初中人教版第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组同步测试题

这是一份初中人教版第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组同步测试题，共22页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
专题8.3 实际问题与二元一次方程组典例体系(本专题共86题51页)

一、知识点
1．审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；
2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；
3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；
4．列：根据这个相等关系列出方程；
5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；
6．验：检验所求得的解是否符合题意；
7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称)．
处理问题的过程可以进一步概括为：

二、考点点拨与训练
考点1：年龄问题
典例：(2020·吉林延边·初一期末)7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
巩固练习
1．(2020·武钢实验学校初一期中)甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
2．(2020·云南昆明·初三其他)10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为(　　)
A． B． C． D．
3．(2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考)六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
4．(2019·河北迁西·期末)甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么( )
A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁
C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁
5．(2019·全国初二课时练习)8年前父亲的年龄是儿子的年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，则父亲和儿子现在的年龄分别为_____岁、_____岁.
考点2：和差倍半问题
典例：(2020·沙坪坝·重庆一中月考)“无夜景，不重庆”，以“祖国万岁”为主题的庆祝中华人民共和国成立70周年灯光秀，9月21日至10月10日在“山水之城，美丽之地”重庆上演.据了解，此次以重庆大剧院灯光“领舞”，临近的12栋楼宇灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED照明灯和LED投射灯共50万个，共花费860万元.已知LED照明灯的售价为每个8元，LED投射灯的售价为每个100元．请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：
(1)本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯和LED投射灯各多少个？
(2)某栋楼宇计划安装LED照明灯18000，LED投射灯500个因楼宇本身的设计原因，实际安装时LED投射灯比计划多安装了20%，LED照明灯的数量不变，商家为祖国70华诞而让利把LED照明灯和LED投射灯售价分别降低了m%、m%，实际上这栋楼宇LED照明灯和LED投射灯的总价为159000元，请求出m的值．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程
巩固练习
1．(2020·思南县张家寨初级中学初一期末)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
2．(2020·北京大兴·)列方程组解应用题：某年级在居家学习期间组织“抗击疫情，致敬最美的人”手抄报展示活动．其中，一班与二班共制作手抄报65份，一班的手抄报份数比二班的手抄报份数的2倍少25份，求一班和二班各制作手抄报多少份？
3．(2020·四川泸州·中考真题)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
4．(2020·浙江宁波咸祥中学初二开学考试)为了更好地保护环境，污水处理公司决定购买 10 台甲、乙两种型号的污水处理设备，经调查，购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多 2 万元，购买 2 台甲型设备比购买 3 台乙型设备少 6 万元．
(1)求甲、乙两种型号设备每台各多少万元？
(2)已知甲型设备每月处理污水 240 吨，乙型设备每月处理污水 200 吨，该地每月需要处理的污水不低于 2040 吨．若污水处理公司购买污水处理设备的资金不超过 105 万元，请你为污水处理公司设计一种最省钱的购买方案。
考点3：方案决策问题
典例：(2020·山东潍城·期末)某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
(1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
(2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；(2)①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元
方法或规律点拨
本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．
巩固练习
1．(2020·重庆梁平·初一期末)嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是( )
A．每头大牛天约用饲料 B．头大牛和头小牛天约用饲料
C．头大牛和头小牛天约用饲料 D．头大牛和头小牛天用饲料
2．(2020·甘肃省临夏市第一中学期末)将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有(　　)
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
3．(2020·浙江上城·初三一模)在国新办4月2日举行的疫情期间中国海外留学人员安全问题新闻发布会上，外交部副部长马朝旭透露，3月份全球疫情加速扩散后，中国已经安排A与B两种型号的包机9架次，从伊朗、意大利等国接回包括留学人员在内的中国公民1457人．其中A型包机每架次坐满158人，B型包机每架次坐满163人，则A型包机有_____架，B型包机有_____架．
4．(2020·河南郑州四中初二开学考试)新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措。小明家先后两次在同一电商平台以相同的单价邮购买了A、B两种型号的口罩，第一次购买20个A型口罩，30个B型日单，共花费190元；第二次购买30个A型口罩，20个B型口罩，共花费160元，求A、B两种型号口罩的单价．
5．(2020·辽宁兴城·期末)列方程组解应用题
在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和消毒液．如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元；如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元；求每瓶免洗手消毒液和消毒液的价格分别是多少元．
6．(2020·全国初三课时练习)蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益产品：用户通过步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网上缴纳交通罚单、网络挂号、网络购票等行为可以减少相应的碳排放量，并在蚂蚁森林中得到一定的能量，这些能量可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树．这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们可以“买走”用户种的“树”，在现实中的某个地方种下一棵真正的树．小贤收集的能量为(如图1)，用能量可换栽一棵梭梭树，用能量可换栽一棵沙柳(如图2)．已知小贤一共换栽了5棵这两种树，还剩能量．

(1)问小贤换栽了这两种树各多少棵？(列出二元一次方程组即可)
(2)小兵说小贤换栽了梭梭树3棵、沙柳2棵，小兵的说法对吗？请说明理由．
7．(2020·厦门市海沧区鳌冠学校初一期末)新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元．问准备1万元的资金是否足够购进5箱甲型口罩和6箱乙型口罩？请说明理由．
8．(2020·民勤县第六中学期中)已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完．
(1)问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案．
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
9．(2020·河南郑州外国语中学其他)某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：
普通口罩/个
N95口罩/个
总销售额/元
500
400
5000
600
300
4200
(1)求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？
(2)该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．为使该药店售完这1000个口罩后的总利润最大，该药店应如何进货？并求出最大利润．
10．(2020·山东临沂·初一期末)要将新鲜蔬菜240吨由A地运往B地．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
10
16
20
汽车运费(元/辆)
800
1000
1200
(1)全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．
(2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费16400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
11．(2020·浙江瑞安·初二开学考试)目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中(每瓶均装满)，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
12．(2020·湖南华容·初一期末)我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
(1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
13．(2020·浙江长兴·初一期中)杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：
1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人(a＞n)，使得最后能刚好一个月(30天)完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值．

考点4：古典文化中的二元一次方程组
典例：(2020·湖北黄石·中考真题)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
方法或规律点拨
此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
巩固练习
1．(2020·贵州黔西·初一期末)《九章算术》中有这样一段表述：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗.下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？”其意大致为：今有上等稻七捆，减去一斗，加入下等稻二捆，共计十斗；下等稻八捆，加上一斗、上等稻二捆，共计十斗.问上等稻、下等稻一捆各几斗？设一捆中有上等稻x斗，下等稻y斗，根据题意，可列方程组为( )
A． B． C． D．
2．(2020·绍兴市长城中学期中)《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为( )
A． B． C． D．
3．(2020·吉林长春外国语学校初二月考)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图所表示的方程组是( )

A． B． C． D．
4．(2020·湖南邵阳·初三一模)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二、直金十二两；牛二、羊五、直金九两．问牛、羊各直金几何？”意思是：“假设有5头牛、2只羊、值金12两；2头牛、5只羊，值金9两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下列求解结果正确的是( )
A．每头牛值金2两，每只羊值金1两
B．每头牛值金2.5两，每只羊值金0.8两
C．每头牛值金1两，每只羊值金2两
D．每头牛值金1.8两，每只羊值金1.5两
5．(2020·云南官渡·初一期末)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题，在西方的数学史里将其称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设木条长x尺，绳子长y尺，则根据题意所列方程组是(　　)

A． B． C． D．
6．(2020·全国课时练习)程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法综宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，则小和尚有__________人．
7．(2020·湖北孝感·初三其他)《九章算术》第七卷“盈不足"中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少?”则物价为_______．
8．(2020·湖南望城·初一期末)程大位是我国明朝商人、珠算发明家，他岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中某一问题(如图)的意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个正好分完，大和尚共分得多少个馒头？根据所学的数学知识，可以求得大和尚共分得_________个馒头．

9．(2020·福州·福建师范大学附属中学初中部其他)我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔(宽)及长各几步？”，设阔(宽)为步，则长为_________步，请填空并列方程解决问题．
10．(2020·河北初三其他)《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一道题：肆中听得语吟吟，薄酒名醨(音同“离”，意思是味淡的酒)厚酒醇．好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共饮瓶酒一十九，三十三客醉醺醺．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？
(1)你能用学过的方程知识解答上述问题吗？
(2)按题中条件，若20人同时喝醉，此时能否饮酒40瓶？请写出解答过程．
11．(2020·河北景县·初一期末)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是，请你根据图2所示的算筹图，列出方程组，并用代入法求解(写出解方程组的详细过程)．

【答案】
12．(2020·山西兴县·初一期末)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．这本书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．用现代白话文可以这样理解：甲口袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙口袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，用称分别称这两个口袋的重量，它们的重量相等．若从甲口袋中拿出1枚黄金放入乙口袋中，乙口袋中拿出1枚白银放入甲口袋中，则甲口袋的重量比乙口袋的重量轻了13两(袋子重量忽略不计)．问一枚黄金和一枚白银分别重多少两？请根据题意列方程(组)解之．
13．(2020·江苏海州·初一期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？(请用方程组解答)
14．(2020·吉林长春·初三二模)我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？”
15．(2020·福建永春·初一期末)《九章算术》是中国传统数学重要的著作.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题．
考点5：行程问题
典例：(2018·绍兴市元培中学期中)马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．

若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
(1)本次马拉松比赛共设置______个补给站；
(2)固定医疗站点共有多少个？
(3)沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
方法或规律点拨
此题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据补给站的设置间隔，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系．
巩固练习
1．(2020·湖北荆州·初一月考)甲、乙两人练习跑步，如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲；如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲，求甲、乙两人的速度．若设甲、乙两人的速度分别为，则下列方程组中正确的是( )
A． B．
C． D．
2．(2020·临沂高都中学初一月考)小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组( )
A． B．
C． D．
3．(2020·湖南鹤城·初一期末)为了参加2011年国际铁人三项(游泳、自行车、长跑)系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
4．(2020·全国单元测试)甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑两人每隔分钟相遇一次，若反向跑两人每隔40秒相遇一次，已知甲跑得比乙快，求甲、乙两人的速度．
5．(2020·全国课时练习)从夏令营地到学校先下山后走平路，某人骑自行车以12千米/时速度下山，再以9千米/时速度通过平地，用了1小时，返回时以8千米/时通过平路，6千米/时速度上山回到原地，共用1小时15分钟，求营地到学校有多远？
6．(2020·全国课时练习)小杰、小明两人同时绕400米的环形跑道行走，已知小杰比小明速度快，如果他们同时由同一点同向而行12分30秒首次相遇，如果他们同时从同一点起背向而行2分首次相遇，求小杰、小明两人每分钟各走多少米？
7．(2020·湖南邵东·期末)从地到地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，一辆客车从地开往地一共行驶了3.5h．求、两地间国道和高速公路各多少千米？
8．(2020·安徽埇桥·初二期末)2019年11月30日上午符离大道正式开通，同时宿州至徐州的K902路城际公交开通试运营，小明先乘K902路城际公交车到五柳站下车，再步行到五柳景区游玩，从出发地到五柳景区全程31千米，共用了1个小时，已知步行的速度每小时4千米，K902路城际公交的速度是步行速度的10倍，求小明乘公交车所行驶的路程和步行的路程.
9．(2020·广西田东·初一期末)甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机．
(1)在这个问题中，1小时20分＝ 小时；
(2)相向而行时，汽车行驶 小时的路程+拖拉机行驶 小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶 小时的路程＝拖拉机行驶 小时的路程；
(3)全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
10．(2020·河北丛台·育华中学初三二模)某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发沿该公路开往草甸，途中停靠塔林(上下车时间忽略不计)．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示．

(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)函数表达式．并写出x的取值范围；
(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间；
(3)小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？(假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变)
考点6：图形问题中二元一次方程组
典例：(2020·浙江东阳·初一期末)工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．

(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
日期
正方形纸板(张)
长方形纸板(张)
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
巩固练习
1．(2020·宁波市镇海蛟川书院期末)如图，长方形被分割成个正方形和个长方形后仍是中心对称图形，设长方形的周长为，若图中个正方形和个长方形的周长之和为，则标号为①正方形的边长为( )

A． B． C． D．
2．(2020·山东临沂·初一期末)小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为( )

A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2
3．(2020·浙江宁波咸祥中学初二开学考试)如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多个，那么能连续搭建的正三角形的个数是( )

A． B．
C． D．
4．(2020·湖南茶陵·初一期末)如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为(　　)

A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．300cm2
5．(2019·河北霸州·初一期末)如图所示，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x，y，那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是( )

A． B． C． D．
6．(2020·浙江长兴·初二开学考试)如图，是长方形内一点，过点分别作在长方形的各边上)，这样，就把长方形分割成四个小长方形﹐若其中长方形的面积是其周长的倍﹐长方形和长方形的面积均为则长方形的周长为____．

7．(2020·北京海淀·人大附中初三月考)学校向同学们征集校园便道地砖铺设的图形设计，琳琳用学校提供的完全相同的小长方形模具(如图1)拼出一个大长方形和一个正方形(如图2、图3)，其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于3cm，依据题意，列出关于a、b的方程组为：__．

8．(2020·湖北江汉·初一期末)如图，由个大小相同的小长方形无缝拼接成一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为______．

9．(2020·山西泽州·初一期末)小明同学看了拼木块的魔术后，也找了个一样大小的长方形木块，第次按如图那样，恰好可以拼成一个大的长方形，第次七拼八凑的拼成了如图所示的正方形，可是中间留下了一个洞，经测量，发现刚好是一个边长为的正方形．你知道小明同学用的小木块的长和宽分别是多少吗？

10．(2020·云南盘龙·初一期末)小明是一个乐思好学的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的:
一个长方形的长减少，宽增加就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少?
(1)如图，设长方形的长是，宽是小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组:
① ，②，③，
以上三个方程组中，能正确反映题意的有 (请直接填写序号)﹔
(2)小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解答过程.

11．(2018·天津南开·初一期末)某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？

12．(2020·山东兖州·初一期末)据统计资料，甲､乙两种农作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长为200m，宽100m的长方形土地分为两部分，分别种植这两种农作物，使甲､乙两种农作物的总产量的比是3：10．
(1)若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为长方形，请你在图(1)中设计一种分割方案，在图(1)中画出，并通过计算说明；
(2)若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为三角形，请你在图(2)中设计一种分割方案，在图(2)中画出，并通过计算说明．

13．(2020·浙江衢州·初一期中)某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)，加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器(加工时接缝材料忽略不计)．

(1)现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
(2)把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？
考点7：营销问题中的二元一次方程组
典例：(2020·山东初三二模)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.
(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程组，找出各数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.
巩固练习
1．(2018·全国单元测试)某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.
如果你是老板，你会选择哪一种方案？并说明理由.
2．(2020·湖北广水·期末)2020年新冠肺炎疫情肆虐世界，对全球经济造成极大影响．为了刺激消费，某超市对甲，乙两种商品实行打折销售．打折前，购买5件甲商品和1件乙商品需用84元；购买6件甲商品和3件乙商品需用108元．而优惠促销期间，购买50件甲商品和50件乙商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？
3．(2020·安徽明光·期末)小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：

购买商品A的数量(个)
购买商品B的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
(1)小林以折扣价购买商品A、B是第　 　次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
4．(2020·河南郑州外国语中学期中)某水果店计划进A，B两种水果共140千克，这两种水果的进价和售价如表所示：

(1)若该水果店购进这两种水果共花费1020元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？
(2)在(1)的基础上，为了迎接五一假的来临，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？
5．(2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学月考)六一国际儿童节即将来临，某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
(1)求每件甲种、乙种玩具每件的进价分别是多少元？
(2)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进件甲种玩具需要花费元，请你求出与的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中只选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
6．(2020·浙江萧山·初一期末)某电器超市销售每台进价为80元、200元的A，B两种型号的电风扇，如表所示是六月份前2周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本)
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
6
5
2100元
第二周
4
10
3400元
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)若超市一共采购这两种型号的电风扇共120台，售完后该超市能否实现利润为8000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
7．(2020·广东阳山·初二期末)欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、B两种运动服各加工多少件？
(2)A种运动服的标价为200元，B种运动服的标价为220元，若两种运动服均打八折出售，则该服装厂售完这100件运动服共盈利多少元？
8．(2020·湖南初一期末)在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，共需花费1500元；如果购买120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，共需花费1720元．
(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
(2)某药店出售免洗手消毒液，满150瓶免费赠送10瓶84消毒液．若学校从该药店购进免洗手消毒液和84消毒液共230瓶，恰好用去1700元，则学校购买免洗手消毒液多少瓶?
考点8：应用二元一次方程组解决图表信息问题
典例：(2020·浙江平阳·初三学业考试)下表是小丽在某路口统计分钟各种车辆通过情况的记录表，其中空格处的字迹已模糊．

电瓶车
公交车
货车
小轿车
合计(车流总量)
(第一时段)





(第二时段)





合计





(1)根据表格信息，在表格中填写第一时段电瓶车和货车的数量．
(2)在第二时段内，电瓶车和公交车的车辆数之和恰好是第二时段车流总量的一半，且两个时段的电瓶车总数为辆．
①求的值．
②因为第二时段内车流总量较多，造成了交通拥堵现象，据估计，该时段内，每增加辆公交车，可减少辆小轿车和辆电瓶年，若要使得第二时段和第一时段的车流总量最接近，则应增加几辆公交车？
方法或规律点拨
此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
巩固练习
1．(2020·扬中市外国语中学初一期中)某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款(元)
1
2
3
4
人 数
6


7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组___________________．
2．(2019·河南兰考·初一期中)如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；
如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．

请你判断：1个砝码A与____个砝码C的质量相等．
3．(2020·广东深圳中学期末)某服装点用6000购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．
类型
价格
A型
B型
进价(元/件)
60
100
标价(元/件)
100
160
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
4．(2019·福建宁化·期末)某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要元，一名小学生的学习费用需要元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
年级
捐款数额(元)
捐助贫困中学生人数(名)
捐助贫困小学生人数(名)
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400


(1)求的值；
(2)初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入表中．(不需写出计算过程)．
5．(2020·吉林铁东·初一期末)母亲节那天，小莉给妈妈准备了鲜花和礼盒，请你根据图中信息求出一束鲜花和一个礼盒的价格．

6．(2020·安定区中华路中学三模)在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？
7．(2020·福建南安·初一期中)(用列方程或方程组解答本题)
为了支持武汉抗击“新冠肺炎”，某校七(1)班40名学生积极为其捐款购买口罩支援，全班共捐款1500元，捐款情况如下表：
捐款金额(元)
20
30
50
捐款人数

　20
表格中20元和30元的人数被班长不小心刮破了看不到数据，请你根据相关信息帮助他求出捐款20元、30元的人数．
77．(2020·海南海口·)由于近期出现新冠肺炎疫情，口罩出现热卖．某药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后宫获利2800元．进价和售价如下表：
品名
价格
甲种口罩
乙种口罩
进价(元/盒)
20
25
售价(元/盒)
26
35
求该药店购进甲、乙两种口罩各多少盒？
9．(2020·泰兴市宣堡初级中学初一期中)为迎接济川中学红歌演讲比赛，济川校区七年级(15)(16)班决定订购同一套服装，两班一共有103人(15班人数多于16班)，经协商，某服装店给出的价格如下：
购买人数/人
1～50人
50～100人
100以上人
每套服装价格/元
50
45
40
例如：若购买人数为60人，则购买共需花费60×45=2700元．
(1)如果两个班都以班为单位分别购买，则一共需花费4875元，那么15,16班各有多少名学生？
(2)如果两个班联合起来，做为一个整体购买，则能节省多少元钱？
10．(2020·陕西西北工业大学附属中学初三其他)小颖在完成一项“社会调查”作业时，需要调查城市送餐人员的收入情况，他了解到劳务公司为了鼓励送餐员的工作积极性，实行“月总收入基本工资(固定)送餐单数奖励”的方法计算薪资，调查中获得如下信息：
送餐员
小李
小杨
月送餐单数/单
292
273
月总收入/元
3384
3346
送餐每单奖励元，送餐员月基本工资为元；
(1)求a、b的值；
(2)若月送餐单数超过300单时，超过部分每单的奖金增加1元．假设月送餐单数为单，月总收入为元，请写出与的函数关系式，若送餐员小李计划月收入不低于5200元，那么他每月至少要送多少单？