新高考2022年高考数学一轮课时跟踪49《椭圆》练习题

这是一份新高考2022年高考数学一轮课时跟踪49《椭圆》练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)=1 B.x2＋eq \f(y2,6)=1 C.eq \f(x2,6)＋y2=1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)=1
椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\r(2))=1 B.eq \f(x2,2)＋y2=1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1 D.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)=1
曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2=1和圆(x－3)2＋y2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5 B.7 C.13 D.15
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，
直线AB交y轴于点P.若eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，
若tan∠PAF=eq \f(1,2)，则椭圆的离心率e为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,2)
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,16)a2=0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),2)
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)=1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)=1 C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,5)=1
已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，
且eq \(PF1,\s\up7(―→))·(eq \(OF1,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→)))=0(O为坐标原点)，若|eq \(PF1,\s\up7(―→))|=eq \r(2)|eq \(PF2,\s\up7(―→))|，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(6)－eq \r(3) B.eq \f(\r(6)－\r(3),2) C.eq \r(6)－eq \r(5) D.eq \f(\r(6)－\r(5),2)
在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，
则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
已知点P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)=1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，
O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且eq \(F1M,\s\up7(―→))·eq \(MP,\s\up7(―→))=0，则|eq \(OM,\s\up7(―→))|取值范围是( )
A.[0,3) B.(0,2eq \r(2)) C.[2eq \r(2)，3) D.(0,4]
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1的两个焦点，P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=c2，
则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
二、填空题
设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)=1的离心率，且e=eq \f(2,3)，则实数k的值是________.
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.
如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______.
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，
则|PM|＋|PF1|的最大值为________.
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：椭圆9x2＋4y2=36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)=1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)=1(a＞b＞0)，则c=eq \r(5).
又2b=2，即b=1，所以a2=b2＋c2=6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)=1.
答案为：C；
解析：由条件可知b=c=eq \r(2)，a=2，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1.故选C.
答案为：D；
解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，
离心率为eq \f(4,5).曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq \r(25－k)，
短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)) .对照选项，知D正确.故选D.
答案为：B；
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|=10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2=7.
答案为：D；
解析：∵eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AP,\s\up7(―→))|=2|eq \(PB,\s\up7(―→))|.
又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)=eq \f(|AO|,|AF|)=eq \f(2,3)，即eq \f(a,a＋c)=eq \f(2,3)，∴e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
答案为：D；
解析：不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP=c，
将xP=c代入椭圆方程得yP=eq \f(b2,a)，即|PF|=eq \f(b2,a)，则tan∠PAF=eq \f(|PF|,|AF|)=eq \f(\f(b2,a),a＋c)=eq \f(1,2)，
结合b2=a2－c2，整理得2c2＋ac－a2=0，两边同时除以a2得2e2＋e－1=0，
解得e=eq \f(1,2)或e=－1(舍去).故选D.
答案为：B；
解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2=eq \f(13,16)a2，圆心D(a，0)，
则菱形OADB对角线的交点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))，将x=eq \f(a,2)代入圆D的方程得y=±eq \f(3a,4)，
不妨设点A在x轴上方，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(3a,4)))，代入椭圆C的方程可得eq \f(1,4)＋eq \f(9a2,16b2)=1，
所以eq \f(3,4)a2=b2=a2－c2，解得a=2c，所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
答案为：C；
解析：由题意知双曲线x2－y2=1的渐近线方程为y=±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为2eq \r(2)，
所以点(eq \r(2)，eq \r(2))在椭圆上，所以eq \f(2,a2)＋eq \f(2,b2)=1. ①
又椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(a2－b2,a2)=eq \f(1,2)，所以a2=2b2. ②
由①②得a2=6，b2=3，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)=1.故选C.
答案为：A；
解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，
由eq \(PF1,\s\up7(―→))·(eq \(OF1,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→)))=0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，
∴|eq \(OP,\s\up7(―→))|=|eq \(OF1,\s\up7(―→))|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|=x，则|PF1|=eq \r(2)x，
结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)x＋x＝2a，,\r(2)x2＋x2＝2c2，))∴e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),\r(2)＋1)=eq \r(6)－eq \r(3).故选A.
答案为：A；
解析：∵椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，
设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，
|PB|＋|PC|=4，∴|PB|=4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5.
答案为：B；
解析：如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵eq \(F1M,\s\up7(―→))·eq \(MP,\s\up7(―→))=0，∴eq \(F1M,\s\up7(―→))⊥eq \(MP,\s\up7(―→)).又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|=|PG|，且M为F1G的中点.∵O为F1F2的中点，∴OM綊eq \f(1,2)F2G.
∵|F2G|=||PF2|－|PG||=||PF1|－|PF2||，∴|eq \(OM,\s\up7(―→))|=eq \f(1,2)|2a－2|PF2||=|4－|PF2||.
∵4－2eq \r(2)＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2eq \r(2)，∴|eq \(OM,\s\up7(―→))|∈(0,2eq \r(2)).
答案为：B；
解析：设P(x，y)，则eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1，y2=b2－eq \f(b2,a2)x2，－a≤x≤a，eq \(PF1,\s\up7(―→))=(－c－x，－y)，
eq \(PF2,\s\up7(―→))=(c－x，－y).所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=x2－c2＋y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))x2＋b2－c2=eq \f(c2,a2)x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.所以eq \f(\r(3),3)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2).故选B.
答案为：eq \f(20,9)或eq \f(36,5).
解析：当k＞4 时，有e= eq \r(1－\f(4,k))=eq \f(2,3)，解得k=eq \f(36,5)；当0＜k＜4时，
有e= eq \r(1－\f(k,4))=eq \f(2,3)，解得k=eq \f(20,9).故实数k的值为eq \f(20,9)或eq \f(36,5).
答案为：(0,eq \f(1,2)).
解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，
∴2eq \f(c2,a2)－1＋eq \f(c,a)＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜eq \f(1,2).
又∵0＜e＜1，∴0＜e＜eq \f(1,2).∴椭圆的离心率e的取值范围是(0,eq \f(1,2)).
答案为：（eq \f(\r(5)－1,2)，1）.
解析：设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为eq \(B2A2,\s\up7(―→))，eq \(F2B1,\s\up7(―→))所夹
的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，
故（eq \f(c,a)）2＋eq \f(c,a)－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞eq \f(\r(5)－1,2)或e＜eq \f(－\r(5)－1,2)，
又0＜e＜1，所以eq \f(\r(5)－1,2)＜e＜1.
答案为：15.
解析：在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0).
根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|=|PM|＋(2a－|PF2|)=10＋(|PM|－|PF2|).
∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max=eq \r(6－32＋4－02)=5，
此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5=15.