
∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），
∴PA＝PT，PB＝PT，
∴PA＝PB＝AB＝a，
②当∠PDC＝90°时，∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，

∴∠APD＝∠DPC＝∠CPB＝60°，
设AP＝x，则PD＝2x．PC＝4x，PB＝2x，
∴3x＝a，
∴x＝a．
∴PA＝a
故答案为a或a．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，AH⊥BC于H．
（1）若，求证：CH＝HO；
（2）若BC＝10，AC＝6；
①求AH的长；
②若DB∥OA，求DB的长．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）易求得△AOC是等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）①根据圆周角定理和勾股定理即可求得AB，然后根据三角形面积公式即可求得AH；
②连接CD，因为DB∥AO，则∠AOC＝∠DBC，因此△AHO相似于△CDB，从而求出CD，再求出DB．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠AOB＝2∠AOC，
∴∠AOC＝×180°＝60°，
∵AO＝CO，
∴△AOC是等边三角形，
∵AH⊥BC于H，
∴CH＝HO；
（2）解：①∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AB＝＝＝8，
∵BC•AH＝AB•AC，
∴AH＝＝＝4.8；
②连接CD交OA于E，则∠BDC＝90°＝∠AHO，
∵DB∥OA，
∴∠CBD＝∠AOC，
∴△AHO∽△CDB，
∴，
∴，
∴CD＝9.6，
根据勾股定理得，DB＝＝＝2.8．

【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式的应用，平行线的性质，含30°角直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．（2020秋•杭州期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；数据分析观念．
【分析】（1）由题意得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]，即可求解；
（2）由题意得：250﹣10（x﹣25）≥160且x≥30，解得30≤x≤34，而w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50），根据函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10x2+700x﹣10000；

（2）由题意得：250﹣10（x﹣25）≥160且x≥30，解得30≤x≤34，
而w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50），
∵a＝﹣10＜0，
而函数的对称轴为x＝（20+50）＝35，
故当x＜35时，w随x的增大而增大，
故当x＝34（元）时，w有最大值为2240（元）．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
19．（2020秋•余杭区期中）如图，一圆弧形钢梁
（1）请用直尺和圆规补全钢梁所在圆；
（2）若钢梁的拱高为8米，跨径为40米，求这钢梁圆弧的半径．

【考点】垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】应用题；圆的有关概念及性质．
【分析】（1）先作AB的中垂线，交弧于点D，连接BD，再作BD的中垂线，交直线OD于点O，以O为圆心，OD为半径画圆即可得；
（2）连接OB，设圆的半径为r，由垂径定理定理知BC＝20米，在Rt△BOC中，由BO2＝BC2+OC2可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．


（2）如图，连接OB，
由题意知CD＝8米，AB＝40米，
∵OD⊥AB，
∴BC＝AC＝AB＝20米，
设圆的半径为r，
则OC＝r﹣8，
在Rt△BOC中，由BO2＝BC2+OC2可得r2＝（r﹣8）2+202，
解得：r＝29，
答：这钢梁圆弧的半径为29米．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、圆的有关知识、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线性质解决问题，属于中考常考题型．
20．（2020秋•拱墅区校级期中）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．
（1）求S关于m的函数关系式；
（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．

【考点】二次函数的应用；全等图形；勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】数形结合；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再由勾股定理及正方形的面积公式可得S关于m和n的函数关系式，然后将n＝m﹣2代入化简即可；
（2）将（1）中的函数关系式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质及m的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，
∴直角三角形较长边长为m+n，
由勾股定理及正方形的面积公式可知：
S＝（m+n）2+n2，
∵n＝m﹣2，
∴S＝（m+m﹣2）2+（m﹣2）2
＝4m2﹣8m+4+m2﹣4m+4
＝5m2﹣12m+8，
∵n＝m﹣2＞0，
∴m＞2．
∴S关于m的函数关系式为S＝5m2﹣12m+8（m＞2）；
（2）由（1）知，S＝5m2﹣12m+8＝5（m﹣1.2）2+0.8，
∵S关于m的二次函数的对称轴为直线m＝1.2，二次项系数为正，
∴当2＜m≤3时，S随m的增大而增大，
∴当m＝3时，S最大．
∴当大正方形面积最大时，m＝3．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．（2020秋•拱墅区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若AB＝10，E是的中点，求EG•ED的值．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，即可得出∠E＝∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD＝180°﹣∠E，进而得出∠BDF＝∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；
（3）连接OE，
∵AB＝10，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝5，
∴AE＝5，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
即EG•ED＝AE2＝50．
【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE的长是解题关键．
22．（2020秋•余杭区期中）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点Q，问：△BCQ的最大面积是多少？此时点Q的坐标是多少？
（3）若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；数据分析观念．
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线解析式，即可求解；
（2）求出B（4，0），由B、C的坐标得：，令，进而求解；
（3）∠DCB＝2∠ABC，则CD所在直线与CB所在直线关于y轴对称，则，联立，进而求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得：，
解得，
故抛物线的解析式为；

（2）令，解得x＝﹣1或4，
故B（4，0），
由B、C的坐标得：，
令，
∴x＝2时，h有最大值为3，此时Q的坐标为；
则S△BCQ＝＝6；

（3）∵∠DCB＝2∠ABC，
∴CD所在直线与CB所在直线关于y轴对称，
则，
联立，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴则点D坐标为．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（2020秋•余杭区期中）九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示．若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），实心球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号）

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，设其顶点式，由A坐标可得答案；
（2）令y＝0，解方程求得x的值即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴代入得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+5．

（2）∵令y＝0，即﹣（x﹣6）2+5＝0，解得x1＝6﹣2（舍去），x2＝6+2
∴OC＝6+2．
答：该同学把实心球扔出（6+2）m．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．
24．（2020秋•拱墅区校级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；
（3）如图3中，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．根据勾股定理求出AM，证明△AFN∽△ADM，根据相似三角形的性质求出MH，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，
∴△BAD∽△DCE．

（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△CDE∽△ABD，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得，BD＝，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝．

（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．

则四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝16，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，
∴tanB＝＝，
∵∠ADE＝∠B，
∴tan∠ADE＝＝，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴═＝，即，
解得，AN＝9，
∴MH＝AN＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝7，
∵FD＝FC，FH⊥CD，
∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝18．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
6．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
7．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
8．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
9．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

11．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
14．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
15．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
16．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
17．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
19．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
21．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
22．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
23．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
24．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
25．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
26．相似形综合题
相似形综合题．
27．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
28．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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日期：2021/10/14 13:46:26；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867