2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1．（4分）乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中可看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）2x3可以表示为（　　）
A．2x4﹣x B．x3+x3 C．x3•x3 D．2x6÷x2
3．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（　　）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
4．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
5．（4分）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）

A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+4
6．（4分）如果 x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），则k应为（　　）
A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b
7．（4分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝6
9．（4分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）

A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
二、填空题（共6小题，每4分，满分24分）
11．（4分）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是　 　（填出一个即可）．

12．（4分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是　 　
13．（4分）计算：40372﹣8072×2019＝　 　．
14．（4分）如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为　 　．

15．（4分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为　 　．

16．（4分）一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n＝　 　．
三、解答题（本共5小题，满分42分）
17．（8分）计算或化简：
（1）（﹣ab2）3•（﹣9a3bc）÷（﹣3a3b5）；
（2）﹣22+（﹣）﹣2﹣（π﹣5）0﹣|﹣3|．
18．（8分）以下是小鹏化简代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的过程．
解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a…………………………①
＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…………………………②
＝4a+3．………………………………………………………………③
（1）小鹏的化简过程在第　 　步开始出错，错误的原因是　 　．
（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a＝﹣时代数式的值．
19．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）

请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）

20．（8分）如图，在直角坐标系中，先描点A（1，1），点B（4，3）．
（1）点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，画出点C的位置；
（2）在本题中你认为有用到如下哪些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上 　 　．
A：两点之间线段最短；
B：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等；
C：角平分线上的点到角两边的距离相等；
D：三角形两边之和大于第三边．

21．（10分）如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE．


2021-2022学年福建省福州市台江区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1．（4分）乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中可看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；
B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
C、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；
D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．（4分）2x3可以表示为（　　）
A．2x4﹣x B．x3+x3 C．x3•x3 D．2x6÷x2
【分析】根据合并同类项的法则判断A，B；根据整式的乘除法判断C，D．
【解答】解：A选项，2x4和﹣x不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，x3+x3＝2x3，故该选项符合题意；
C选项，x3•x3＝x6，故该选项不符合题意；
D选项，2x6÷x2＝2x4，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（　　）
A．0.96×10﹣4 B．9.6×10﹣3 C．9.6×10﹣5 D．96×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000096＝9.6×10﹣5，
故选：C．
4．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形是性质得到∠1＝∠2＝58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．
故选：D．

5．（4分）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）

A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+4
【分析】根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，
于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，
所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
故选：C．

6．（4分）如果 x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），则k应为（　　）
A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b
【分析】根据多项式与多项式相乘知（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab，据此可以求得k的值．
【解答】解：∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab，
又∵x2﹣kx﹣ab＝（x﹣a）（x+b），
∴x2﹣kx﹣ab＝x2+（b﹣a）x﹣ab，
∴﹣k＝b﹣a，
k＝a﹣b，
故选：A．
7．（4分）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．

8．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件有SAS、AAS、ASA、SSS、HL，即可判断．
【解答】解：A、错误．∵3+4＜8，不能够成三角形．
B、正确．已知两角夹边，三角形就确定了．
C、错误．边边角不能确定三角形．
D、错误．一角一边不能确定三角形．
故选：B．
9．（4分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．
B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．
C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．
D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．
故选：D．
10．（4分）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）

A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
【分析】在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB＝b，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是：
如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵
∴△DEB≌△DCB（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝a，
∵BD＝DF＝b，
∴AD＝AF+DF＝a+b．
故选：A．

二、填空题（共6小题，每4分，满分24分）
11．（4分）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是　答案不唯一，如BD＝DC　（填出一个即可）．

【分析】根据全等三角形的判定定理AAS判定△BED≌△CFD．
【解答】解：可以添加条件：BD＝DC．
理由：∵BD＝CD；
又∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E＝∠CFD＝90°；
∴在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．

12．（4分）如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是　（7，4）　
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（﹣3，4），那么P点的坐标是（7，4）．
故答案为：（7，4）．
13．（4分）计算：40372﹣8072×2019＝　1　．
【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．
【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
14．（4分）如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为　24　．

【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用角平分线的性质得DE＝OD＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵点D的坐标是（0，﹣4），
∴OD＝4，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，
∴DE＝OD＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故答案为24．

15．（4分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为　11　．

【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，
所以a2+b2＝11，
故答案为：11．
16．（4分）一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n＝　1995　．
【分析】设n﹣59＝a2，n+30＝b2，则存在a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×29，根据奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．
【解答】解：设n﹣59＝a2，n+30＝b2，
则a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×89，
即（a+b）（a﹣b）＝﹣1×89．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，
故a+b＝89，a﹣b＝﹣1，于是a＝44，b＝45，
从而n＝1995．
故答案为：1995．
三、解答题（本共5小题，满分42分）
17．（8分）计算或化简：
（1）（﹣ab2）3•（﹣9a3bc）÷（﹣3a3b5）；
（2）﹣22+（﹣）﹣2﹣（π﹣5）0﹣|﹣3|．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣ab2）3•（﹣9a3bc）÷（﹣3a3b5）
＝（﹣a3b6）•（﹣9a3bc）÷（﹣3a3b5）
＝﹣3a3b2c；
（2）﹣22+（﹣）﹣2﹣（π﹣5）0﹣|﹣3|
＝﹣4+4﹣1﹣3
＝﹣4．
18．（8分）以下是小鹏化简代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的过程．
解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a…………………………①
＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…………………………②
＝4a+3．………………………………………………………………③
（1）小鹏的化简过程在第　①　步开始出错，错误的原因是　完全平方公式运用错误　．
（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a＝﹣时代数式的值．
【分析】（1）从第①步开始核对计算结果，可发现错在﹣2a，即完全平方公式运用错误；
（2）将原式按照完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的法则展开并合并同类项，再将a＝﹣代入计算即可．
【解答】解：（1）小鹏在第①步开始出错，（a﹣2）2≠a2﹣2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．
故答案为：①，完全平方公式运用错误．
（2）（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）
＝a2﹣4a+4+a2﹣1﹣2a2+6a
＝2a+3．
∴当a＝﹣时，原式＝2×（﹣）+3＝．
19．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）

请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）

【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【解答】解：如图所示

20．（8分）如图，在直角坐标系中，先描点A（1，1），点B（4，3）．
（1）点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，画出点C的位置；
（2）在本题中你认为有用到如下哪些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上 　A，B，D　．
A：两点之间线段最短；
B：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等；
C：角平分线上的点到角两边的距离相等；
D：三角形两边之和大于第三边．

【分析】（1）先标出A、B点，然后利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A′点坐标；连接BA′，则BA′与x轴的交点为C点；
（2）根据线段的性质定理、三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，A′（1，﹣1）；
点C为所作；
（2）故选A，B，D．

21．（10分）如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE．

【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠AED，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，得到∠OBE＝∠OEB，根据等腰三角形的判定定理证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC和≌EAD；
（2）∵△BAC≌△EAD，
∴∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴OB＝OE．