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2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的标号填入下面的表格中．
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
3．（3分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）如图，AB∥DE，∠BCE＝53°，∠E＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．33°
5．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，BC＝7.5，CF＝5，则CE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5
6．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AM＝CN C．AB＝CD D．AM∥CN
7．（3分）如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应点，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的大小为（ ）
A．30° B．20° C．35° D．40°
8．（3分）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝102°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
11．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
12．（3分）如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在题中的横线上．
13．（3分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 ．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ ．
16．（3分）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 ．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝ ．
18．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积 ；
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
20．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠AED．
求证：△ABC≌△AED．
21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：AC⊥CE．
22．（8分）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
（习题回顾）
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）请直接写出∠BOC＝ ；
（变式思考）
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由．
23．（8分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请直接写出此时α与β之间的量关系 （不需证明）．
2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的标号填入下面的表格中．
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B、6+8＜15，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意；
D、5+4＞6，能够组成三角形，符合题意；
故选：D．
3．（3分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
4．（3分）如图，AB∥DE，∠BCE＝53°，∠E＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．33°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BCE＝53°，∠E＝25°，
∴∠D＝53°﹣25°＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D＝28°，
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，BC＝7.5，CF＝5，则CE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5
【分析】根据全等三角形的性质可得EF＝CB，再利用等式的性质可得EC＝FB，进而可得答案．
【解答】解：∵BC＝7.5，CF＝5，
∴BF＝7.5﹣5＝2.5，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝CB，
∴EF﹣CF＝CB﹣CF，
∴EC＝BF＝2.5，
故选：C．
6．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AM＝CN C．AB＝CD D．AM∥CN
【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；
C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应点，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的大小为（ ）
A．30° B．20° C．35° D．40°
【分析】先根据全等三角形的性质得∠ACB＝∠A′CB′，再两边减去∠A′CB即可得到∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACA′+∠A′CB＝∠A′CB+∠BCB′，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
故选：A．
8．（3分）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝4，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝102°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，进而求出∠EAF．
【解答】解：∵∠BAC＝102°，
∴∠B+∠C＝180°﹣102°＝78°，
∵GE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理可得：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝78°，
∴∠EAF＝102°﹣78°＝24°，
故选：C．
11．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，
故选：D．
12．（3分）如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【分析】证明△ABE≌△AFC，由全等三角形的性质得到BE＝CF，可得∠AEB＝∠ACF，则∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，得出∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°；S△ABE＝S△AFC，得到AP＝AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，在OF上截取OD＝OB，根据SAS可证明△FBD≌△ABO，得出DF＝OA，由此可以解决问题．
【解答】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE＝FC，∠AEB＝∠ACF，故①正确，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO，
∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，
∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故②正确，
连接AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图1，
∵△ABE≌△AFC，
∴S△ABE＝S△AFC，
∴•CF•AP＝•BE•AQ，而CF＝BE，
∴AP＝AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正确，
在OF上截取OD＝OB，
∵∠BOF＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝BO，∠DBO＝60°，
∴∠FBD＝∠ABO，
∵BF＝AB，
∴△FBD≌△ABO（SAS），
∴DF＝OA，
∴OF＝DF+OD＝OA+OB；
故④正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在题中的横线上．
13．（3分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可．
【解答】解：∵点P（3，﹣1），
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 4 ．
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ 12 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝10，
∴AC＝AF+FC＝12．
故答案为：12．
16．（3分）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 4cm或6cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得：
或，解得或．
所以它的腰长为4cm或6cm．
故答案为：4cm或6cm．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝ 60° ．
【分析】利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABD≌△BCE，进而求出∠ABF+∠CBE＝∠AFE即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABF+∠BAF＝∠AFE，
∴∠ABF+∠CBE＝∠AFE＝60°．
故答案为：60°．
18．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 11 ．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF＝64﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝11．
故答案为11．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积 7.5 ；
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）S△ABC＝×5×3＝7.5．
故答案为：7.5．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．并写出点A1，（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
20．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠AED．
求证：△ABC≌△AED．
【分析】根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠EAD，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）．
21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：AC⊥CE．
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌△Rt△CDE，可得结论．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠BAC＝∠DCE，∠ACB＝∠CED，
Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝90°，
∴AC⊥CE．
22．（8分）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
（习题回顾）
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）请直接写出∠BOC＝ 110° ；
（变式思考）
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用内角和和角平分线性质，可求得角度大小，
（2）将定角换成动角，同样利用内角和和角平分线性质，将角之间关系表示出来即可求解．
【解答】解：（1）110°．
理由：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°−40°＝140°，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，
在△OBC中，∠BOC＝180°−（∠OBC+∠OCB）＝110°，
故答案为：110°，
（2）∠BOC＝90°+，
理由为∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°−α，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°−α）＝90°−，
在△OBC中，∠BOC＝180°−（∠OBC+∠OCB）＝90+．
23．（8分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE，然后再利用SAS判定△ABE≌△CBE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CEB，根据等角的补角相等可得∠AED＝∠CED，再根据角平分线的性质可得DF＝DG．
【解答】证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AED＝∠CED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴FD＝DG．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 90 度．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请直接写出此时α与β之间的量关系 α＝β （不需证明）．
【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；
②易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题．
【解答】（1）解：∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，
故答案为：90；
（2）①α+β＝180°，
证明：∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝α，∠DAE＝∠BAC＝∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
②解：如图，
∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝α，∠DAE＝∠BAC＝∠BAD+∠BAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴∠CDE+∠CED+β＝∠CDE+∠AEC+∠AED+β＝∠CDE+∠ADB+∠AED+β＝∠ADE+∠AED+β＝180°，
∴α＝β．
故答案为：α＝β．
2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的标号填入下面的表格中．
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
3．（3分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）如图，AB∥DE，∠BCE＝53°，∠E＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．33°
5．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，BC＝7.5，CF＝5，则CE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5
6．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AM＝CN C．AB＝CD D．AM∥CN
7．（3分）如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应点，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的大小为（ ）
A．30° B．20° C．35° D．40°
8．（3分）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝102°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
11．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
12．（3分）如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在题中的横线上．
13．（3分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 ．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ ．
16．（3分）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 ．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝ ．
18．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积 ；
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
20．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠AED．
求证：△ABC≌△AED．
21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：AC⊥CE．
22．（8分）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
（习题回顾）
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）请直接写出∠BOC＝ ；
（变式思考）
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由．
23．（8分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请直接写出此时α与β之间的量关系 （不需证明）．
2021-2022学年天津市红桥区第二学区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的标号填入下面的表格中．
1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B、6+8＜15，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意；
D、5+4＞6，能够组成三角形，符合题意；
故选：D．
3．（3分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得（n﹣2）×180＝1800，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
4．（3分）如图，AB∥DE，∠BCE＝53°，∠E＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．28° C．30° D．33°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BCE＝53°，∠E＝25°，
∴∠D＝53°﹣25°＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D＝28°，
故选：B．
5．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，BC＝7.5，CF＝5，则CE的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5
【分析】根据全等三角形的性质可得EF＝CB，再利用等式的性质可得EC＝FB，进而可得答案．
【解答】解：∵BC＝7.5，CF＝5，
∴BF＝7.5﹣5＝2.5，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝CB，
∴EF﹣CF＝CB﹣CF，
∴EC＝BF＝2.5，
故选：C．
6．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AM＝CN C．AB＝CD D．AM∥CN
【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；
C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应点，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的大小为（ ）
A．30° B．20° C．35° D．40°
【分析】先根据全等三角形的性质得∠ACB＝∠A′CB′，再两边减去∠A′CB即可得到∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACA′+∠A′CB＝∠A′CB+∠BCB′，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
故选：A．
8．（3分）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝4，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝102°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，进而求出∠EAF．
【解答】解：∵∠BAC＝102°，
∴∠B+∠C＝180°﹣102°＝78°，
∵GE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理可得：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝78°，
∴∠EAF＝102°﹣78°＝24°，
故选：C．
11．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，
故选：D．
12．（3分）如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【分析】证明△ABE≌△AFC，由全等三角形的性质得到BE＝CF，可得∠AEB＝∠ACF，则∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，得出∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°；S△ABE＝S△AFC，得到AP＝AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，在OF上截取OD＝OB，根据SAS可证明△FBD≌△ABO，得出DF＝OA，由此可以解决问题．
【解答】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE＝FC，∠AEB＝∠ACF，故①正确，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO，
∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，
∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故②正确，
连接AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图1，
∵△ABE≌△AFC，
∴S△ABE＝S△AFC，
∴•CF•AP＝•BE•AQ，而CF＝BE，
∴AP＝AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正确，
在OF上截取OD＝OB，
∵∠BOF＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝BO，∠DBO＝60°，
∴∠FBD＝∠ABO，
∵BF＝AB，
∴△FBD≌△ABO（SAS），
∴DF＝OA，
∴OF＝DF+OD＝OA+OB；
故④正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在题中的横线上．
13．（3分）已知点P（3，﹣1），关于y轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可．
【解答】解：∵点P（3，﹣1），
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 4 ．
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ 12 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝10，
∴AC＝AF+FC＝12．
故答案为：12．
16．（3分）已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和9cm两部分，则这个三角形的腰长为 4cm或6cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得：
或，解得或．
所以它的腰长为4cm或6cm．
故答案为：4cm或6cm．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝ 60° ．
【分析】利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABD≌△BCE，进而求出∠ABF+∠CBE＝∠AFE即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABF+∠BAF＝∠AFE，
∴∠ABF+∠CBE＝∠AFE＝60°．
故答案为：60°．
18．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为 11 ．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF＝64﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝11．
故答案为11．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积 7.5 ；
（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）S△ABC＝×5×3＝7.5．
故答案为：7.5．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．并写出点A1，（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
20．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠AED．
求证：△ABC≌△AED．
【分析】根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠EAD，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）．
21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：AC⊥CE．
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌△Rt△CDE，可得结论．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠BAC＝∠DCE，∠ACB＝∠CED，
Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝90°，
∴AC⊥CE．
22．（8分）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
（习题回顾）
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）请直接写出∠BOC＝ 110° ；
（变式思考）
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用内角和和角平分线性质，可求得角度大小，
（2）将定角换成动角，同样利用内角和和角平分线性质，将角之间关系表示出来即可求解．
【解答】解：（1）110°．
理由：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°−40°＝140°，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，
在△OBC中，∠BOC＝180°−（∠OBC+∠OCB）＝110°，
故答案为：110°，
（2）∠BOC＝90°+，
理由为∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°−α，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°−α）＝90°−，
在△OBC中，∠BOC＝180°−（∠OBC+∠OCB）＝90+．
23．（8分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE，然后再利用SAS判定△ABE≌△CBE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CEB，根据等角的补角相等可得∠AED＝∠CED，再根据角平分线的性质可得DF＝DG．
【解答】证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AED＝∠CED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴FD＝DG．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 90 度．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请直接写出此时α与β之间的量关系 α＝β （不需证明）．
【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；
②易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题．
【解答】（1）解：∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，
故答案为：90；
（2）①α+β＝180°，
证明：∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝α，∠DAE＝∠BAC＝∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
②解：如图，
∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝α，∠DAE＝∠BAC＝∠BAD+∠BAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴∠CDE+∠CED+β＝∠CDE+∠AEC+∠AED+β＝∠CDE+∠ADB+∠AED+β＝∠ADE+∠AED+β＝180°，
∴α＝β．
故答案为：α＝β．
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