高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步训练题
展开一、单选题
1.等于( )
A.B.C.D.
2.要得到向量,可将( )
A.向量向左平移2个单位
B.向量向右平移2个单位
C.向量保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
D.向量的方向反向,长度伸长为原来的2倍
3.下列算式中,正确的个数为( )
①;
②;
③.
A.B.C.D.
4.等于( )
A.B.C.D.
5.已知向量,(为单位向量),则向量与向量( )
A.不共线B.方向相反
C.方向相同D.
6.若,与的方向相反,且,则等于( )
A.B.C.D.
题型二向量共线定理的应用
7.已知,且,则( )
A.B.C.D.
8.在中,是上一点,且,则( )
A.B.
C.D.
9.如图,是⊙的直径,点、是半圆弧上的两个三等分点,,,则等于( )
A.B.C.D.
题型三;应用共线定理证明三点共线问题
10.已知向量,,,则( )
A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
11.设,不共线,=+k,=m+(k,m∈R),则A,B,C三点共线时有( )
A.k=mB.km-1=0
C.km+1=0D.k+m=0
12.在中,D是BC的中点,如果,那么( )
A.,B.,C.,D.,
13.已知中,,设,,则( )
A.B.C.D.
二、多选题
14.(多选)已知,则下列结论正确的是( )
A.A,B,C,D四点共线B.C,B,D三点共线
C.D.
15.若点D,E,F分别为的边BC,CA,AB的中点,且,,则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
16.若是直线上的一个单位向量,这条直线上的向量,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.的坐标为0D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、解答题
17.已知,求.
18.计算:
(1);
(2).
19.设为实数,已知点P在直线MN上,且,,求的值.
20.如图,在中,C是AB上一点,且.设,,试用,表示.
21.已知,是两个不共线的向量,向量,共线,求实数t的值.
22.在平行四边形中,点N在上,,M为中点,求证:M,N,C三点共线.
23.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.
四、填空题
24.设点O是所在平面内一点,且,则点O是的__________心.
25.设,是两个不共线的向量.若向量k+2与8+k的方向相反,则k=________.
26.若,其中为已知向量,则向量________.
参考答案
1.C
【分析】
根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】
.
故选:C
2.D
【分析】
根据向量数乘的概念及几何意义可得.
【详解】
根据向量数乘的概念及几何意义可知,
要得到向量,可将向量的方向反向,长度伸长为原来的2倍.
故选:D.
3.C
【分析】
由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.
【详解】
对于①,,①正确;
对于②,,②正确;
对于③,,③错误.
故选:C.
4.D
【分析】
利用向量的数乘运算可得结果.
【详解】
.
故选:D.
5.B
【分析】
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为,,所以,
故向量与向量共线反向.
故选:B.
6.B
【分析】
由向量反向可知,即,由此构造方程求得,即可得到结果.
【详解】
与的反向,,,即,解得:,
.
故选:B.
7.B
【分析】
利用向量的加法以及数乘运算即可求解.
【详解】
,
所以,
所以.
故.
故选:B
8.C
【分析】
利用平面向量的三角形法则和共线定理,即可得到结果.
【详解】
因为是上一点,且,
则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用,属于基础题.
9.D
【分析】
连接、、,分析出四边形为平行四边形,利用平面向量加法的平行四边形法则可得出结果.
【详解】
连接、、,如图.
由于点、是半圆弧上的两个三等分点,则,
,则、均为等边三角形,,
,,同理可知,
所以,四边形为平行四边形,所以,,
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:解本题的关键在于分析出四边形为平行四边形,进而利用平面向量加法的平行四边形法则求解.
10.A
【分析】
利用向量共线定理依次判断即可.
【详解】
∵向量,,
∴=2,即点A,B,D三点共线.
故选:A.
11.B
【分析】
由A,B,C三点共线得与共线,然后由向量共线的定理求解可得.
【详解】
若A,B,C三点共线,则与共线,
所以存在唯一实数λ,使,即,即,
所以,所以km=1,即km-1=0.
故选:B.
12.B
【分析】
根据向量的三角形法则可知,再将用的形式表示出来,则的值可求.
【详解】
如图所示:
因为,
所以,
故选:B.
【点睛】
本题考查平面图形中向量的线性运算,涉及向量三角形法则的运用,难度较易.
13.A
【分析】
,即可得出答案.
【详解】
因为
所以
故选:A
【点睛】
本题考查的是平面向量的加法法则,较简单.
14.BD
【分析】
由可得,从而可对ABD进行判断,再对变形化简可对C进行判断
【详解】
因为,所以,
所以,
因为有公共端点,所以C,B,D三点共线,且,所以BD正确,A错误,
由,得,所以,所以C错误,
故选:BD
15.ABC
【分析】
结合图形,根据向量的加法、减法及数乘运算一一判断。
【详解】
如图,
在中,,故A正确;
,故B正确;
,,故C正确;
,故D不正确.
故选:ABC
【点睛】
本题考查向量的线性运算,属于基础题。
16.BD
【分析】
根据,,确定与,又由于,方向相反,确定与的关系.
【详解】
因为,,所以,,,,,,的坐标为.
故选:BD.
17.
【分析】
利用向量线性运算的运算律可求.
【详解】
因为,所以,
所以.
18.
(1)
(2)
【分析】
(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并
(1)
原式=
(2)
原式=
19.
【分析】
分别分析点P位于MN之间和之外两种情况,数形结合,即可得答案.
【详解】
若点P位于MN之间,因为,所以,故,
若点P位于点MN之外,因为,则N为MP的中点,
所以,故.
综上:
20.
【分析】
根据向量的加法、减法、数乘运算即可.
【详解】
根据向量的加法,减法及数乘运算法则可得:
21.
【分析】
结合已知条件利用向量的共线定理求解即可.
【详解】
由,不共线,知向量为非零向量,
因为向量,共线,
所以存在实数,使得,即,
由,不共线,必有,解得.
22.证明见解析
【分析】
利用向量的运算及向量共线定理可得.
【详解】
证明:如图,因为M为中点,
所以.
因为,,
所以.
所以.
因为,
所以,是共线向量,即M,N,C三点共线.
23.证明见解析
【分析】
通过向量加减法可得,则,同理可得,可得结论.
【详解】
证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,
∴.∴.
同理可证明.∴=-.
∴共线,又有公共点A.
∴M,A,N三点共线.
24.重
【分析】
设的中点为,的中点为,利用平面向量知识得到点在边的中线上,点在边的中线上,再根据重心的定义可得答案.
【详解】
设的中点为,的中点为,则,
又,所以,即,即点在边的中线上,
同理可得点在边的中线上,所以点O是的重心.
故答案为:重
25.-4
【分析】
由向量平行求得值,排除方向相同的参数值即可得.
【详解】
因为向量k+2与8+k的方向相反,所以k+2=λ(8+k)⇒⇒k=-4(因为方向相反,所以λ<0⇒k<0).
故答案为:.
26.
【分析】
根据向量的线性运算法则计算可得.
【详解】
解:
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的线性运算,属于基础题.
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