2018-2019学年四川省达州市渠县三中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2018-2019学年四川省达州市渠县三中八年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数：3，﹣，，1.414，﹣，3.12122，﹣，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．，，
C．，，D．0.2，0.3，0.5
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3B．0.4的算术平方根是0.2
C．﹣a2一定没有平方根D．（a﹣b）3的立方根是a﹣b
4．（3分）一次函数y＝（m﹣2）x+3﹣m的图象不经过第四象限，则（ ）
A．m＞2B．m＜3C．2＜m＜3D．2＜m≤3
5．（3分）如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（，﹣1）D．（﹣，1）
6．（3分）关于x的一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠2C．x＞1且x≠2D．x≥1且x≠2
8．（3分）若点M（﹣3m﹣1，﹣2m）到x轴、y轴的距离相等，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣D．﹣或﹣1
9．（3分）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），则B7的坐标是（ ）
A．（129，128）B．（127，128）C．（129，64）D．（127，64）
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）一个数的平方根是2x、x﹣12，则这个数的立方根是 ．
12．（3分）若一次函数y＝2x+6与y＝kx图象的交点到x轴的距离为2，则k的值为 ．
13．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，过点A作y轴的平行线交直线y＝2x于点B，点A，B均落在第一象限，以AB为边向右作正方形ABCD，若AB＝1，则点C的坐标为 ．
15．（3分）（2+3）2017（2﹣3）2018﹣4﹣＝ ．
16．（3分）已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝9，则a+b＝ ．
17．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过第 象限．
18．（3分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．
下面几种说法：①货车的速度为60千米/小时；
②轿车与货车相遇时，货车恰好从甲地出发了3小时；
③若轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，则轿车从乙地出发小时再次与货车相遇；其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（本题共66分）
19．（8分）计算：
（1）（+2）（）+（+2）2；
（2）+|﹣1+|+．
20．（8分）解方程：
（1）x2﹣6＝0；
（2）8（x﹣1）3+27＝0．
21．（8分）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（﹣1，﹣1）、C（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，并求△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，作出△A′B′C′关于y轴对称的△A''B''C''，并写出△A''B''C''三顶点的坐标；
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A''B''C''内部的对应点M'的坐标．
22．（6分）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少．
23．（6分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．
（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；
（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．
24．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4），Q（4，1）两点，且与x轴交于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知点M在x轴上，若使MP+MQ的值最小，求点M的坐标及MP+MQ的最小值．
25．（8分）已知a+b＝﹣3，ab＝2，求的值．
解：
＝...第一步
＝第二步
＝...第三步
＝＝﹣．
我们知道≥0，≥0，其和必然不小于0，而题中的结果却是负数，说明计算过程有错．
请问：（1）以上过程中，开始出现错误的是第 步，错误原因是 ；
（2）写出你认为正确的解答过程．
26．（12分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
2018-2019学年四川省达州市渠县三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分．）
1．（3分）下列各数：3，﹣，，1.414，﹣，3.12122，﹣，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：无理数有：3，﹣，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6），共3个，
故选：B．
2．（3分）下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．，，
C．，，D．0.2，0.3，0.5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故选项符合题意；
D、0.22+0.32≠0.52，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3B．0.4的算术平方根是0.2
C．﹣a2一定没有平方根D．（a﹣b）3的立方根是a﹣b
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义判断即可．
【解答】解：A选项，＝3，3的平方根是±，故该选项的说法不正确；
B选项，0.22＝0.04，故该选项的说法不正确；
C选项，当a＝0时，0的平方根是0，故该选项的说法不正确；
D选项，（a﹣b）3的立方根是a﹣b，故该选项的说法正确；
故选：D．
4．（3分）一次函数y＝（m﹣2）x+3﹣m的图象不经过第四象限，则（ ）
A．m＞2B．m＜3C．2＜m＜3D．2＜m≤3
【分析】根据一次函数不经过第四象限确定关于比例系数的不等式组，求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+3﹣m的图象不经过第四象限，
∴，
解得：2＜m≤3，
故选：D．
5．（3分）如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（，﹣1）D．（﹣，1）
【分析】首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，易证得△AOE≌△OCD（AAS），则可得CD＝OE＝1，OD＝AE＝，继而求得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
则∠ODC＝∠AEO＝90°，
∴∠OCD+∠COD＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA，∠AOC＝90°，
∴∠COD+∠AOE＝90°，
∴∠OCD＝∠AOE，
在△AOE和△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝＝＝，
∴点C的坐标为：（﹣，1）．
故选：D．
6．（3分）关于x的一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分三种情况讨论得到一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象经过的象限，即可得到结论．
【解答】解：当k﹣2＞0时，则k＞0，一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象经过第一、二、三象限，故A正确；
当k﹣2＜0，k＜0时，则一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象经过第二、三、四象限，故D正确；
当k﹣2＜0，k＞0时，则一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象经过第一、二、四象限，故C正确；
故选：B．
7．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≠2C．x＞1且x≠2D．x≥1且x≠2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：D．
8．（3分）若点M（﹣3m﹣1，﹣2m）到x轴、y轴的距离相等，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣D．﹣或﹣1
【分析】由于点M到两坐标轴的距离相等得到|﹣3m﹣1|＝|﹣2m|，去绝对值有﹣3m﹣1＝﹣2m或﹣3m﹣1＝﹣（﹣2m），然后分别解一次方程即可．
【解答】解：∵点M到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣3m﹣1|＝|﹣2m|，
即﹣3m﹣1＝﹣2m或﹣3m﹣1＝﹣（﹣2m），
解得m＝﹣1或a＝．
故选：D．
9．（3分）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【分析】由图象得到直线y＝kx+b与直线y＝4x+2的交点A的坐标（﹣1，﹣2）及直线y＝kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y＝4x+2落在直线y＝kx+b的下方且直线y＝kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：∵经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），
∴直线y＝kx+b与直线y＝4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），
又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，
当x＞﹣2时，kx+b＜0，
∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：B．
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），则B7的坐标是（ ）
A．（129，128）B．（127，128）C．（129，64）D．（127，64）
【分析】根据矩形的性质求出点A1、A2的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出k、b，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出A4的坐标，然后求出B4的坐标，…，观察点的坐标变化规律，即可写出Bn的坐标，从而得到答案．
【解答】解：∵点B1、B2的坐标分别为（1，1），（3，2），
∴A1（0，1），A2（1，2），
∵点A1，A2在直线y＝kx+b上，
∴，解得，
∴y＝x+1，
∵点B2的坐标为（3，2），
∴点A3的坐标为（3，4），
∴点B3的坐标为（7，4），
∴点A4的坐标为（7，8），
∴点B4坐标为（15，8），
…，
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1，即Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1），
∴B7的坐标是（27﹣1，26），即B7的坐标是（127，64），
故选：D．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）一个数的平方根是2x、x﹣12，则这个数的立方根是 4 ．
【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出x的值，确定出这个数，进而求出立方根即可．
【解答】解：根据题意得：2x+x﹣12＝0，
解得：x＝4，
则这个数为64，立方根是4，
故答案为：4
12．（3分）若一次函数y＝2x+6与y＝kx图象的交点到x轴的距离为2，则k的值为 ﹣1或 ．
【分析】首先根据一次函数y＝2x+6与y＝kx图象的交点到x轴的距离为2，得到两直线的交点的纵坐标为2或﹣2，代入一次函数求得交点坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2），然后代入y＝kx求得k值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+6与y＝kx图象的交点到x轴的距离为2，
∴两直线的交点的纵坐标为2或﹣2，
∴2＝2x+6或﹣2＝2x+6，
解得：x＝﹣2或，x＝﹣4，
∴交点坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2），
代入y＝kx得k＝﹣1或，
故答案为：﹣1或．
13．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 25 cm．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
∵25＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，过点A作y轴的平行线交直线y＝2x于点B，点A，B均落在第一象限，以AB为边向右作正方形ABCD，若AB＝1，则点C的坐标为 （，） ．
【分析】设点A的坐标为（m，m），则点B的坐标为（m，2m），根据AB＝1即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m值，进而可得出点B的坐标，再根据正方形的性质，即可求出点C的坐标．
【解答】解：设点A的坐标为（m，m），则点B的坐标为（m，2m），
根据题意得：2m﹣m＝1，
解得：m＝，
∴点B的坐标为（，）．
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
15．（3分）（2+3）2017（2﹣3）2018﹣4﹣＝ 4﹣4 ．
【分析】先根据积的乘方和二次根式的性质得到原式＝[（2+3）（2﹣3）]2017×（2﹣3）﹣+（1﹣），然后利用平方差公式计算后合并即可．
【解答】解：原式＝[（2+3）（2﹣3）]2017×（2﹣3）﹣+（1﹣）
＝（8﹣9）2017×（2﹣3）﹣+1﹣
＝﹣（2﹣3）﹣+1﹣
＝﹣2+3﹣+1﹣
＝4﹣4．
故答案为4﹣4．
16．（3分）已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝9，则a+b＝ 4.5 ．
【分析】估算出5﹣的整数与小数部分得出m与n，代入已知等式求出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，即m＝2，n＝5﹣﹣2＝3﹣，
∴am+bn＝2a+（3﹣）b＝9，即2a+3b﹣b＝9，
可得2a+3b＝9，b＝0，
解得：a＝4.5，b＝0，
则a+b＝4.5，
故答案为：4.5
17．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过第 三 象限．
【分析】根据题意画出图形即可直观发现函数图象所过象限．
【解答】解：由于函数过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，如图：
可见，函数不经过第三象限．
故答案为：三．
18．（3分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．
下面几种说法：①货车的速度为60千米/小时；
②轿车与货车相遇时，货车恰好从甲地出发了3小时；
③若轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，则轿车从乙地出发小时再次与货车相遇；其中正确的是 ①③ ．（填写序号）
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
货车的速度为：300÷5＝60千米/小时，故①正确，
设2.5≤x≤4.5时，轿车对应的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴2.5≤x≤4.5时，轿车对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令110x﹣195＝60x，得x＝3.9，
即轿车与货车相遇时，货车恰好从甲地出发了3.9小时，故②错误，
若轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，设轿车从乙地出发t小时再次与货车相遇，
则60（4.5+t）+t＝300，得t＝，故③正确，
故答案为：①③．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（本题共66分）
19．（8分）计算：
（1）（+2）（）+（+2）2；
（2）+|﹣1+|+．
【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式化简；
（2）根据二次根式的除法，绝对值，立方根化简即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5﹣4+5+4+4
＝10+4；
（2）原式＝﹣﹣1+﹣1
＝﹣﹣1+﹣1
＝4﹣﹣1+﹣1
＝2．
20．（8分）解方程：
（1）x2﹣6＝0；
（2）8（x﹣1）3+27＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解方程；
（2）根据立方根的定义解方程．
【解答】解：（1）x2﹣6＝0，
x2＝6，
x2＝12，
∴x＝±2；
（2）8（x﹣1）3+27＝0，
8（x﹣1）3＝﹣27，
（x﹣1）3＝﹣，
x﹣1＝﹣，
∴x＝﹣．
21．（8分）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（﹣1，﹣1）、C（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，并求△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，作出△A′B′C′关于y轴对称的△A''B''C''，并写出△A''B''C''三顶点的坐标；
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A''B''C''内部的对应点M'的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，直接描点，根据三角形面积公式求解即可；
（2）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点A'、B'、C'，然后顺次连接A′B′、B′C′、A′C′，并写出三个顶点坐标；
（3）根据两三角形关于原点对称，写出点M'的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，
△ABC的面积＝．
（2）如图所示：
A″（2，﹣1），B″（1，1），C″（﹣2，﹣3）；
（3）M'（﹣x，﹣y）．
22．（6分）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少．
【分析】设AE＝x千米，则BE＝（100﹣x）千米，根据CE＝DE，由勾股定理即可列出方程．
【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（100﹣x）千米，
根据题意得CE＝DE，
∴202+x2＝（100﹣x）2+602，
解得x＝21，
∴AE＝21千米，BE＝79千米．
23．（6分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．
（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；
（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；
（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解；（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1＝0.85x，
乙商场写出y关于x的函数解析式y2＝200+（x﹣200）×0.75＝0.75x+50 （x＞200），
y2＝x （0≤x≤200）；
（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，
x＞500，
当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；
由y1＝y2得0.85x＝0.75x+50，
x＝500时，到两家商场去购物花费一样；
由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，
x＜500，
当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；
综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x＝500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．
24．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4），Q（4，1）两点，且与x轴交于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知点M在x轴上，若使MP+MQ的值最小，求点M的坐标及MP+MQ的最小值．
【分析】（1）把P（1，4），Q（4，1）代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，再根据S△POQ＝S△POA﹣S△AOQ即可求解；
（3）作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，根据两点之间线段最短得出此时MP+MQ的值最小．利用待定系数法求出直线PQ′的解析式，进而求出点M的坐标即可．
【解答】解：（1）把P（1，4），Q（4，1）代入一次函数解析式，
得：，解得：，
则此一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）对于一次函数y＝﹣x+5，
令y＝0，得到x＝5，
∴A（5，0），
∴S△POQ＝S△POA﹣S△AOQ
＝×5×4﹣×5×1
＝10﹣2.5
＝7.5；
（3）如图，作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，则MP+MQ的值最小．
∵Q（4，1），
∴Q′（4，﹣1）．
设直线PQ′的解析式为y＝mx+n．
则，解得，
∴直线PQ′的解析式为y＝﹣x+，
∴当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴点M的坐标为（，0），
MP+MQ的最小值为＝．
25．（8分）已知a+b＝﹣3，ab＝2，求的值．
解：
＝...第一步
＝第二步
＝...第三步
＝＝﹣．
我们知道≥0，≥0，其和必然不小于0，而题中的结果却是负数，说明计算过程有错．
请问：（1）以上过程中，开始出现错误的是第 一 步，错误原因是 ∵a+b＝﹣3，ab＝2，∴a＜0，b＜0，∴+＝﹣﹣ ；
（2）写出你认为正确的解答过程．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则、加法法则得出a＜0，b＜0，根据二次根式的性质判断即可；
（2）根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：（1）以上过程中，开始出现错误的是第一步，
错误原因是：∵a+b＝﹣3，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴+＝﹣﹣，
故答案为：一；∵a+b＝﹣3，ab＝2，∴a＜0，b＜0，∴+＝﹣﹣；
（2）∵a+b＝﹣3，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴+
＝﹣﹣
＝﹣
＝﹣．
26．（12分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
【分析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
（2）只要证明△MCN≌△MCN'以及∠NAM＝90°即可．
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．结合图中相关线段的和差关系和直角三角形的性质求得MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．则BM＝BN+MN．
【解答】（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝，
综上所述：BN＝或；
（2）①证明：连接MN′，
∵∠ACB＝90°，∠MCN＝45°，
∴∠BCN+∠ACM＝45°，
∵∠ACN'＝∠BCN，
∴∠MCN'＝∠ACN′+∠ACM＝∠BCN+∠ACM＝45°＝∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
，
∴△MCN≌△MCN'（SAS），
∴MN'＝MN，
∵∠CAN′＝∠CAB＝45°，
∴∠MAN′＝90，AN′2+AM2＝MN′2，即BN2+AM2＝MN2，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．
则∠NHM＝90°，∠NMH＝60°，
设HM＝x，则MN＝2x，HN＝x．得
x+x＝+1，
∴x＝1，
∴MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．
∴BM＝BN+MN＝2+．