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2020年河南省郑州市九年级一模数学模拟试卷 含解析
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这是一份2020年河南省郑州市九年级一模数学模拟试卷 含解析，共32页。试卷主要包含了下列实数中，最大的是，下列计算错误的是，2019年“十一”黄金周期间，如图所示的几何体，它的左视图是等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年九年级一模数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B．﹣ C．﹣1 D．﹣
2．下列计算错误的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6
C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a3
3．2019年“十一”黄金周期间（7天），北京市接待旅游总人数为920.7万人次，旅游总收入111.7亿元．其中111.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．111.7×106 B．11.17×109 C．1.117×1010 D．1.117×108
4．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，
6．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）
10．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝ ．
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得 ．
13．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为 ．
14．如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4．将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为线段AB的中点，线段A1B1与OA交于点E，则图中阴影部分的面积 ．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
17．某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）扇形统计图中，m的值为 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
18．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
19．某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
22．问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B．﹣ C．﹣1 D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣0.5＞﹣＞﹣1＞﹣，
∴所给的实数中，最大的是﹣0.5．
故选：A．
2．下列计算错误的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6
C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a3
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，符合题意；
B、（3ab3）2＝9a2b6，正确，不合题意；
C、（x2）3＝x6，正确，不合题意；
D、a•a2＝a3，正确，不合题意；
故选：A．
3．2019年“十一”黄金周期间（7天），北京市接待旅游总人数为920.7万人次，旅游总收入111.7亿元．其中111.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．111.7×106 B．11.17×109 C．1.117×1010 D．1.117×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：111.7亿＝11170000000＝1.117×1010
故选：C．
4．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：如图所示的几何体的左视图为：．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，
【分析】连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出AD＝2，从而得到D点坐标．
【解答】解：连接DB，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABO＝60°，
∵A（0，），
∴OA＝，
∴OB＝OA＝1，AB＝2OB＝2，
∴AD＝AB＝2，
而AD平行x轴，
∴D（2，）．
故选：B．
6．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：
，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM，根据等角对等边可得BP＝PM，求出EP+BP＝EM，再根据CQ＝CE求出EQ＝2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．
故选：C．
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）
【分析】如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【解答】解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：B．
10．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项A正确；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝ ．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣（2﹣）
＝2﹣2+
＝．
故答案为：．
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得 ．
【分析】本题求的是原计划的工效，工作总量是3000米，一定是根据工作时间来列的等量关系．关键描述语是：提前20天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际时间＝20．
【解答】解：设原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得．
13．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为 2＜x＜3 ．
【分析】0＜mx+n＜﹣x+a表示在x轴的上方，且y2＝﹣x+a的图象在y1＝mx+n的图象的上边部分自变量的取值范围，依据函数图象中两直线的位置，即可得到不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3．
【解答】解：由图可得，当0＜mx+n时，x＞2；
当mx+n＜﹣x+a时，x＜3；
∴不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
14．如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4．将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为线段AB的中点，线段A1B1与OA交于点E，则图中阴影部分的面积 ．
【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠B1，S△AOB＝＝4，A1O＝AO＝2，由直角三角形的性质可得∠OEB1＝90°，由三角形的面积和勾股定理可求OE和EA1的长，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4，
∴S△AOB＝×2×4＝4，AB＝＝＝2，
∵∠AOB＝90°，点D是AB中点，
∴OD＝BD＝AD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，
∴∠B＝∠B1，S△AOB＝＝4，A1O＝AO＝2，
∵∠B+∠OAD＝90°，
∴∠B1+∠AOD＝90°，
∴∠OEB1＝90°，
∴＝4＝×2×OE，
∴OE＝，
∴A1E＝＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝××＝，
故答案为：．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝ 1或 ．
【分析】分AP＝AB，AP＝PB两种情况讨论，利用正方形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：若AP＝BA，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵折叠
∴AD＝DP＝AP，∠ADE＝∠PDE
∴△ADP是等边三角形
∴∠ADP＝60°
∴∠ADE＝30°
∴AE＝＝
若AP＝PB，
如图，过点P作PF⊥AD于点F，作∠MED＝∠MDE，
∵AP＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，且PF⊥AD，
∴PF＝AB，
∵折叠
∴AD＝DP＝AB，∠ADE＝∠PDE
∴PF＝PD
∴∠PDF＝30°
∴∠ADE＝15°
∵∠MED＝∠MDE，
∴∠AME＝30°，ME＝MD
∴AM＝AE，ME＝2AE
∴AD＝2AE+AE＝2+
∴AE＝1
当AB＝PB时，
∴AB＝AD＝BP，
由折叠知，AD＝DP，
∴BP＝DP，
在△ADP和△ABP中，，
∴△ADP≌△ABP（SSS），
∴∠DAP＝∠BAP＝45°，
∴∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴点E和点B重合，不符合题意，
即：AB＝PB此种情况不存在，
故答案为：1或
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据不等式组，求出x的取值范围，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
由不等式组得，﹣3＜x≤2，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，x≠±2，
∴当x＝0时，原式＝＝1．
17．某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ 48 ，b＝ 400 ，c＝ 0.45 ．
（2）扇形统计图中，m的值为 30 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 108° ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得b的值，从而可以求得a、c的值，本题得以解决；
（2）根据扇形统计图中的数据可以求得m的值和“甜”所对应的圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据可以求得该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好．
【解答】解：（1）b＝60÷0.15＝400，
a＝400×0.12＝48，
c＝180÷400＝0.45，
故答案为：48，400，0.45；
（2）m%＝1﹣26%﹣12%﹣23%﹣9%＝30%，
即m的值是30，
“甜”所对应的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：30，108°；
（3）2000×26%＝520（份），
答：该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备520份较好．
18．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝ 7 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ 4 cm时，四边形CEDF是菱形．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．
19．某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB＝xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，
DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝，
∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6，
∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，
设AB＝xm，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝＝x，
∵BG﹣BC＝CG，
∴x﹣x＝8，
解得：x＝＝4（+1）（m）
答：电线杆的高为x＝4（+1）m．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．
【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时wA＝2000；
B方案中：，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝45时，w有最大值，
此时wB＝1250，
∵wA＞wB，
∴A方案利润更高．
22．问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是 60° ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 AC＝DC+EC ．
拓展探究：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，根据勾股定理得到BC＝＝，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADE＝45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，
∴BC＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴AE2+（5﹣AE）2＝17，
∴AE＝1，AE＝4，
∴AD＝或AD＝4．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．
【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；
（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，
此时PF＝2，；
（3）∵点C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴，，
（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，
如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN＝PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综合以上可得P点坐标为，，．
2019-2020学年九年级一模数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B．﹣ C．﹣1 D．﹣
2．下列计算错误的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6
C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a3
3．2019年“十一”黄金周期间（7天），北京市接待旅游总人数为920.7万人次，旅游总收入111.7亿元．其中111.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．111.7×106 B．11.17×109 C．1.117×1010 D．1.117×108
4．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，
6．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）
10．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝ ．
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得 ．
13．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为 ．
14．如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4．将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为线段AB的中点，线段A1B1与OA交于点E，则图中阴影部分的面积 ．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
17．某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）扇形统计图中，m的值为 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
18．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
19．某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
22．问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B．﹣ C．﹣1 D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣0.5＞﹣＞﹣1＞﹣，
∴所给的实数中，最大的是﹣0.5．
故选：A．
2．下列计算错误的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6
C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a3
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，符合题意；
B、（3ab3）2＝9a2b6，正确，不合题意；
C、（x2）3＝x6，正确，不合题意；
D、a•a2＝a3，正确，不合题意；
故选：A．
3．2019年“十一”黄金周期间（7天），北京市接待旅游总人数为920.7万人次，旅游总收入111.7亿元．其中111.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．111.7×106 B．11.17×109 C．1.117×1010 D．1.117×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：111.7亿＝11170000000＝1.117×1010
故选：C．
4．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：如图所示的几何体的左视图为：．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，
【分析】连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出AD＝2，从而得到D点坐标．
【解答】解：连接DB，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABO＝60°，
∵A（0，），
∴OA＝，
∴OB＝OA＝1，AB＝2OB＝2，
∴AD＝AB＝2，
而AD平行x轴，
∴D（2，）．
故选：B．
6．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：
，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM，根据等角对等边可得BP＝PM，求出EP+BP＝EM，再根据CQ＝CE求出EQ＝2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．
故选：C．
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）
【分析】如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【解答】解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：B．
10．如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项A正确；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝ ．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣（2﹣）
＝2﹣2+
＝．
故答案为：．
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得 ．
【分析】本题求的是原计划的工效，工作总量是3000米，一定是根据工作时间来列的等量关系．关键描述语是：提前20天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际时间＝20．
【解答】解：设原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道，根据题意得．
13．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则0＜mx+n＜﹣x+a的解集为 2＜x＜3 ．
【分析】0＜mx+n＜﹣x+a表示在x轴的上方，且y2＝﹣x+a的图象在y1＝mx+n的图象的上边部分自变量的取值范围，依据函数图象中两直线的位置，即可得到不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3．
【解答】解：由图可得，当0＜mx+n时，x＞2；
当mx+n＜﹣x+a时，x＜3；
∴不等式组0＜mx+n＜﹣x+a的解集为2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
14．如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4．将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为线段AB的中点，线段A1B1与OA交于点E，则图中阴影部分的面积 ．
【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠B1，S△AOB＝＝4，A1O＝AO＝2，由直角三角形的性质可得∠OEB1＝90°，由三角形的面积和勾股定理可求OE和EA1的长，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝4，
∴S△AOB＝×2×4＝4，AB＝＝＝2，
∵∠AOB＝90°，点D是AB中点，
∴OD＝BD＝AD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵将△OAB绕顶点O按顺时针方向旋转到△OA1B1处，
∴∠B＝∠B1，S△AOB＝＝4，A1O＝AO＝2，
∵∠B+∠OAD＝90°，
∴∠B1+∠AOD＝90°，
∴∠OEB1＝90°，
∴＝4＝×2×OE，
∴OE＝，
∴A1E＝＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝××＝，
故答案为：．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝ 1或 ．
【分析】分AP＝AB，AP＝PB两种情况讨论，利用正方形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：若AP＝BA，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵折叠
∴AD＝DP＝AP，∠ADE＝∠PDE
∴△ADP是等边三角形
∴∠ADP＝60°
∴∠ADE＝30°
∴AE＝＝
若AP＝PB，
如图，过点P作PF⊥AD于点F，作∠MED＝∠MDE，
∵AP＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，且PF⊥AD，
∴PF＝AB，
∵折叠
∴AD＝DP＝AB，∠ADE＝∠PDE
∴PF＝PD
∴∠PDF＝30°
∴∠ADE＝15°
∵∠MED＝∠MDE，
∴∠AME＝30°，ME＝MD
∴AM＝AE，ME＝2AE
∴AD＝2AE+AE＝2+
∴AE＝1
当AB＝PB时，
∴AB＝AD＝BP，
由折叠知，AD＝DP，
∴BP＝DP，
在△ADP和△ABP中，，
∴△ADP≌△ABP（SSS），
∴∠DAP＝∠BAP＝45°，
∴∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴点E和点B重合，不符合题意，
即：AB＝PB此种情况不存在，
故答案为：1或
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据不等式组，求出x的取值范围，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
由不等式组得，﹣3＜x≤2，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，x≠±2，
∴当x＝0时，原式＝＝1．
17．某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ 48 ，b＝ 400 ，c＝ 0.45 ．
（2）扇形统计图中，m的值为 30 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 108° ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得b的值，从而可以求得a、c的值，本题得以解决；
（2）根据扇形统计图中的数据可以求得m的值和“甜”所对应的圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据可以求得该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好．
【解答】解：（1）b＝60÷0.15＝400，
a＝400×0.12＝48，
c＝180÷400＝0.45，
故答案为：48，400，0.45；
（2）m%＝1﹣26%﹣12%﹣23%﹣9%＝30%，
即m的值是30，
“甜”所对应的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：30，108°；
（3）2000×26%＝520（份），
答：该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备520份较好．
18．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝ 7 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ 4 cm时，四边形CEDF是菱形．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．
19．某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB＝xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，
DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝，
∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6，
∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，
设AB＝xm，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝＝x，
∵BG﹣BC＝CG，
∴x﹣x＝8，
解得：x＝＝4（+1）（m）
答：电线杆的高为x＝4（+1）m．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．
【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时wA＝2000；
B方案中：，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝45时，w有最大值，
此时wB＝1250，
∵wA＞wB，
∴A方案利润更高．
22．问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是 60° ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 AC＝DC+EC ．
拓展探究：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，根据勾股定理得到BC＝＝，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADE＝45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，
∴BC＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴AE2+（5﹣AE）2＝17，
∴AE＝1，AE＝4，
∴AD＝或AD＝4．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．
【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；
（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．
【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，
此时PF＝2，；
（3）∵点C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴，，
（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，
如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN＝PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综合以上可得P点坐标为，，．
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