苏科版九年级上册1.1 一元二次方程教案设计

这是一份苏科版九年级上册1.1 一元二次方程教案设计，共3页。

一元二次方程的解法巩固
教学目标
1．巩固直接开平方法、配方法（公式法）、因式分解法等方法解一元二次方程；
2．理解“降次”将一元二次方程化为一元一次方程，体会化归的数学思想方法．
3．类比一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的解法，运用从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法探索一元二次方程的解法。
教学重点
用直接开平方法、配方法（公式法）、因式分解法等方法解一元二次方程．
教学难点
运用从特殊到一般、从具体到抽象的方法探索一元二次方程的解法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
问题1 我们已经学过哪些方程（或组）？
问题2 如何解这些方程？
例：如何解方程(或组)：eq \F(x－1,2)－x＝1，eq \F(1,x－1)－1＝0，eq \b\lc\{(\a\al(x－y＝1，,x＋y＝3．))
思考：解这些方程（或组）的过程中，每一步的变形依据是什么？
同学们回忆一元一次方程、分式方程、二元一次方程的解法，
体会解方程中的转化过程和求解目标，明晰解方程的基本思路，为归纳一元二次方程解法探索做好经验的准备．
探索活动
问题3 如何研究方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法？
（1）可以从特殊到一般、从具体到抽象研究一元二次方程的解法．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的特殊形式有
ax2＋c＝0（a≠0）、ax2＋bx＝0（a≠0）等．
独立思考、 提出了从特殊到一般、从具体到抽象的研究思路，并提出b＝0和c＝0两种特殊形式．
通过设计这个问题，讨论探索一元二次方程解法的一般路径，
问题4 如何解方程ax2＋c＝0（a≠0）？
具体地，（1）如何解方程x2－1＝0？
（2）如何解方程2x2－1＝0？
（3）如何解方程x2＋1＝0？
思考：（1）通过哪些方法将一元二次方程转化为一元一次方程？
（2）在什么情况下，方程ax2＋c＝0（a≠0）有实数解？有几个实数解？
同学们思考如（1）(x－1)(x＋1)＝0，或 x2＝1，x＝±1，
（2）x2＝eq \F(1,2)，x＝±eq \F(eq \R(,2),2)，
（3）x2＝－1，而x2≥0，所以原方程无实数解．
探索得到利用因式分解和直接开平方 将ax2＋c＝0（a≠0）降次，
第（3）题发现方程无实数解 ，进而讨论得到当－eq \F(c,a)≥0时方程有两个实数解 ．
问题5 如何解方程ax2＋bx＝0（a≠0）？
具体地，（1）如何解方程x2－2x＝0？
（2）如何解方程2x2＋x＝0？
思考：（1）在解方程的过程中利用什么方法进行降次的？这种情况的方程解有什么特点？
（2）能否利用直接开平方法进行降次？如何变形才能进行开平方？
比如：
x(ax＋b)＝0(a≠0)，
在思考第（2）个问题时，同学们发现将x2－2x＝0变形为x2－2x＋1＝1，(x－1)2＝1，
探索方程ax2＋bx＝0（a≠0）的解法过程， 为后续研究一般形式的解法作好铺垫．
问题6 如何解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？
具体地，（1）如何解方程x2－2x＋1＝0？
（2）如何解方程x2－2x－3＝0？
（3）如何解方程x2－2x－1＝0？
（4）如何解方程2x2－4x－3＝0？
思考：（1）在解方程的过程中利用什么方法进行降次？
（2）如何选择方法解方程？
变化：如何解方程2x2－4x＋3＝0？
如何解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？
对于一般形式，则可以通过配方，将方程变形为下列形式：x2＋eq \F(b,a)x＋eq \F(c,a)＝0，x2＋eq \F(b,a)x＋(eq \F(b,2a))2＝－eq \F(c,a)＋(eq \F(b,2a))2，(x＋eq \F(b,2a))2＝eq \F(b2－4ac,4a2)．
当b2－4ac≥0时，再开平方，求解，x＋eq \F(b,2a)＝±eq \F(eq \R(,b2－4ac),2a)．
x1＝eq \F(－b＋eq \R(,b2－4ac),2a)，
x2＝eq \F(－b－eq \R(,b2－4ac),2a)．当b2－4ac＜0时，无实数解．
同学们在前面研究的基础上，如：
（1）(x－1)2＝0，x－1＝0或x－1＝0，x1＝x2＝1（因式分解或配方、开平方）；
（2）(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，（因式分解）；
（3）x2－2x＋1－2＝0，(x－1)2＝2， （配方、开平方）；
（4）x2－2x－eq \F(3,2)＝0，(x－1)2＝eq \F(5,2)， 配方、开平方）．
变式题2x2－4x＋3＝0，配方(x－1)2＝－eq \F(1,2)≤0，原方程无实数解．
在探索方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）解法中，引导学生从具体方程入手，利用配方、开平方或因式分解等方法，将方程降次化为一次方程，进一步明确方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法的一般过程，最终获得一元二次方程解法的降次方法，导出公式法，体会了化归的数学思想方法，形成求解二次方程的基本活动经验，即降次——化归——求解
知识延伸：对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )
A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对
C．他们两人都对 D．他们两人都错
思考：值为9或12如何？
练习
解方程：（1）x2－4＝0；（2）x2＋2＝0；（3）(x－3)2＝4；（4）x2－x－2＝0；（5）－2x2＋4x－1＝0．(6) x2－5x＋1＝0.
x2－10x＋36=11有等实根
x2－10x＋36=9无实根
x2－10x＋36=12不相等实根
学生自主选择方法，灵活应用，独立完成，加深理解．
课堂小结
问题7 解一元二次方程的基本经验是什么？
同学们自主总结， 因式分解、直接开平方、配方（公式法），将二次 降次为一次 后求解．
在回顾本节课的基础上整理探究思路，最终获得一般方法和经验．
作业布置
略
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