高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算练习

6.2.4向量的数量积

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设，是单位向量，若，则的值为（    ）．

A．1 B．0 C． D．

2．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ）

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角

4．已知、是单位向量，以下命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

5．在等边三角形中，向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

6．若·＞0，则与的夹角θ的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（    ）

A．[2，14] B．[0，12]

C．[0，6] D．[2，8]

8．已知平面向量的夹角为，且，在△ABC中，，D为BC的中点，则等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．在中，已知，，若为中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．向量，夹角为

11．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（    ）

A． B． C．2 D．3

13．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题）

三、填空题

14．若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________．

15．单位圆上三点、、满足（为单位圆圆心），则向量、的夹角为___________.

16．设，，是单位向量，且，则向量与的夹角为______.

17．已知与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角为______．

18．已知，，、的夹角，若，则m=______．

19．已知、满足，，，则向量、的夹角为______．

四、双空题

20．已知单位向量，，满足，则的最大值为______；最小值为_______．

21．已知向量且，则向量与的夹角大小为___.的值为_______.

五、解答题

22．已知向量、满足，，，求.

23．已知，，且与互相垂直，求证：.

24．在中，设，，，且，判断的形状．

25．已知，，且与不共线．为何值时，向量与互相垂直？

参考答案

1．A

【分析】

直接根据平面向量数量积的运算律，将展开，计算结果.

【详解】

因为，是单位向量，且，所以，，

所以

故选：A.

2．D

【分析】

根据单位向量的定义，向量数量积的定义等即可判断各结论的真假．

【详解】

对于A，若向量，的方向不同时，，A不一定正确；

对于B，若向量，不共线时，，B不一定正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确．

故选：D．

3．C

【分析】

根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项.

【详解】

因为，故，故，

而，故，故三角形为钝角三角形，

故选：C.

4．C

【分析】

根据数量积的定义及运算律判断可得；

【详解】

解：因为、是单位向量，所以，，因为向量与向量的夹角未知，故A、B均错误，

若，则向量或 ，故D错误；

根据平面向量的运算律可知，故C正确；

故选：C

5．B

【分析】

根据向量夹角的定义，结合图象，即可求解.

【详解】

如图所示，因为为等边三角形，所以，

根据向量的夹角的定义，可得向量与的夹角为.

故选：B.

6．A

【分析】

根据数量积的定义可得，从而可得夹角的取值范围.

【详解】

因为，所以，而，所以，

故选：A.

7．A

【分析】

建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，转化为一次函数，根据单调性求范围即可.

【详解】

如图建立平面直角 ，

则A(0，0)，E(2，1)，

设F(x，2)(0≤x≤2)，

所以=(2，1)，=(x，2)，因此=2x+2，

设f(x)=2x+2(0≤x≤2)，f(x)为增函数，

则f(0)=2，f(2)=14，故2≤f(x)≤14，的取值范围是[2，14].

故选：A

8．A

【分析】

先用表示出，然后采用先平方再开方的方法求解出的值.

【详解】

因为，

所以，则|.

故选：A.

9．B

【分析】

利用可构造方程求得，将转化为，根据平面向量数量积的运算律可计算求得结果.

【详解】

，，

即，解得：或（舍），

.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：

（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；

（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.

10．AC

【分析】

对进行平方运算，可求出，夹角，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，夹角，可判断BC选项.

【详解】

解：，又因为，所以，所以，所以A正确，D不正确；，故，所以B不正确，同理C正确.

故选：AC

11．CD

【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

分析知，，与的夹角是.

由，故B错误，D正确；

由，所以，故A错误；

由，所以，故C正确.

故选：CD

【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

12．CD

【分析】

由于，，，所以把作为基底，而P为线段AC上任意一点，所以设，然后利用向量的加减法法则把分别用基底表示出来，再求其数量积化简可求其最值，即可求解.

【详解】

设，则，

因为,

所以

因为，所以，

所以的取值范围为，

故选：CD

13．BD

【分析】

根据平面向量数量积的运算律判断．

【详解】

解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．

故选：BD．

14．

【分析】

根据数量积的运算直接算出答案即可.

【详解】

因为，，与的夹角为，

所以

故答案为：

15．##

【分析】

将等式，变形得出，求出的值，即可得解.

【详解】

因为、、为单位圆上三点（为单位圆圆心），则，

因为，所以，，则，

即，即，

所以，因为，故.

故答案为：.

16．

【分析】

由题意可得，进而结合平面向量数量积的定义以及运算律得到，进而可求出，结合平面向量夹角的范围即可求出结果.

【详解】

因为，所以，即，

因此，又因为，，是单位向量，

所以，则，且，所以，

故答案为：.

17．0

【分析】

由得，由得；由此组成方程组求出与、的关系，再求向量与的夹角即可．

【详解】

，

，

①，

又，

，

②；

由①②组成方程组，

解得，，

向量与的夹角的余弦值为．

所以向量与的夹角为0

故答案为：0

18．

【分析】

利用向量垂直数量积为零，然后代入已知条件可得答案.

【详解】

由得，

即，

因为，，、的夹角，

所以，

解得.

故答案为：．

19．30°

【分析】

对化简，再结合已知条件和夹角公式可得答案

【详解】

解：设向量、的夹角为，

因为，，

所以，得，

因为，所以，

故答案为：

20．       

【分析】

设，则，两边平方后利用可得关于的不等式，从而可求的最值.

【详解】

设，则

因为，故，

故即，

因为，为单位向量，所以，

两边平方得．

故答案为：1，.

21．       

【分析】

求出，结合可求出向量夹角余弦，从而可得夹角，利用可得结果.

【详解】

又，

，

，

因为

所以与的夹角大小为，

，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用平面向量数量积求夹角，利用数量积求向量的模，考查了数量积的运算，属于基础题.

22．

【分析】

根据平面向量数量积运算律计算可得.

【详解】

因为，，

所以，

故答案为：

23．证明见解析

【分析】

根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明.

【详解】

因为与互相垂直，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，是非零向量，

所以.

24．为正三角形

【分析】

通过向量的运算律：分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0，即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．

【详解】

解：由得，，

均为非零向量，且，

，则，

，同理可得，

则为正三角形．

25．

【分析】

利用向量垂直，那么它们的数量积为0，建立关于的方程解之．

【详解】

解：向量与互相垂直，

，

整理得即，

又，，

，

解得．