精品解析：2020年山东潍坊市中考学业水平一模数学试题

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2020年潍坊市初中学业水平模拟考试（一）数学试题
（时间：120分钟满分：120分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，答题卡收回．
2．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔涂在答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）处，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1. 下列运算一定正确的是（ ）
A. 3a＋3a＝3a2 B. a3•a4＝a12
C. （a3）2＝a6 D. （a＋b）（b－a）＝a2－b2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及平方差公式逐一判断即可．
【详解】A.3a+3a=6a，故本选项不合题意；
B．a3•a4=a7，故本选项不合题意；
C．（a3）2=a6，正确；
D．（a＋b）（b－a）=b2-a2，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查合并同类项，同底数幂的乘法，平方差公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式或运算法则是解题的关键．
2. 下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合．利用定义知到答案．
【详解】解：轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合．发现A，B，D都不符合定义，所以A，B，D都错误，只有C符合，所以C正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，掌握定义，利用定义解决问题是关键．
3. 新冠肺炎疫情爆发以来，口罩成为需求最为迫切的防护物资．据悉某企业3月份的口罩日产能已达到400万只，预计今后数月内都将保持同样的产能，则3月份（按31天计算）该企业生产的口罩总数量用科学记数法表示为（ ）
A. 1.24×107只 B. 1.24×108只 C. 0.124×109只 D. 4×106只
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：400万×31=4000000×31=124000000=1.24×108（只），
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 小明用教材上的计算器输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）

A. 100 B. 0.0001 C. 0.01 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．
【详解】根据题意得：102=100，=0.01，=0.1；
0.12=0.01， =100， =10；…
∵2020=6×336+4，
∴按了第2020下后荧幕显示的数是0.01．
故选：C．
【点睛】此题考查计算器-数的平方，弄清按键顺序是解题的关键．
5. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|b|＞|a|，则化简的结果是（ ）

A. 2a B. 2b C. 2a＋b D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式和绝对值的性质，化简解答．
【详解】根据二次根式和绝对值的性质，化简得，
=a-（-b-a），
=2a+b．
故选：C．
【点睛】此题考查二次根式和绝对值的性质与化简．解题关键在于掌握因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．
6. 如图，由8个大小相同的小正方体组成的几何体中，在标号的小正方体上方添加一个小正方体，使其左视图发生变化的有（ ）

A. ②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】先画出左视图,从左视图可以看出第二列有3层,则得到在③号小正方体上方添加一个小正方体,左视图保持不变.
【详解】根据题意,左视图为:

由左视图可知,在③号小正方体上方添加一个小正方体,左视图保持不变
故选:D.
【点睛】此题考查几何体的三种视图,正确掌握左视图是解题关键.
7. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5

则他们捐款金额的众数和中位数和平均数分别是（ ）
A. 20，10，27.6 B. 10，20，27.6 C. 10，10，37 D. 10，20，37
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求出众数和中位数 ，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数即可．
【详解】这组数据出现次数最多的数据是10，所以众数是10元，
将捐款金额按从小到大的顺序排列，最中间两个数的平均数是（20+20）÷2=20(元)，所以中位数是20元，
这组数据的平均数为（5×6+10×17+20×14+50×8+100×5）÷50=27.6（元），
故选：B．
【点睛】此题考查众数、中位数和平均数，解答关键在于理解众数和中位数的概念，以及熟记平均数的计算公式．
8. 若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解，又使得关于x的不等式x2-x+a+5≥0恒成立，则符合条件的所有a的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】解分式方程，由其解有非负数解，以及解不能为增根，列出a的不等式求得a的取值范围；再根据使不等式x2-x+a+5≥0恒成立，即抛物线y=x2-x+a+5的顶点不在x轴下方，满足△=b2-4ac≤0，由此列出a的不等式求得a的又一取值范围，综上a的取值范围，便可确定整数a的值，问题便可解决．
【详解】解得，x=− ，
∵整分式方程有非负数解，
∴−≥0，且x-1=−-1≠0
∴a≤-1且a≠-4，
∵又使得关于x的不等式x2-x+a+5≥0恒成立，
∴二次函数y=x2-x+a+5的顶点不在x轴下方，
∴△=1-4（a+5）≤0，
解得，a≥−4 ，
综上，−4≤a≤−1且a≠-4，
∵a为整数，
∴a=-3或-2或-1，
故选：C．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解题关键在于注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
9. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是上的两点，，点E为上一点，且∠CED＝2∠COD，则∠DOB＝（ ）

A. 86° B. 85° C. 81° D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，可得对应∠CED的圆心角为2x，根据圆周角为360°列方程可得∠COD的度数，根据弧的关系可得对应圆心角的关系，从而得结论．
【详解】解：设∠COD=x，则∠CED=2x，
∴2x•2+x＝360，
解得：x=72°，
∴∠COD=72°，
∴∠BOD+∠AOC=180°-72°=108°，
∵，
∴∠BOD=3∠AOC，
∴∠BOD=108°×=81°，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理、圆心角、弧的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．若四边形ABDF为菱形，则∠CAE的大小是（ ）

A. 90° B. 75° C. 60° D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得AB∥CF，可得∠ACF=45°，根据AB=AC=AF，可得∠AFC=45°即∠CAF=90°且∠EAF=45°则可求∠CAE的大小．
【详解】∵ABDF是菱形
∴AB∥CF，AB=AF
∴∠BAC=∠ACF=45°，AF=AC
∴∠ACF=∠AFC=45°
∴∠CAF=90°
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF
∴∠EAF=∠BAC=45°
∴∠EAC=∠CAF-∠EAF=45°
故选：D．
【点睛】此题考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用这些性质解决问题．
11. 如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为（1，3），D点坐标为（-3，-1），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．
【详解】解：∵点A（a，1），B（b，3）都双曲线y=-上，

∴a×1=3b=-3，
∴a=-3，b=-1，
∴A（-3，1），B（-1，3），
作A点关于x轴的对称点D（-3，-1），B点关于y轴的对称点C（1，3），连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，
∵QB=QC，PA=PD，
∴四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD，
∴AB= ，
∴四边形ABPQ周长最小值为2+4=6，
故选：B．
【点睛】此题考查反比例函数的综合题，勾股定理，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．
12. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分时，时，时，三种情况，分别求出函数解析式，进而即可求解．
【详解】根据题意，得移动的过程中，重合部分总为等腰直角三角形，
当时，重合部分的直角边长为，则；
当时，重合部分的直角边长为1，则；
当时，重合部分的直角边长为，
则．
由以上分析可知：这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线一部分，中间为平行于轴的直线的一部分，右边为开口向上的抛物线一部分．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据题意，求出函数解析式，是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13. 因式分解：＝__________．
【答案】（a-4b）（a+b）
【解析】
【分析】利用十字相乘法进行因式分解．
【详解】解：原式=（a-4b）（a+b）．
故答案是：（a-4b）（a+b）．
【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．
14. 已知m，n是方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则m＋n＋2mn＝__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系找出m+n=3、mn=-2，再将数据代入即可得出结论．
【详解】解：∵m，n是方程x2-3x-2=0的两个实数根，
∴m+n=3，mn=-2，
∴m＋n＋2mn＝3+2×（-2）=-1.
故答案为：-1.
【点睛】此题考查根与系数关系，根据根与系数的关系找出m+n=3、mn=-2是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交AC于点F，则EF的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】作辅助线，设AD=x，CF=y，证明△BDF∽△BAC，列比例式 ，可得方程组，解出即可．
【详解】延长FE交AB于D，

设AD=x，CF=y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∵FD∥AC，
∴∠AED=∠CAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=x，
同理得：EF=CF=y，
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=5，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴，
∴ ，
∴x= y，20-5y=4x+4y，
∴y=，
∴EF=，
故答案为：.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、角平分线定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
【详解】解：在正方形中，∠BAD=∠D =，

∴∠BAM+∠FAM=
在Rt中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM=, ∴AG=
∴GE=13-
【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
17. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________．
【答案】a＜-或a≥或a=-1
【解析】
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【详解】直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4，令y=0代入直线y=4x+4得x=-1，
∴A（-1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，
∴抛物线的对称轴x=-=1；
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，

将x=0代入抛物线得y=-3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴-3a＜4， a＞-，
将x=5代入抛物线得y=12a，
∴12a≥4，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，

将x=0代入抛物线得y=-3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴-3a＞4，
∴a＜-；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，

将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a，
解得a=-1．

综上所述：a＜-或a≥或a=-1．
故答案为：a＜-或a≥或a=-1．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线于点B1．过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2020的坐标为__________．

【答案】（22020，22019）
【解析】
【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2020的坐标．
【详解】由题意可得，点A1的坐标为（1，2），
设点B1的坐标为（a，a） ，解得，a=2，
∴点B1的坐标为（2，1），
同理可得，点A2的坐标为（2，4），点B2的坐标为（4，2），
点A3的坐标为（4，8），点B3的坐标为（8，4），
……
∴点B2020的坐标为（22020，22019），
故答案为：（22020，22019）．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
三、解答题
19. 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【答案】（1）增长率为10%；（2）26.62万人次．
【解析】
【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次”可列方程求解；
（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
【详解】（1）设增长率为x，根据题意，得
20（1+x）2=24.2，
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%．
（2）24.2（1+0.1）=26.62（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到26.62万人次．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20. 2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发，国家教育部要求各地延期开学，并要求：利用网络平台，“停课不停学”．为响应号召，某校师生根据上级要求积极开展网络授课教学，八年级为了解学生网课发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在网课上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量，并补全直方图，在扇形统计图中，“B”所对应圆心角的度数是 ；
（2）该年级共有学生500人，估计全年级在这天里发言次数不少于12人数为 ；
（3）该校八年级组织一次网络授课经验专项视频会议，A组的中恰有1位女生，E组的中有位2男生．现从A组与E组中分别抽一位写报告，利用“树状图”或列表法求出正好选中一男一女的概率．

n
A

B

C

D

E

F


【答案】（1）图见解析，72°；（2）90人；（3）．
【解析】
【分析】（1）由B、E两组发言人数的比为5：2，B组人数为10人得出E组人数为4人，再结合E组对应百分比可得样本容量，继而利用分组人数=总人数×对应百分比求解可得；
（2）用总人数乘以E、F组人数和所占比例即可得；
（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，B组人数为10人，
∴E组人数为4人，
则样本容量为4÷8%=50，
A组人数为50×6%=3（人），C组人数为50×30%=15（人），D组人数为50×26%=13（人），F组人数为50-（3+10+15+13+4）=5（人），
补全直方图如下：

在扇形统计图中，“B”所对应的圆心角的度数是360°×=72°，
（2）估计全年级在这天里发言次数不少于12的人数为500×=90（人）；
（3）A组发言的学生：50×6%=3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%=4人，所以有2位女生，2位男生，
列表如下：

画树状图如下：

共12种情况，其中一男一女的情况有6种，
所以P（一男一女）=．
【点睛】此题考查频数分布直方图，列表法与画树状图法，扇形统计图，本题根据B组的人数与所占的百分比求解是解题的关键．
21. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城肥料少100吨，从A，B城往C，D两乡运肥料的平均费用如表：

A城
B城
C乡
20元/吨
15元/吨
D乡
25元/吨
30元/吨
现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡x吨肥料，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并说明如何安排运输才能使得总运费最小？
【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）y=10x+9800，当x=60时，总运费最少，最少运费是10400元；
【解析】
【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从A城运往C乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；
【详解】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，则运往B城运往C乡（300-x）吨
从A城运往D乡肥料（260-x）吨，则运往C乡（x-60）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+30x=10x+9800，
由于函数是一次函数，k=10＞0，
∵ ，
∴60≤x≤260
所以当x=60时，总运费最少，最少运费是10400元；
【点睛】此题考查二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．理解最小值不少于10040元意义是解题关键．
22. 数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度，小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°，小明从A点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2．
（1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
（2）依据他们测量数据能否求出大树BC的高度？若能，请计算；若不能，请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【答案】（1）3米；（2）16.5米．
【解析】
【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；
（2）延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC=x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC-AC=AG列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）作DH⊥AE于H，如图1所示：

在Rt△ADH中，∵，
∴AH=2DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴（2DH）2+DH2=（3）2，
∴DH=3．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）如图2所示：延长BD交AE于点G，设BC=xm，

由题意得，∠G=31°，
∴GH==5，
∵AH=2DH=6，
∴GA=GH+AH=5+6=11，
在Rt△BGC中，tan∠G= ，
∴CG= x，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x．
∵GC-AC=AG，
∴x-x=11，
解得：x=16.5．
答：大树的高度约为16.5米．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G．延长AB、CD交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，则∠CDO=∠CAO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=3，即OB=3，然后根据平行线分线段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可计算出CD=6；
（3）由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=3，再证明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比计算出OG= ，则CG=OC-OG=，易得BD=2OG= ，然后利用CG∥BD得到 ．
【详解】证明：（1）如图，连接OD，

∵AC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∵CO∥BD，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，且AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOC（SAS）
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，且OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，
在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，
∴OB=3，
∵DB∥OC，
∴
即
∴CD=6；
（3）由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=6，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴△OAG∽△OCA，
∴，
即 ，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=3-=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG为△ABD的中位线，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴
∴．
【点睛】此题考查圆的综合题，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，勾股定理，解题关键在于利用平行线分线段成比例定理和相似比计算线段的长．
24. 已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若，求DN的长．

【答案】解：（1）CE=AF，证明见解析；（2）135°；（3） ．
【解析】
【分析】（1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）证△MAO∽△DCO得 ，由勾股定理得DM=2，据此求得DO= ，结合OF= 知DF=，再证△DFN∽△DCO得，据此计算可得．
【详解】解：（1）CE=AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE=AF；
（2）设DE=k，
∵DE：AE：CE=1：：3
∴AE=k，CE=AF=3k，
∴EF=k，
∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，
即AE2+EF2=AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠BEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA=AB=AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD=4，AM=2，
∴DM=2，
∴DO=，
∵OF=，
∴DF=，
∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴ ，即 ，
∴DN= ．
【点睛】此题考查四边形的综合问题，正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A(0，1)和点B(3，﹣2)，交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；
（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）t＝1或t＝2或或
【解析】
【分析】（1）将点A（0，1）和点B（3，-2）代入抛物物线y=-x2+bx+c中，列出方程组即可解答；
（2）过点D作 DM∥y轴交AB于点M，D（a，-a2+2a+1），则M（a，-a+1），表达出DM，进而表达出△ABD的面积，利用二次函数的性质得出最大值及D点坐标；
（3）由题意可知，∠ACE=∠ACO=45°，则△BCD中必有一个内角为45°，有两种情况：①若∠CBD=45°，得出△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，再対△ACE进行分类讨i论；②若∠CDB=45，根括圆的性质确定D1的位置，求出D1的坐标，再对△ACE与△CD1B相似分类讨论．
【详解】解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中
得，
解得
∴y＝﹣x2+2x+1；
（2）如图1所示：过点D作 DM∥y轴交AB于点M，
设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）
．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a
∴
∵，有最大值，
当时，
此时

图1
（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，
∴∠ACE＝∠ACO＝45°，
∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，
①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，
∴点D与点B于抛物线的対称轴直线x＝1対称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）
B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）
此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，
（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，
∴E（1.1），得到t＝1
（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，
∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

图2
②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上
以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，
设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，
则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意
设
由HD1＝DH＝2
解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），
∴，
则，

（i）若△ACE∽△CD1B，
则，
即，
解得，（舍去）
（ii）△ACE∽△BD1C则，
即，
解得，（舍去）
综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或

                图3
【点睛】本题考查二次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求函数解析式，二次数图象上点的坐标待征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比校大，另外，解答（3）小题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．