2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）不等式x＞﹣1在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD＝OE，分别以点D，E为圆心，以大于DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线．作图依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，延长中线AD至E，使DE＝AD，连结CE，则△CDE的周长可能是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A．20° B．30° C．58° D．40°
7．（3分）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2
8．（3分）若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（　　）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
9．（3分）关于x，y的方程组，已知﹣4＜a＜0，则x+y的取值范围为（　　）
A．0＜x+y＜2 B．﹣1＜x+y＜3 C．0＜x+y＜4 D．﹣1＜x+y＜2
10．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（　　）

A．5 B．10 C．4 D．2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 　 　命题（填“真”或“假”）．
12．（3分）已知直角三角形两边长x，y满足（x﹣1）2+＝0，则它的第三条边长z＝　 　．
13．（3分）设x＞0，若以x+1，x+2，x+3为边长的三角形是直角三角形，则x的值为 　 　．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为 　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，点D在AB边上，BD＝4，∠EAC＝∠EDC＝∠B＝90°，则△EAD的面积为 　 　．

16．（3分）在△ABC中，BC＝6，高线AD＝4，则△ABC周长的最小值为 　 　．
三、解答题（第17～21题每题8分，第22题12分，共52分）
17．（8分）如图，已知点C，E在线段BF上，AC＝DE，BE＝CF，∠ACB＝∠DEF，求证：AB＝DF．

18．（8分）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
．
19．（8分）∠BAC在正方形网格的位置如图所示，设小正方形的边长为1．
（1）只用一把直尺作∠BAC的角平分线，交BC于点D；
（2）求BD的长．

20．（8分）已知：如图，线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，点E，F分别是AB和CD的中点．
求证：（1）CE＝DE；
（2）EF⊥CD．

21．（8分）双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售，如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D，E分别是BC和AB边的中点，在DA的延长线上取一点F，使AF＝1．
（1）求CE的长；
（2）求证：△CEF是等边三角形．


2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
2．（3分）不等式x＞﹣1在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），可得答案．
【解答】解：不等式x＞﹣1在数轴上表示如图：
，
故选：D．
3．（3分）已知∠AOB，在射线OA，OB上分别截取OD＝OE，分别以点D，E为圆心，以大于DE且同样长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线．作图依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【分析】利用作法得到OD＝OE，DC＝EC，则根据全等三角形的判定方法可判断△OCD≌△OCE，然后根据全等三角形的性质得到∠DOC＝∠EOC，进而得到OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
【解答】解：如图所示，连接CD、CE，

由题可得，OD＝OE，CD＝CE，
在△OCD和△OCE中，
∵，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE（全等三角形的对应角相等），
∴OC是∠AOB的平分线（角平分线定义）．
∴作图依据是“SSS”，
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，延长中线AD至E，使DE＝AD，连结CE，则△CDE的周长可能是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】利用全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB＝EC＝4，
∵AD+CD＞AC＝7，
∴CD+DE＞7，
∴△CDE的周长大于4+7＝11，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是高线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴S△ADE＝S△BDE＝S△ABD＝2，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A．20° B．30° C．58° D．40°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠A′CB′，再根据等式的性质可得∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°，
故选：B．
7．（3分）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2
【分析】根据“同小取小”即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，
∴m≤2．
故选：A．
8．（3分）若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（　　）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
【分析】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣50°＝40°，
底角为：×（180°﹣40°）＝70°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC＝90°+50°＝140°，
底角为：×（180°﹣140°）＝20°，
综上所述，底角为70°或20°．
故选：D．

9．（3分）关于x，y的方程组，已知﹣4＜a＜0，则x+y的取值范围为（　　）
A．0＜x+y＜2 B．﹣1＜x+y＜3 C．0＜x+y＜4 D．﹣1＜x+y＜2
【分析】两方程相加、化简可得x+y＝a+3，结合﹣4＜a＜0知﹣1＜a+3＜3，据此可得答案．
【解答】解：∵，
∴3x+3y＝3a+9，
∴x+y＝a+3，
∵﹣4＜a＜0，
∴﹣1＜a+3＜3，
即x+y的取值范围为﹣1＜x+y＜3，
故选：B．
10．（3分）如图，AC+DE+FG＝4，CD+EF+BG＝6，∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝90°，则AB的长为（　　）

A．5 B．10 C．4 D．2
【分析】将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，再利用勾股定理求AB的长即可．
【解答】解：如图，将DE，FG平移到AC延长线上，CD，EF平移到BG的延长线上，

由平移的性质可知∠G＝90°，AH＝4，BH＝6，
由勾股定理得AB＝，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可；
【解答】解：“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆命题是“若ab＞0，则a＞0，b＞0”，是一个假命题，
故答案为：假．
12．（3分）已知直角三角形两边长x，y满足（x﹣1）2+＝0，则它的第三条边长z＝　或　．
【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边x、y的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
【解答】解：∵（x﹣1）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝1，y＝2，
当y＝2是直角边时，z＝＝，
当y＝2是斜边时，
∴z＝＝，
综上所述，它的第三条边长z＝或．
故答案为：或．
13．（3分）设x＞0，若以x+1，x+2，x+3为边长的三角形是直角三角形，则x的值为 　2　．
【分析】根据勾股定理逆定理可得：（x+1）2+（x+2）2＝（x+3）2，再解即可．
【解答】解：由题意得：（x+1）2+（x+2）2＝（x+3）2，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
故答案为：2．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为 　4　．

【分析】设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，在Rt△BDQ中，用勾股定理列方程可解得x，从而可得答案．
【解答】解：∵BC＝6，D是BC的中点，
∴BD＝BC＝3，
∵△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，
∴AQ＝DQ，
设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，
Rt△BDQ中，BQ2+BD2＝DQ2，
∴（9﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴BQ＝9﹣x＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，点D在AB边上，BD＝4，∠EAC＝∠EDC＝∠B＝90°，则△EAD的面积为 　12　．

【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．利用等腰三角形的性质和互余关系说明∠EAF＝45°，从而得到EF＝EA．再利用△DBC和△EFD的相似关系求出EF的长，最后计算出△ADE的面积．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
∴∠F＝90°．
∵AB＝BC＝10，BD＝4，∠B＝90°
∴∠BAC＝45°，AD＝6．
∵∠EAC＝∠EDC＝∠B＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠EDA+∠CDB＝90°，
∠EAF+∠CAB＝90°．
∴∠DCB＝∠EDA，∠EAF＝45°．
∵∠FEA＝∠EFA﹣∠EAF＝45°，
∴∠FEA＝∠EAF．
∴EF＝AF．
在△DBC和△EFD中，
∵∠EFA＝∠B，∠DCB＝∠EDA，
∴△DBC∽△EFD．
∴＝．
即 ＝．
∴10EF＝4EF+24．
∴EF＝4．
∴S△EAD＝AD×EF＝12．
故答案为：12．

16．（3分）在△ABC中，BC＝6，高线AD＝4，则△ABC周长的最小值为 　16　．
【分析】作△ABC的外接圆O，连接OA、OD，当AD经过OD点时，圆O的半径最小，此时AB+AC的值最小，再由垂径定理可求AB＝5，即可△ABC的周长的最小值．
【解答】解：作△ABC的外接圆O，连接OA、OD，
∴AO+DO≥AD，
∴当AD经过OD点时，圆O的半径最小，此时AB+AC的值最小，
∵AD⊥BC，
∴D是BC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BC＝6，AD＝4，
∴AB＝5，
∴AC＝5，
∴△ABC周长的最小值为16，
故答案为：16．

三、解答题（第17～21题每题8分，第22题12分，共52分）
17．（8分）如图，已知点C，E在线段BF上，AC＝DE，BE＝CF，∠ACB＝∠DEF，求证：AB＝DF．

【分析】根据已知条件得到BC＝EF，推出△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
∵，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴AB＝DF．
18．（8分）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
．
【分析】先分别解每个不等式，然后把解集表示在数轴上，确定公共部分．
【解答】解：
解不等式①得 x≤3；
解不等式②得 x＞﹣2．
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
把解集表示在数轴上为：

19．（8分）∠BAC在正方形网格的位置如图所示，设小正方形的边长为1．
（1）只用一把直尺作∠BAC的角平分线，交BC于点D；
（2）求BD的长．

【分析】（1）取格点E，F连接BF，CE交于点G，连接AG交BC于点D即可；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得DH＝DB，根据S△ACD+S△ABD＝S△ABC，列式计算即可求出DB的长．
【解答】解：（1）如图，AD即为∠BAC的角平分线；

（2）过点D作DH⊥AC于点H，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DH＝DB，
由网格可知：AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，
∴AC•DH+AB•DB＝AB•BC，
∴AC•DB+AB•DB＝AB•BC，
∴DB＝＝＝．
20．（8分）已知：如图，线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，点E，F分别是AB和CD的中点．
求证：（1）CE＝DE；
（2）EF⊥CD．

【分析】（1）由直角三角形的性质得出CE＝AB，DE＝AB，则可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：（1）∵线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，点E是AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB，
∴CE＝DE；
（2）∵CE＝DE，点F是CD的中点，
∴EF⊥CD．
21．（8分）双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售，如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
【分析】（1）设双十一前购买一个甲种物品需x元，一个乙种物品需y元，根据“购买甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出双十一前购买一个甲种、一个乙种物品所需的费用；
（2）设需要购买m个甲种物品，则购买（35﹣m）个乙种物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过225元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设双十一前购买一个甲种物品需x元，一个乙种物品需y元，
依题意得：，
解得：．
答：双十一前购买一个甲种物品需10元，一个乙种物品需5元．
（2）设需要购买m个甲种物品，则购买（35﹣m）个乙种物品，
依题意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤225，
解得：m≤21，
又∵m为正整数，
∴m可以取得的最大值为21．
答：至多需要购买21个甲种物品．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D，E分别是BC和AB边的中点，在DA的延长线上取一点F，使AF＝1．
（1）求CE的长；
（2）求证：△CEF是等边三角形．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接DE，根据三角形中位线定理得到DE＝AC＝2＝1，DE∥AC，CD＝BC＝4＝2，推出△ACD是等边三角形，证得△FAC≌△EDC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠ECD，CF＝CE，于是得到结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴BC＝2AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵E是BC边的中点，
∴AE＝AB＝，
∴CE＝＝＝；
（2）证明：连接DE，
∵D，E分别是BC和AB边的中点，
∴DE＝AC＝2＝1，DE∥AC，CD＝BC＝4＝2，
∵AF＝1，
∴AF＝DE，AC＝CD，
∵∠CAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠EDB＝∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝120°，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠FAC＝120°，
∴∠FAC＝∠EDC，
∴△FAC≌△EDC（SAS），
∴∠FCA＝∠ECD，CF＝CE，
∵∠ACE+∠ECD＝60°，
∴∠FCA+∠ACE＝60°，
即∠FCE＝60°，
∴△CEF是等边三角形．