2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）已知＝，那么下列等式中正确的是（　　）
A．2a＝5b B．a+b＝7 C．a＝5，b＝2 D．＝
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝α，AC＝7，那么BC为（　　）
A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．7cotα
3．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　）

A．＝2 B．＝ C．＝ D．＝
4．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（3分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定∥的是（　　）
A．＝2 B．＝，＝3
C．+2＝，﹣＝﹣ D．||＝2||
6．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：①＝； ②＝； ③∠A＝∠A′；④∠B＝∠B′；⑤∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）已知线段a＝2cm，c＝8cm，则线段a、c的比例中项是 　 　cm．
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，且点D与点A对应，点E与点B对应，若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝　 　度．
9．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB＝4cm，那么线段AP＝　 　cm．
10．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 　 　m．
11．（3分）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为 　 　．
12．（3分）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝　 　cm．

13．（3分）如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9，则tanA＝　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，DF∥BC，如果，那么＝　 　．

15．（3分）如图，将和放置在3×3的正方形网格中，A、B、C、D、P、Q均在格点上，设＝，＝，那么向量＝　 　（用向量、来表示）．

16．（3分）如图，已知tanO＝，点P在边OA上，OP＝5，点M、N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝　 　．

17．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为 　 　．

18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cosB＝，将△ABC绕着点C顺时针旋转到△DEC，点B落在点D处，点A落在点E处，如果点D在边AB上，DE与边AC相交于点F，那么CF的长 　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分46分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）如图，已知向量、，先化简，再求作向量3+（﹣）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

21．（5分）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．求AE的长．

22．（5分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．

23．（8分）已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE延长线上，且AD2＝BD•DE．
（1）求证：△ABD∽△EBC．
（2）求证：＝．

24．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E在边AC上，AE＝2，EC＝3，联结BE，BE与AD交于点F．
（1）求的值；
（2）如果FA＝FB，求BC的长．

25．（10分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边AD上一点，联结BE，△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，BE、BF分别与对角线AC交于点H、G．
（1）如果点F恰好落在对角线BD上，求AE的长；
（2）如果AE＝1，求CG的长；
（3）延长EF交边CD于点Q，如果EQ＝，求的值．


2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）已知＝，那么下列等式中正确的是（　　）
A．2a＝5b B．a+b＝7 C．a＝5，b＝2 D．＝
【分析】根据比例的性质直接求解即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴2a＝5b．
故选：A．
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝α，AC＝7，那么BC为（　　）
A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．7cotα
【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝α，AC＝7，
∴tanα＝＝，
∴BC＝tanα．
故选：C．

3．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于点F，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　）

A．＝2 B．＝ C．＝ D．＝
【分析】利用平行四边形的性质可得对边平行且相等，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质对每个选项进行判断即可得出结论．
【解答】解：∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∴＝2．
∴A选项正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB．
∵BE：BC＝2：3，
∴．
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF．
∴．
∴．
∴B选项错误；
∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k．
∵AD＝BC＝3k，
∴．
∴C选项正确；
∵BE：BC＝2：3，
∵AD＝BC，
∴．
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF．
∴．
∴D选项正确．
综上，错误的选项为：B．
故选：B．
4．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当＝或＝时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．
【解答】解：当＝或＝时，DE∥BD，
即＝或＝．
故选：D．

5．（3分）已知非零向量、和，下列条件中不能判定∥的是（　　）
A．＝2 B．＝，＝3
C．+2＝，﹣＝﹣ D．||＝2||
【分析】根据向量共线定理即可求出答案．
【解答】解：A、∵＝2，
∴∥，故A不符合题意．
B、∵＝，＝3，
∴b＝3，
∴∥，故B不符合题意．
C、∵+2＝2，﹣＝，
∴+2＝2（﹣），
∴＝4，
∴∥，故C不符合题意．
D、∵||＝2||，
∴与不一定平行，
故D符合题意．
故选：D．
6．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：①＝； ②＝； ③∠A＝∠A′；④∠B＝∠B′；⑤∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【解答】解：当＝＝时，△ABC∽ΔA′B′C′；
当＝，∠B＝∠B'时，△ABC∽ΔA′B′C′；
当＝，∠C＝∠C'时，△ABC∽ΔA′B′C′；
当∠A＝∠A'，∠B＝∠B'时，△ABC∽ΔA′B′C′；
当∠B＝∠B'，∠C＝∠C'时，△ABC∽ΔA′B′C′；
当∠A＝∠A'，∠C＝∠C'时，△ABC∽ΔA′B′C′；
综上所述：满足条件的组合为：①②、①④、②⑤、③④、③⑤、④⑤，共6组，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）已知线段a＝2cm，c＝8cm，则线段a、c的比例中项是 　4　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：设线段b是a、c的比例中项，
∵线段a＝2cm，c＝8cm，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
∴b1＝4，b2＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
8．（3分）已知△ABC∽△DEF，且点D与点A对应，点E与点B对应，若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝　60　度．
【分析】根据相似三角形的对应角相等解得．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠F＝∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°；
故答案为：60．
9．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB＝4cm，那么线段AP＝　　cm．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由黄金分割点可知：，
故答案为：2﹣2．
10．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 　15　m．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得x＝15．
故答案为：15．
11．（3分）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为 　1：2　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长比为1：2．
故答案为：1：2．
12．（3分）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝　5　cm．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知条件求出CH即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，
∴＝，
解得：CH＝5（cm），
故答案为：5．
13．（3分）如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C＝90°，AE＝4，BF＝9，则tanA＝　　．

【分析】根据条件可证明△ADE∽△GFB，利用相似三角形的性质可求得DE，在Rt△ADE中，由正切函数的定义可求得tanA．
【解答】解：∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEA＝∠GFB＝90°，DE＝GF，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△GFB，
∴＝，即＝，解得DE＝6，
∴tanA＝＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，DF∥BC，如果，那么＝　　．

【分析】根据DF∥BC，得出＝＝，再根据DE∥AB列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵DF∥BC，＝，
∴＝＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，将和放置在3×3的正方形网格中，A、B、C、D、P、Q均在格点上，设＝，＝，那么向量＝　﹣+　（用向量、来表示）．

【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵＝+
＝﹣+
＝﹣+，
故答案为：﹣+．

16．（3分）如图，已知tanO＝，点P在边OA上，OP＝5，点M、N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝　　．

【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出PD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，然后由勾股定理可求PM的值．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，

∵tanO＝＝，
∴设PD＝4x，则OD＝3x，
∵OP＝5，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
∴PD＝4，
∵PM＝PN，PD⊥OB，MN＝2
∴MD＝ND＝MN＝1，
在Rt△PMD中，由勾股定理得：
PM＝＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为 　12　．

【分析】根据三角形重心的性质得到BE为△ABC的中线，BG＝2GE，再利用三角形面积公式得到S△BDE＝3S△GED，接着利用D点为BC的中点得到S△BCE＝6S△GED，然后利用E点为AC的中点得到S△ABC＝12S△GED．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，
∴BE为△ABC的中线，BG＝2GE，
∴S△BDG＝2S△GED，
∴S△BDE＝3S△GED，
∵D点为BC的中点，
∴S△BCE＝2S△BDE＝6S△GED，
∵E点为AC的中点，
∴S△ABC＝2S△BCE＝12S△GED，
即S△ABC：S△GED＝12．
故答案为：12．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cosB＝，将△ABC绕着点C顺时针旋转到△DEC，点B落在点D处，点A落在点E处，如果点D在边AB上，DE与边AC相交于点F，那么CF的长 　　．

【分析】由锐角三角函数可求BC＝2，由旋转的性质可得CD＝BC＝2，CE＝AC＝3，∠A＝∠E，通过证明△AFD∽△EFC，可求解．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于N，

∵AB＝AC＝3，AN⊥BC，
∴BN＝NC＝BC，∠ABC＝∠ACB，
∵cosB＝＝，
∴BN＝3×＝1，
∴BC＝2，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转到△DEC，
∴CD＝BC＝2，CE＝AC＝3，∠A＝∠E，
∴∠ABC＝∠CDB，
∴∠ABC＝∠ABC，∠ACB＝∠CDB，
∴△BDC∽△BCA，
∴，
∴BD＝＝，
∴AD＝，
∵∠A＝∠E，∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴，
∴，
∴CF＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分46分）
19．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝2×（4+3﹣4）
＝14﹣8．
20．（5分）如图，已知向量、，先化简，再求作向量3+（﹣）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

【分析】首先作出＝，再作＝2，连接AC即可．
【解答】解：3+（﹣）＝3+﹣＝2+．
如图，即为所求．

21．（5分）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．求AE的长．

【分析】利用已知条件可得DE＝BE＝4，设AE＝x，利用△ADE∽△ABC得出比例式，依据比例式列出方程即可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD．
∴∠EBD＝∠EDB．
∴EB＝ED＝4．
设AE＝x，则AB＝AE+BE＝x+4．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB．
∴．
∴．
解得：x＝8．
∴AE＝8．
22．（5分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．

【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴＝，
∵AD＝4，BC＝9，
∴BD＝6；

（2）
过D作DE⊥BC于E，
则∠DEB＝90°，
∵锐角∠DBC的正弦值为，
∴sin∠DBC＝＝，
∵BD＝6，
∴DE＝4，
∴梯形ABCD的面积为×（AD+BC）×DE＝×（4+9）×4＝26．
23．（8分）已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE延长线上，且AD2＝BD•DE．
（1）求证：△ABD∽△EBC．
（2）求证：＝．

【分析】（1）利用已知条件证明△ADE∽△BDA，得到∠AED＝∠BEC，进而利用有两个对应角相等的三角形相似进行解答即可；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到；利用底相同的三角形的面积比等于高的比得到，结论可得．
【解答】证明：（1）∵AD2＝BD•DE，
∴．
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA．
∴∠AED＝∠BAD．
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BAD＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴△ABD∽△EBC．
（2）由（1）知：△ADE∽△BDA，
∴．
过点A作AF⊥BD于点F，如图，

∴×DE×AF，×BD×AF．
∴．
∴．
24．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E在边AC上，AE＝2，EC＝3，联结BE，BE与AD交于点F．
（1）求的值；
（2）如果FA＝FB，求BC的长．

【分析】（1）过E点作EG∥BC，根据平行线分线段成比例可得EG：CD＝AE：AC＝2：5，根据等腰三角形的性质和等量关系可得EG：BD＝2：5，从而可求的值；
（2）根据相似三角形的判定可证△FEA∽△AEB，再根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）过E点作EG∥BC，
∴EG：CD＝AE：AC＝2：5，
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴EG：BD＝2：5，
∴＝＝；
（2）∵FA＝FB，
∴∠BAF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠ABC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠FAE＝∠ABE，
∵∠FEA＝∠AEB，
∴△FEA∽△AEB（AA），
∴＝，
∴AE2＝BE•EF＝22＝4，
由（1）得＝，
设EF＝2k，则FB＝5k，
∴BE＝7k，
∴7k•2k＝4，
k2＝，
解得k＝±（负值舍去），
∴BF＝，
∴AF＝，
∵AD⊥BC，
∴BD2＝BF2﹣DF2＝AB2﹣AD2，
∴BF2﹣DF2＝AC2﹣（AF+DF）2，
∴（）2﹣DF2＝52﹣（+DF）2，
﹣DF2＝52﹣﹣DF﹣DF2，
解得DF＝，
∴BD2＝BF2﹣DF2＝（）2﹣（）2＝，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝．

25．（10分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边AD上一点，联结BE，△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，BE、BF分别与对角线AC交于点H、G．
（1）如果点F恰好落在对角线BD上，求AE的长；
（2）如果AE＝1，求CG的长；
（3）延长EF交边CD于点Q，如果EQ＝，求的值．

【分析】（1）当点F落在BD上时，可证明AE＝FE＝FD，则DE＝AE，由AD＝AB＝2，列方程求出AE的长即可；
（2）延长EF交CD于点Q，联结BQ，作GM⊥AB于点M，设DQ＝x，则FQ＝CQ＝2﹣x，在△DEQ中根据勾股定理列方程求出x的值，即得到DQ的长，再证明△BMG∽△EDQ，求出MB与MG的比，则可求得MA的长，再求AG的长，最后求得CG的长；
（3）作HN∥BG交AB于点N，根据相似三角形的性质证明，只要求出AH的长即可，所以应先求出AE的长，再由△AHE∽△CHB求AH的长，即可求出的值．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝CB＝2，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
由轴对称的性质得FE＝AE，∠BFE＝∠BAE＝90°，
当点F在BD上，则∠DFE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠FDE＝∠FED＝45°，
∴FD＝FE＝AE，
∴DE＝＝＝AE，
∴AE+AE＝2，
解得AE＝，
∴AE的长为．
（2）如图2，延长EF交CD于点Q，联结BQ，作GM⊥AB于点M，
∵AE＝1，AD＝2，
∴FE＝AE＝1，DE＝1，
∵∠BFQ＝180°﹣∠BFE＝90°＝∠BCQ，BQ＝BQ，BF＝BA＝BC，
∴Rt△BFQ≌Rt△BCQ（HL），
∴FQ＝CQ，
设DQ＝x，则FQ＝CQ＝2﹣x，
∴EQ＝2﹣x+1＝3﹣x，
∵DE2+DQ2＝EQ2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴DQ＝，
∵∠MBG+∠AEF＝180°，∠DEQ+∠AEF＝180°，
∴∠MBG＝∠DEQ，
∵∠BMG＝∠D＝90°，
∴△BMG∽△EDQ，
∴，
∴MB＝＝＝，
∵∠AMG＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠MAG＝∠MGA＝45°，
∴MA＝MG，
∴MB＝MA，
∴MA+MA＝2，
解得MA＝，
∴AG＝＝＝MA＝×＝，
∴AC＝＝＝AB＝2，
∴CG＝AC﹣AG＝2﹣＝．
（3）如图3，作HN∥BG交AB于点N，则∠NHB＝∠HBG，
由翻折得∠NBH＝∠HBG，
∴∠NHB＝∠NBH，
∴HN＝BN，
∵，
∴，
∵△ANH∽△ABG，
∴，
∴
∴，
∴，
设AE＝FE＝m，则DE＝2﹣m，
∵EQ＝，
∴CQ＝FQ＝﹣m，
∴DQ＝2﹣（﹣m）＝+m，
∵DE2+DQ2＝EQ2，
∴（2﹣m）2+（+m）2＝（）2，
整理得3m2﹣5m+2＝0，
解得m1＝，m2＝1，
∴AE＝或AE＝1，
当AE＝时，如图3，
∵AE∥BC，
∴△AHE∽△CHB，
∴＝＝，
∴AH＝AC＝×＝，
∴＝＝；
当AE＝1时，如图4，则＝，
∴AH＝AC＝×＝，
∴＝＝，
综上所述，的值为或．