2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝0 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
2．（2分）已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（　　）
A．大于1 B．小于1 C．大于2 D．小于2
3．（2分）若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＝1 C．k＜1 D．k≤1
4．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2分）小明前3次购买的西瓜单价如图所示，若第4次买的西瓜单价是a元/千克，且这4个单价的中位数与众数相同，则a的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2分）如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，的度数比为2：3：5，BE＝BF，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．32° C．34° D．36°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）方程x2＝9的根是　 　．
8．（2分）一组数据6，2，1，3的极差为 　 　．
9．（2分）填空：x2﹣2x+　 　＝（x﹣　 　）2．
10．（2分）三种圆规的单价依次是15元、10元、8元，销售量占比分别为20%，50%，30%，则三种圆规的销售均价为 　 　元．
11．（2分）某商品原价为200元，连续两次涨价后，售价为288元，则平均每次涨价的百分率为 　 　．
12．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，x1+x2＝1，则x1x2＝　 　．
13．（2分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为 　 　．

14．（2分）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交边AB，AC于点D，E，设∠A＝α，则的度数为 　 　（用含α的代数式表示）．

15．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，则方程a（x﹣1）2+k＝0的解为 　 　．
16．（2分）在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，连接BD，BD＝6，∠C＝∠ABD，则AC的长的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
18．（7分）用一根长16cm的铁丝：
（1）能否围成面积是7cm2的矩形？请说明理由．
（2）能围成矩形的最大面积为 　 　cm2．
19．（7分）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC＝OD．求证：AC＝BD．

20．（8分）甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：9，6，7，6，7，7．
乙：4，5，8，7，8，10．
（1）计算两人打靶成绩的方差；
（2）请推荐一人参加比赛，并说明理由．
21．（8分）国庆期间，甲、乙两人分别从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择两部观看．
（1）甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为 　 　；
（2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．
22．（8分）已知关于x的方程（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值．
23．（7分）如图，将△AOB绕点O顺时针旋转到△COD的位置，⊙O与CD相切于点E．
求证：AB是⊙O的切线．

24．（8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，．
求证AB∥CD．（请用两种不同的方法证明）

25．（8分）某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为5元．据市场调查：每杯售价30元，平均每天可销售300杯；价格每降低5元，平均每天可多销售100杯．为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利7820元，这款奶茶应售价多少元？
26．（9分）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．

27．（10分）【概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 　 　．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB+CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．



2021-2022学年江苏省南京市江宁区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝0 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
【分析】利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或x＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x＝0，
∴x1＝1，x2＝0．
故选：A．
2．（2分）已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（　　）
A．大于1 B．小于1 C．大于2 D．小于2
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P在⊙O外，
∴OP＞1，
故选：A．
3．（2分）若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＝1 C．k＜1 D．k≤1
【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k≥0，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•k＝4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
4．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；
∴出现两个正面朝上的概率是：．
故选：D．
5．（2分）小明前3次购买的西瓜单价如图所示，若第4次买的西瓜单价是a元/千克，且这4个单价的中位数与众数相同，则a的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据中位数、众数的定义，得出a的值即可．
【解答】解：根据题意得，2，3，5，a的中位数、众数相同，
则a＝3，
故选：C．
6．（2分）如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，的度数比为2：3：5，BE＝BF，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．32° C．34° D．36°
【分析】连接FG，DG，EF，利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，，的和为半圆，利用已知条件可得三条弧的度数，利用圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半可求∠DGF的度数；利用圆内接四边形的外角等于它的内对角可得∠BEF的度数；利用等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理求得∠B的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余即可求得结论．
【解答】解：连接FG，DG，EF，如图，

∵∠ACB＝90°，点C在⊙O上，
∴FG为⊙O的直径．
∴，，的和为半圆．
设，，的度数为2x，3x，5x，
∴2x+3x+5x＝180°．
∴x＝18°．
∴，，的度数为36°，54°，90°．
∴∠DGF＝（90°+36°）＝63°．
∵∠BEF为圆内接四边形EFGD的外角，
∴∠BEF＝∠DGF＝63°，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝63°，
∴∠B＝180°﹣∠BFE﹣∠BEF＝54°．
∴∠A＝90°﹣∠B＝36°．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）方程x2＝9的根是　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】两边开方即可求出答案．
【解答】解：x2＝9，
开方得：x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
8．（2分）一组数据6，2，1，3的极差为 　5　．
【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：极差是：6﹣1＝5．
故答案为：5．
9．（2分）填空：x2﹣2x+　1　＝（x﹣　1　）2．
【分析】根据公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；
故答案为：1，1．
10．（2分）三种圆规的单价依次是15元、10元、8元，销售量占比分别为20%，50%，30%，则三种圆规的销售均价为 　10.4　元．
【分析】根据平均数的计算公式和三种圆规的单价和销售量所占的百分比，列式计算即可求解．
【解答】解：15×20%+10×50%+8×30%
＝3+5+2.4
＝10.4（元）．
故三种圆规的销售均价为10.4元．
故答案为：10.4．
11．（2分）某商品原价为200元，连续两次涨价后，售价为288元，则平均每次涨价的百分率为 　20%　．
【分析】等量关系为：原价×（1+涨价的百分率）2＝288，把相关数值代入即可．
【解答】解：设平均每次涨价的百分率为为x，则第一次涨价后的价格为200（1+x），第二次涨价后的价格为200（1+x）×（1+x）＝200（1+x）2，
根据题意，得200（1+x）2＝288，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
故答案是：20%．
12．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，x1+x2＝1，则x1x2＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，x1+x2＝1，
∴x1+x2＝k＝1，x1x2＝k﹣2，
∴x1x2＝1﹣2＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．（2分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为 　2.5　．

【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE＝DE＝2，根据勾股定理得出关于R的方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC＝OA＝R，

∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2＝OE2+CE2，
∴R2＝（4﹣R）2+22，
解得：R＝2.5，
即⊙O的半径是2.5，
故答案为：2.5．
14．（2分）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交边AB，AC于点D，E，设∠A＝α，则的度数为 　180°﹣2α　（用含α的代数式表示）．

【分析】连接CD，利用直径所对的圆周角是直角可得CD⊥AB，利用直角三角形的两个锐角互余可求∠ACD的度数，再利用圆周角的度数与它所对的弧的度数的关系即可得出结论．
【解答】解：连接CD，如图，

∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∴∠ADC＝90°．
∵∠A＝α，
∴∠ACD＝90°﹣α．
∴的度数为：2（90°﹣α）＝180°﹣2α．
故答案为：180﹣2α．
15．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，则方程a（x﹣1）2+k＝0的解为 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】一元二次方程ax2+k＝0变形为x2＝﹣，根据题意得到x2＝﹣＝1，直接开平方解方程a（x﹣1）2+k＝0得到（x﹣1）2＝﹣＝1，
即可得到x﹣1＝±1，解得x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，
∴x2＝﹣＝1，
∵方程a（x﹣1）2+k＝0，
∴（x﹣1）2＝﹣＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
16．（2分）在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，连接BD，BD＝6，∠C＝∠ABD，则AC的长的取值范围是 　5＜AC≤10　．
【分析】满足条件的C点在以BD为弦的⊙O上，BD优弧上运动，AB，AD是⊙O的切线，∠C＝∠ABD（弦切角等于它所夹弧所对的圆周角），可得当AC⊥BD时，AC值最大，再根据相似三角形的判定与性质，勾股定理可得AC的长的取值范围．
【解答】解：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，∠C＝∠ABD，
满足条件的C点在以BD为弦的⊙O上，BD优弧上运动，AB，AD是⊙O的切线，∠C＝∠ABD（弦切角等于它所夹弧所对的圆周角），
AB＝OB，
∵AB＝AD＝5，BD＝6，AC，BD交于E，
由此可证，当AC⊥BD时，AC值最大，
连接OB，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠BEO＝90°，
∵AB⊥BO，
∴∠ABE+∠OBE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠OBE＝∠BAE，
在Rt△ABE和Rt△BOE中，
∠AEB＝∠BEO＝90°，
∠OBE＝∠BAE，
∴△ABE∽△BOE（AA），
∴＝，
∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴E是BD中点，
∴BE＝BD＝3，
在Rt△ABE中，AB＝5，
∴AE＝4，
∴＝，
解得OE＝，
在Rt△BOE中，OB＝＝，OB＝OC，
∴AC＝AE+OE+OC＝4++＝10，
∵C点不与B，D重合，
∴AC的长的取值范围是5＜AC≤10．
故答案为：5＜AC≤10．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝1；
（2）2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
2x+1＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝1．
18．（7分）用一根长16cm的铁丝：
（1）能否围成面积是7cm2的矩形？请说明理由．
（2）能围成矩形的最大面积为 　16　cm2．
【分析】（1）设这根铁丝围成的矩形的一边长是xcm，由矩形面积等于7列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设这根铁丝围成的矩形的一边长是xcm，则矩形的另一边长是（8﹣x）cm，
根据题意，得x（8﹣x）＝7，
解得x1＝1，x2＝7，
当x1＝1时，8﹣x1＝7；当x2＝7时，8﹣x2＝1，
答：用一根长16 cm的铁丝能围成面积是7cm2的矩形；
（2）设矩形的面积为Scm2，
则S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值为16，
故答案为：16．
19．（7分）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC＝OD．求证：AC＝BD．

【分析】过点O作OH⊥AB，垂足为H，由垂径定理可知AH＝BH，再由OC＝OD可判断出△OAD是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知CH＝DH，进而可求出答案．
【解答】证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H，（1分）
∴AH＝BH，（2分）
∵OC＝OD，且OH⊥CD，
∴CH＝DH，（4分）
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD．（6分）

20．（8分）甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：9，6，7，6，7，7．
乙：4，5，8，7，8，10．
（1）计算两人打靶成绩的方差；
（2）请推荐一人参加比赛，并说明理由．
【分析】（1）先计算出甲、乙的平均数，再根据方差的计算公式计算即可；
（2）根据方差的意义求解即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）＝×（9+6+7+6+7+7）＝7（环），
＝×（4+5+8+7+8+10）＝7（环），
∴S甲2＝×[（9﹣7）2+2×（6﹣7）2+3×（7﹣7）2]＝1，
S乙2＝×[（4﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（10﹣7）2]＝4．

（2）推荐甲．在甲、乙平均成绩相同的前提下，甲成绩的方差较小，甲成绩比较稳定．
（或推荐乙．在甲、乙平均成绩相同的前提下，乙一直处于上升趋势，有潜力（答案不唯一）．
21．（8分）国庆期间，甲、乙两人分别从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择两部观看．
（1）甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为 　　；
（2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．
【分析】（1）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示，画树状图展示所有6种等可能的结果，找出有AB的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示．画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两个相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示，
画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中AB、BA占2种，
所以甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率＝＝；
故答案为；
（2）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示．
画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中AB、BA占2种，其中甲、乙两人选择观看的两部电影相同的结果有3种，
所以甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率＝＝．
22．（8分）已知关于x的方程（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝0．
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根互为倒数，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系列式求得m的值即可．
【解答】（1）证明：
方法一：整理原方程，得x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0，
∵b2﹣4ac＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
方法二：解方程（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝0．
（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，
x1＝m，x2＝m+1，
∵m≠m+1，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵该方程的两个根互为倒数，
∴x1x2＝1，
即m（m+1）＝1，
解得m1＝，m2＝．
23．（7分）如图，将△AOB绕点O顺时针旋转到△COD的位置，⊙O与CD相切于点E．
求证：AB是⊙O的切线．

【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，证明△AOF≌△COE，则OF＝OE，也就证明了点O到AB的距离等于⊙O的半径，即可证明AB是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
由旋转，得△AOB≌△COD，
∴∠A＝∠C，OA＝OC，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴CD⊥OE，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OF＝OE，
∵OE⊙O的半径，
∴圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．

24．（8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，．
求证AB∥CD．（请用两种不同的方法证明）

【分析】方法一：连接AD，利用等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行即可得出结论；
方法二：作OE⊥AB，垂足为E，交CD于点F，交⊙O于点G，连接OC，OD，利用垂径定理点G为的中点，利用已知可得，利用圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理可得OF⊥CD，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论．
【解答】方法一
证明：连接AD，如图，

∵，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD．
方法二
证明：作OE⊥AB，垂足为E，交CD于点F，交⊙O于点G，连接OC，OD，如图，

∵OE⊥AB，
∴．
∵，
∴﹣＝﹣，
∴＝．
∴∠COG＝∠DOG，
∵OC＝OD，
∴OG⊥CD．
∴∠OFD＝90°，
∵∠OEB＝90°，
∴∠OFD＝∠OEB，
∴AB∥CD．
25．（8分）某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为5元．据市场调查：每杯售价30元，平均每天可销售300杯；价格每降低5元，平均每天可多销售100杯．为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利7820元，这款奶茶应售价多少元？
【分析】设每杯售价定为x元，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：设这款奶茶每杯售价x元．
根据题意，得（x﹣5）[300+×（30﹣x）]＝7820，
整理，得x2﹣50x+616＝0，
解得x1＝22，x2＝28，
∵让顾客获得最大优惠，
∴x＝22，
答：这款奶茶应售价22元．
26．（9分）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．

【分析】（1）连接DE、BH，利用△ADE≌△ABH即可得出结论；
（2）连接DE，DF，通过证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG得到四边形EFGH的两组 对边相等，可以判定四边形EFGH为平行四边形，再利用平行四边形的性质和圆内接四边形的性质证明∠FEH＝90°，则四边形EFGH为矩形．
【解答】证明：（1）连接DE、BH，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
在△ADE和△ABH中，
，
∴△ADE≌△ABH（ASA），
∵AE＝AH．
（2）∵AB＝AD，AE＝AH．
∴AB﹣AE＝AD﹣AH．
即BE＝DH．
∴．
同理
∴+＝+．
即＝．
∴EF＝GH．
连接DE，DF，如图，

∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF．
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（SAS）．
∴EH＝FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴∠FEH＝∠FGH．
∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH+∠FGH＝180°．
∴∠FEH＝90°．
∴四边形EFGH是矩形．
27．（10分）【概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 　8　．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 　②③　．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB+CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．


【分析】（1）连接OA，根据垂径定理知AP＝，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）由AB＝2AP＝2，当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定；
（3）利用△MPF和△OP'B全等，即可作出图形；
（4）①设AB＝2m，CD＝2n，利用勾股定理可得等式，从而解决问题；
②先作斜边为4r，一条直角边为2，另一条直角边为的直角三角形；再作斜边为，一条直角边为l，另一条直角边为的直角三角形；再在⊙O中作出长为l﹣的弦
【解答】解：（1）连接OA，

∵OP⊥AB，
∴AP＝，
∵OA＝5，OP＝3，
∴AP＝＝4，
∴AB＝2AP＝8，
故答案为：8；
（2）设半径为r不变，
∴AB＝2AP＝2，
当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，
故选：②③；
（3）如图，线段AB即为所求；

（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，

可得：，
解得：，
∴AB＝，CD＝，
②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为2，另一条直角边为的直角三角形；
再作斜边为，一条直角边为l，另一条直角边为的直角三角形；
再在⊙O中作出长为l﹣的弦，再如（3）中作法，过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．