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2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边
C．面积相等的两个图形是全等形
D．全等三角形的面积和周长都相等
4．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
5．（3分）三角形的三条（ ）的交点到三个顶点的距离相等．
A．中线 B．角平分线
C．高线 D．边的垂直平分线
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
7．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC＝（ ）
A．105° B．100° C．75° D．120°
8．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．（3分）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是 ．
12．（3分）已知长度为4cm，5cm，3xcm的三条线段可围成一个三角形，那么x的取值范围是： ．
13．（3分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果，∠1+∠2+∠3＝225°，那么∠DFE的度数是 ．
15．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数；
（2）某多边形的每一个内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
17．（9分）如图所示，网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标．
（2）求出△ABC的面积．
18．（9分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）：
如图，已知△ABC（AC＜BC），在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC．
19．（9分）如图，点F、C在线段BE上，BF＝CE，DF＝AC，∠DFB＝∠ACE．求证：∠A＝∠D．
20．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E在同一直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
21．（9分）如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG＝EF．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）求∠DHF的度数．
23．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点是：（2，1）．
故选：A．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边
C．面积相等的两个图形是全等形
D．全等三角形的面积和周长都相等
【分析】根据全等图形概念和性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：全等三角形的三条边相等，三个角也相等，A正确；
判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边，B正确；
面积相等的两个图形不一定是全等形，C错误；
全等三角形的面积和周长都相等，D正确，
故选：C．
4．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：（1）当3cm为腰时，因为3+3＝6cm，不能构成三角形，故舍去；
（2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长＝6+6+3＝15cm．
故选：C．
5．（3分）三角形的三条（ ）的交点到三个顶点的距离相等．
A．中线 B．角平分线
C．高线 D．边的垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形一边两端点的距离相等，
∴这个点在这边的垂直平分线上，
同理可知，三角形的三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
7．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC＝（ ）
A．105° B．100° C．75° D．120°
【分析】已知∠E＝45°，∠B＝30°，欲求∠BFC，需求∠BCF．由DE∥BC，得∠ECB＝∠E＝45°，进而解决此题．
【解答】解：由题可知：∠E＝45°，∠B＝30°．
∵DE∥BC，
∴∠ECB＝∠E＝45°．
∵∠B+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠B+∠FCB）
＝180°﹣（30°+45°）
＝105°．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．
【解答】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
9．（3分）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣60°＝70°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP＝35°，
∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+35°＝95°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣95°＝85°．
故选：C．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是 76° ．
【分析】先根据三角形内角和，得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DBC，进而根据三角形内角和，即可得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠A＝46°，∠C＝74°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝76°，
故答案为：76°
12．（3分）已知长度为4cm，5cm，3xcm的三条线段可围成一个三角形，那么x的取值范围是： ＜x＜3 ．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由三角形的三边关系可得：5﹣4＜3x＜4+5，
解得：＜x＜3．
故答案为：＜x＜3．
13．（3分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝ ﹣14 ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算m+n即可．
【解答】解：由题意，得
m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，
解得m＝﹣6，n＝﹣8．
m+n＝﹣14．
故答案为：﹣14．
14．（3分）如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果，∠1+∠2+∠3＝225°，那么∠DFE的度数是 45° ．
【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°
∴∠DEF+∠EDF＝360°﹣225°＝135°
∵∠DEF+∠EDF+∠DFE＝180°
∴∠DFE＝180°﹣135°＝45°．
故答案是：45°．
15．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 32° ．
【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝74°，利用邻补角得到∠AED＝106°，则∠A′ED＝106°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠BDA'＝90°，
∴∠ADA'＝90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，
∵∠CED＝∠A+∠ADE＝29°+45°＝74°，
∴∠AED＝106°，
∴∠A′ED＝106°，
∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数；
（2）某多边形的每一个内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
【分析】（1）任何多边形的外角和是360度，内角和与外角和的总和为2160度，因而内角和是2160﹣360＝1800度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
（2）多边形的每一个内角都等于150°，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出，外角和中外角的个数，即多边形的边数．从而求出内角和．
【解答】解：（1）根据题意，得
（n﹣2）•180＝1800，
解得x＝12．
所以此多边形的边数是12；
（2）因为每一个外角是180﹣150＝30度，
所以边数是360÷30＝12，
所以多边形的内角和是：（12﹣2）•180°＝1800°．
17．（9分）如图所示，网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标．
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
A'（1，3），B'（﹣4，2），C'（﹣3，﹣1）；
（2）＝，
答：△ABC的面积是8．
18．（9分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）：
如图，已知△ABC（AC＜BC），在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC．
【分析】作AB的垂直平分线交BC于P，则PA＝PB，所以PA+PC＝BC．
【解答】解：如图，点P为所作．
19．（9分）如图，点F、C在线段BE上，BF＝CE，DF＝AC，∠DFB＝∠ACE．求证：∠A＝∠D．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵∠DFB＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E在同一直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BDA＝∠E，根据∠E+∠ADE＝90°求出∠BDA+∠ADE＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝EC；
（2）BD⊥CE，
证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA＝∠E，
又∵∠E+∠ADE＝90°，
∴∠BDA+∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE．
21．（9分）如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG＝EF．
【分析】先连接DE、DF，然后根据题目中的条件可以证明△EBD≌△DCF，从而可以得到DE＝DF，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论成立．
【解答】证明：连接DE、DF，如右图所示，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△EBD和△DCF中，
，
∴△EBD≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵DG⊥EF，
∴DG是等腰△DEF的中线，
∴EG＝EF．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）求∠DHF的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC；
（2）由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决．
【解答】（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵AC＝CE，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG，
∵∠DFH＝∠BFC，
∴∠DHF＝∠BCF＝60°．
23．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边
C．面积相等的两个图形是全等形
D．全等三角形的面积和周长都相等
4．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
5．（3分）三角形的三条（ ）的交点到三个顶点的距离相等．
A．中线 B．角平分线
C．高线 D．边的垂直平分线
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
7．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC＝（ ）
A．105° B．100° C．75° D．120°
8．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．（3分）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是 ．
12．（3分）已知长度为4cm，5cm，3xcm的三条线段可围成一个三角形，那么x的取值范围是： ．
13．（3分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果，∠1+∠2+∠3＝225°，那么∠DFE的度数是 ．
15．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数；
（2）某多边形的每一个内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
17．（9分）如图所示，网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标．
（2）求出△ABC的面积．
18．（9分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）：
如图，已知△ABC（AC＜BC），在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC．
19．（9分）如图，点F、C在线段BE上，BF＝CE，DF＝AC，∠DFB＝∠ACE．求证：∠A＝∠D．
20．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E在同一直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
21．（9分）如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG＝EF．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）求∠DHF的度数．
23．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
2021-2022学年河南省焦作市沁阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点是：（2，1）．
故选：A．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边
C．面积相等的两个图形是全等形
D．全等三角形的面积和周长都相等
【分析】根据全等图形概念和性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：全等三角形的三条边相等，三个角也相等，A正确；
判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边，B正确；
面积相等的两个图形不一定是全等形，C错误；
全等三角形的面积和周长都相等，D正确，
故选：C．
4．（3分）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：（1）当3cm为腰时，因为3+3＝6cm，不能构成三角形，故舍去；
（2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长＝6+6+3＝15cm．
故选：C．
5．（3分）三角形的三条（ ）的交点到三个顶点的距离相等．
A．中线 B．角平分线
C．高线 D．边的垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形一边两端点的距离相等，
∴这个点在这边的垂直平分线上，
同理可知，三角形的三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
7．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC＝（ ）
A．105° B．100° C．75° D．120°
【分析】已知∠E＝45°，∠B＝30°，欲求∠BFC，需求∠BCF．由DE∥BC，得∠ECB＝∠E＝45°，进而解决此题．
【解答】解：由题可知：∠E＝45°，∠B＝30°．
∵DE∥BC，
∴∠ECB＝∠E＝45°．
∵∠B+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠B+∠FCB）
＝180°﹣（30°+45°）
＝105°．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．
【解答】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
9．（3分）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣60°＝70°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP＝35°，
∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+35°＝95°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣95°＝85°．
故选：C．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是 76° ．
【分析】先根据三角形内角和，得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DBC，进而根据三角形内角和，即可得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠A＝46°，∠C＝74°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝76°，
故答案为：76°
12．（3分）已知长度为4cm，5cm，3xcm的三条线段可围成一个三角形，那么x的取值范围是： ＜x＜3 ．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由三角形的三边关系可得：5﹣4＜3x＜4+5，
解得：＜x＜3．
故答案为：＜x＜3．
13．（3分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝ ﹣14 ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算m+n即可．
【解答】解：由题意，得
m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，
解得m＝﹣6，n＝﹣8．
m+n＝﹣14．
故答案为：﹣14．
14．（3分）如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果，∠1+∠2+∠3＝225°，那么∠DFE的度数是 45° ．
【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°
∴∠DEF+∠EDF＝360°﹣225°＝135°
∵∠DEF+∠EDF+∠DFE＝180°
∴∠DFE＝180°﹣135°＝45°．
故答案是：45°．
15．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 32° ．
【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝74°，利用邻补角得到∠AED＝106°，则∠A′ED＝106°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠BDA'＝90°，
∴∠ADA'＝90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，
∵∠CED＝∠A+∠ADE＝29°+45°＝74°，
∴∠AED＝106°，
∴∠A′ED＝106°，
∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）某多边形的内角和与外角和的总和为2160°，求此多边形的边数；
（2）某多边形的每一个内角都等于150°，求这个多边形的内角和．
【分析】（1）任何多边形的外角和是360度，内角和与外角和的总和为2160度，因而内角和是2160﹣360＝1800度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
（2）多边形的每一个内角都等于150°，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出，外角和中外角的个数，即多边形的边数．从而求出内角和．
【解答】解：（1）根据题意，得
（n﹣2）•180＝1800，
解得x＝12．
所以此多边形的边数是12；
（2）因为每一个外角是180﹣150＝30度，
所以边数是360÷30＝12，
所以多边形的内角和是：（12﹣2）•180°＝1800°．
17．（9分）如图所示，网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标．
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
A'（1，3），B'（﹣4，2），C'（﹣3，﹣1）；
（2）＝，
答：△ABC的面积是8．
18．（9分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）：
如图，已知△ABC（AC＜BC），在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC．
【分析】作AB的垂直平分线交BC于P，则PA＝PB，所以PA+PC＝BC．
【解答】解：如图，点P为所作．
19．（9分）如图，点F、C在线段BE上，BF＝CE，DF＝AC，∠DFB＝∠ACE．求证：∠A＝∠D．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵∠DFB＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E在同一直线上，连接BD．
（1）求证：BD＝EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BDA＝∠E，根据∠E+∠ADE＝90°求出∠BDA+∠ADE＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝EC；
（2）BD⊥CE，
证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA＝∠E，
又∵∠E+∠ADE＝90°，
∴∠BDA+∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE．
21．（9分）如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG＝EF．
【分析】先连接DE、DF，然后根据题目中的条件可以证明△EBD≌△DCF，从而可以得到DE＝DF，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论成立．
【解答】证明：连接DE、DF，如右图所示，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△EBD和△DCF中，
，
∴△EBD≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵DG⊥EF，
∴DG是等腰△DEF的中线，
∴EG＝EF．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）求∠DHF的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC；
（2）由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决．
【解答】（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵AC＝CE，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG，
∵∠DFH＝∠BFC，
∴∠DHF＝∠BCF＝60°．
23．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
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