2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷 word版，解析版

这是一份2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷 word版，解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．任意两个正方形都相似
B．三点确定一个圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．（3分）四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（　　）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
5．（3分）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　）cm．
A．7+7 B．21﹣7 C．7﹣7 D．7﹣21
6．（3分）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
124
153
252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1）
A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5
7．（3分）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为（　　）

A．70° B．72° C．80° D．84°
8．（3分）如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为（　　）

A．4：6 B．9：4 C．5：9 D．5：6
9．（3分）设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（　　）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3 C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
10．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM，其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知，那么＝　 　．
12．（4分）正八边形的一个内角的度数是　 　 度．
13．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是　 　．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 　 　．

15．（4分）甲、乙两同学测量一棵树的高度，在阳光下，甲同学测得一根1米长的竹竿的影长为0.8米，同时，乙同学测量时，发现树的影子不全落在地面上，如图，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长CD＝1.2米，落在地面上的影长BC＝2.4米，则树高AB的长是　 　米．

16．（4分）已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F．若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝　 　，CD＝　 　．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'BC'，请在网格中画出△A'BC'；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路程（结果保留π）．

18．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
19．（8分）某玩具商店销售一种玩具，进价为50元/个．经调查发现，该玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系：y＝﹣2x+160．
（1）若每天的销售量为10个，则每个玩具获得的利润是多少元？
（2）若要使每个玩具的利润不低于15元，并且每天的销售量不少于10个，应将销售单价的范围定为多少元/个？
（3）在（2）的条件下，写出该商店每天获得的利润w和销售单价x之间的关系式，并求出最大利润．
20．（10分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1.5，FC＝1时，求BE的长．

21．（10分）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（6，8），O为坐标原点，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线y＝ax2+bx+c与直线x＝6交于点P，顶点为M．
（1）若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式ax2+bx+c≥x的解集．
（2）二次函数图象平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．

23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若，GF＝2，求线段BE和CP的长．



2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】根据半径和点到圆心的距离确定点与圆的位置关系即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，
∴d＜r，
∴点A在○O内，
故选：C．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．任意两个正方形都相似
B．三点确定一个圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据概率的意义、确定圆的条件以及随机事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A．任意两个正方形都相似是必然事件，故选项符合题意；
B．三点确定一个圆是随机事件，故选项不符合题意；
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6是随机事件，故选项不符合题意；
D．相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，故选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（　　）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同解答．
【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：1：2：4．
故选：D．
5．（3分）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　）cm．
A．7+7 B．21﹣7 C．7﹣7 D．7﹣21
【分析】根据黄金比值是进行计算即可．
【解答】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，
∴这本书的长＝cm＝（7+7）cm，
故选：A．
6．（3分）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
124
153
252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1）
A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是≈0.5，
故选：D．
7．（3分）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为（　　）

A．70° B．72° C．80° D．84°
【分析】利用三角形内角和定理得到∠O+∠A＝∠C+∠B，所以∠O﹣∠C＝40°，再根据圆周角定理得到∠C＝∠O，所以∠O﹣∠O＝40°，从而得到∠O的度数．
【解答】解：∵∠O+∠A＝∠C+∠B，
∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝40°，
∵∠C＝∠O，
∴∠O﹣∠O＝40°，
∴∠O＝80°．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC＝4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为（　　）

A．4：6 B．9：4 C．5：9 D．5：6
【分析】只要证明△ADE∽△FGH，可得，由此即可解决问题；
【解答】解：∵BG：GH：HC＝4：6：5，可以假设BG＝4k，GH＝6k，HC＝5k，
∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，
∴DF＝BG＝4k，EF＝HC＝5k，DE＝DF+EF＝9k，∠FGH＝∠B＝∠ADE，∠FHG＝∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△FGH，
∴＝．
故选：B．
9．（3分）设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（　　）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3 C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
【分析】方程方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．
【解答】解：方程方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
如图，
所以α＜﹣1且β＞3．
故选：B．

10．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM，其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA问题可证．
【解答】解：由已知得：AC＝AB，AD＝AE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴①正确；
如图：设BE与AC相交于点O，

则∠AOB＝∠POC，
∵△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴②正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴＝，
∴MP•MD＝MA•ME，
∴③正确；
由③MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°，
∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
∠ACP＝∠MCA，
∴△CAP∽△CMA，
∴AC2＝CP•CM，
∵AC＝BC，
∴2CB2＝CP•CM，
∴④正确，
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知，那么＝　　．
【分析】把化成1﹣，再把代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝1﹣＝1﹣＝．
故答案为：．
12．（4分）正八边形的一个内角的度数是　135　 度．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为：×1080°＝135°．
故答案为：135．
13．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、O（0，0）、B（﹣3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是　y1＞y2　．
【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点，开口向下，对称轴为x＝＝﹣1，可知B、C两点在对称轴的两边，点B离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点，
∴抛物线对称轴为x＝＝﹣1，
∵B（﹣3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
故本题答案为y1＞y2．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 　　．

【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到＝，再根据垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE＝10，设⊙O的半径为5，则OA＝r，OE＝r﹣4，利用勾股定理得52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝，然后证明OE为△ABC的中位线，从而得到BC的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝10，
设⊙O的半径为5，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝﹣4＝，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝．
故答案为：．
15．（4分）甲、乙两同学测量一棵树的高度，在阳光下，甲同学测得一根1米长的竹竿的影长为0.8米，同时，乙同学测量时，发现树的影子不全落在地面上，如图，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长CD＝1.2米，落在地面上的影长BC＝2.4米，则树高AB的长是　4.2　米．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有＝，
解得x＝3．
树高是3+1.2＝4.2（米）．
故树高为4.2米．
故答案是：4.2．
16．（4分）已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F．若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝　3　，CD＝　　．

【分析】连接OD，如图，根据圆周角定理得到∠AGB＝90°，∠ADG＝∠ABG＝45°，再证明△GAP∽△GDA，利用相似比求出GA＝3，接着利用等腰直角三角形的性质得OG＝，再根据垂径定理得到DE＝CE，利用OG∥CD得到＝＝，则DE＝，从而得到CD的长．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝AG＝×3＝，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴＝＝，
∴DE＝OG＝×＝，
∴CD＝2DE＝．
故答案为：3，．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'BC'，请在网格中画出△A'BC'；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路程（结果保留π）．

【分析】（1）根据网格结构找出点A′、C′的对应位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△A′BC′如图所示；

（2）由勾股定理得，AB＝＝，
所以点A经过的路程＝＝．
18．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
19．（8分）某玩具商店销售一种玩具，进价为50元/个．经调查发现，该玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系：y＝﹣2x+160．
（1）若每天的销售量为10个，则每个玩具获得的利润是多少元？
（2）若要使每个玩具的利润不低于15元，并且每天的销售量不少于10个，应将销售单价的范围定为多少元/个？
（3）在（2）的条件下，写出该商店每天获得的利润w和销售单价x之间的关系式，并求出最大利润．
【分析】（1）将y＝10代入y＝﹣2x+160求出相应的x值，再减去进价50，即可得到每个玩具获得的利润；
（2）根据每个玩具的利润不低于15元，并且每天的销售量不少于10个，可以得到关于x的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据题意可以写出w关于x的函数解析式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质和（2）中x的取值范围，可以得到最大利润．
【解答】解：（1）当y＝10时，10＝﹣2x+160，得x＝75，
75﹣50＝25（元），
答：每个玩具获得的利润是25元；
（2）∵每个玩具的利润不低于15元，并且每天的销售量不少于10个，
∴，
解得65≤x≤75，
即应将销售单价的范围定为65元/个～75元/个；
（3）由题意可得w＝（x﹣50）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣65）2+450，
∴该函数图象开口向下，
∵65≤x≤75，
∴当x＝65时，w取得最大值450，
即w＝﹣2（x﹣65）2+450，最大利润是450元．
20．（10分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1.5，FC＝1时，求BE的长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质证明∠BED＝∠CDF，进而可得结论；
（2）由（1）△BDE∽△CFD，可得＝，代入值即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF＝60°．
∴∠BDE+∠CDF＝∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：∵BD＝1.5，AB＝BC＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝4.5，
∵△BDE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
解得：BE＝6.75．
21．（10分）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可．
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可．
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC．

（2）∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D．
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴＝，即＝
∴y＝（0＜x＜3）．

（3）设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝﹣﹣×32＝﹣π．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（6，8），O为坐标原点，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线y＝ax2+bx+c与直线x＝6交于点P，顶点为M．
（1）若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式ax2+bx+c≥x的解集．
（2）二次函数图象平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）先由点A坐标求出OA所在直线解析式，求出点M坐标，由M坐标代求出二次函数解析，然后联立两函数方程求解．
（2）用含m代数式表示抛物线解析式，将x＝6代入可得PB的长，进而求解．
【解答】解：（1）设直线OA解析式为y＝kx，
把（6，8）代入y＝kx得8＝6k，
解得k＝，
∴y＝x．
设点M（m，m），则OM＝＝＝5，
∴m＝3，即M（3，4），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+4，
令x＝（x﹣3）2+4，
解得x＝3或x＝，
∴ax2+bx+c≥x的解集为x≤3或x≥．
（2）存在，理由如下：

∵M（m，m），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣m）2+m，
把x＝6代入y＝（x﹣m）2+m得y＝（6﹣m）2+m，
∴PB＝（m﹣6）2+m＝m2﹣m+36＝（m﹣）2+，
∵0≤m≤6，
∴当m＝时，PB最小值为．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若，GF＝2，求线段BE和CP的长．


【分析】（1）根据AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，得AB＝12，BE＝4，设BF的长为x，则AF＝12﹣x，在Rt△BEF中，可得42+x2＝（12﹣x）2，解得BF的长为；
（2）由A、E关于FG对称，即得GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于M，可证△ABE∽△GMF，即得＝，故＝＝＝；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，利用相似三角形的性质求出PN，CN即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，
∴BF的长为；
（2）GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是：＝，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：

∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：

由＝，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴CP＝＝，
∴线段BE的长是3，CP的长是．